Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО" (рис. 1.14).

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О:

М = Fp=Frsinα.

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

(3.1) Единица момента силы - ньютон-метр (Н м).

Направление М можно найти с помощью правила правого винта.

Моментом импульса частицы называется векторное произведение радиус-вектора частицы на её импульс:

или в скалярном виде L = гPsinα

Эта величины векторная и совпадает по направлению с векторами ω.

§ 3.2 Момент инерции. Теорема Штейнера

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси враще­ния называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния её от оси:

I i =m i r i 2 (3.2)

Момент инерции тела относительно оси вращения называют сумму мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

(3.3)

В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами dm, момент инерции определяется интегрированием:

(3.4)

Если тело однородно и его плотность
, то момент инерции тела

(3.5)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню

(3.6)

Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(3.7)

Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(3.8)

Момент инерции шара относительно диаметра

(3.9)

Рассмотрим пример. Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной плоско­сти вращения. Масса диска - m, радиус - R.

Площадь кольца (рис. 3.2), заключенного между

r и r + dr, равна dS = 2πr·dr . Площадь диска S = πR 2 .

Следовательно,
. Тогда

или

Согласно

Приведенные формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

(3.11)

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате (кг· м 2).

Так, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

(3.12)

Рассмотрим материальную точку массой m, которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:

J = mr 2 (75)

Момент инерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инерции отдельных точек:

Рис. 26.

К определению момента инерции точки.

Если масса распределена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объемы dv, каждый из которых обладает массой dm.

В результате получается следующее выражение:

Для однородного по объему тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде:

dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:

Размерность момента инерции - кг*м 2 .

Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при поступательном движении.

Момент инерции — это мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения. Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.

Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной аддитивной.

В некоторых случаях теоретический расчёт момента инерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска :

Момент инерции шара радиуса R :

Момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:

Момент инерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:

Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера :

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).

К расчету момента инерции стержня

Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инерции относительно оси OO плюс md 2 . Отсюда получаем:

Очевидно: момент инерции неодинаков относительно разных осей, и поэтому, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, например, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.

Момент силы F относительно точки O

Системы на квадраты их расстояний до оси:

• m i - масса i -й точки,
• r i - расстояние от i -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении .

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы , формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где - полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции J a
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l , радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса
	Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l /2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара - 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x , y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .

Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела .

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции - геометрическая характеристика сечения вида

где - расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси .

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ - м 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см 4 .

Из него выражается момент сопротивления сечения:

.

Геометрические моменты инерции некоторых фигур
Прямоугольника высотой и шириной :
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам и , а по внутренним и соответственно
Круга диаметром

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) - это величина

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :

(1),

где - тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:

,
.

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где -

В решении задач 12.1 -12.4 не учитывалась инертность вращающихся частей (барабана, редуктора и электродвигателя). Работа, затрачиваемая на ускорение вращательного движения, может быть определена через кинетическую энергию вращающейся массы т. Для объема массой dm, находящегося на расстоянии г от центра вращения, кинетическая энергия равна dmx> 2 / 2. Скорость ц = cor, тогда кинетическая энергия объема массой dm вращающегося тела равна dm со 2 г 2 / 2. По аналогии с выражением кинетической энергии объема массой dm при поступательном движении как функции от ц 2 / 2 запишем выражение для кинетической энергии при вращательном движении как функцию от со 2 / 2:

где dJ = r 2 dm - мера инертности во вращательном движении элементарного объема массой dm, находящегося на расстоянии гот оси вращения.

Интеграл по объему тела

момент инерции тела относительно оси вращения Z-

Моменты инерции тел простой формы

1. Круглый однородный тонкий диск радиуса R постоянной толщины И и плотности р (рис. 12.1, а).

Ось вращения проходит через центр диска. Момент инерции диска равен

Рис. 12.1.

Масса диска т = рhnR 2 . Таким образом, момент инерции тонкого однородного диска относительно собственного центра массы (центра тяжести) равен J Cz = mR 2 / 2.

2. Круглое тонкое кольцо радиуса R постоянной ширины b и толщины И (рис. 12.1, б).

Интеграл

Масса кольца

Следовательно, момент инерции кольца равен

и для очень узкого кольца при b« R момент инерции J Cz = mR 2 .

• 3. Тонкий однородный стержень сечением s и длиной I.
• 3.1. Пусть ось вращения г проходит через центр тяжести (рис. 12.1, в). Интеграл

где 5 - площадь поперечного сечения стержня.

Масса стержня т = рsi. Следовательно, J Cz = тР / 12.

3.2. Ось вращения? проходит через один из концов стержня (рис. 12.1, г).

Интеграл

т.е. в 4 раза больше J c z -

Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения

Момент инерции тела J z относительно оси вращения, смещенной на расстояние с относительно центра масс тела, запишем в виде

Интеграл по объему где т - масса тела. Интеграл

относительно оси, проходящей через центр тяжести (центр

Следовательно, при параллельном переносе момент инерции тела относительно оси, находящейся на расстоянии с от центра тяжести, равен

где У с, =jr 2 dm - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести этого тела.

? Задача 12.5

Используя формулу (12.9), определить момент инерции тонкого стержня длиной / и постоянной площади сечения s. Ось вращения проходит через один из концов стрежня.

Решение

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен J Cz = тР / 12. Момент инерции относительно оси, проходящей от центра тяжести на расстоянии 1/2 , равен

Согласно (12.9) из всех осей данного направления наименьшее значение имеет момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести тела.

Совместим начало ортогональной системы координат с центром тяжести тела. Используя формулу (12.8), можно определить моменты инерции тела J x , J y и J относительно каждой из трех осей координат. Мысленно поворачивая тело поочередно относительно каждой из координатных осей, можно заметить, что в некоторых положениях значения моментов инерции достигают экстремальных значений. Оси, относительно которых один из моментов инерции тела достигает наибольшего значения (из всех возможных при любых поворотах), а другие - наименьших значений, называют главными осями инерции тела. Очевидно, что для тела с центром симметрии (шар, полый шар) все оси главные. Ось симметрии тела (цилиндра, прямоугольного параллелепипеда и т.п.) также является главной осью.

Если главная ось инерции детали, например ротора турбины, смещена параллельно оси вращения (рис. 12.2, а ), то на ротор действует центростремительная сила, равная С е = тоз 2 е с (т - масса ротора; е с - смещение главной оси инерции ротора относительно оси вращения). Сила С е воспринимается опорами ротора и пере-

Рис. 12.2. Схема сил инерции при вращении неуравновешенного ротора дается фундаменту машины. Заметим, что вектор силы С г по отношению к неподвижным опорам и фундаменту вращается с частотой со. Возникают колебания машины и фундамента. Очевидно, для уравновешивания ротора необходимо обеспечить г с = 0. Такое уравновешивание называется статическим и может быть выполнено при невращающемся роторе.

На рис. 12.2, б показана схема сил инерции, действующих при вращении на статически уравновешенный ротор. При этом главная ось инерции может не совпадать с осью вращения, образуя с ней некоторый угол а.

Центростремительные силы С а, действующие на правую и левую части ротора, противоположно направлены и создают момент сил. Этот момент сил передается на опоры ротора, возбуждая колебания машины и фундамента. Для уравновешивания ротора необходимо обеспечить а = 0, что возможно только при вращении ротора, и поэтому оно называется динамическим. По данным измерения колебаний машины определяют, в каком месте ротора необходимо установить противовес или удалить часть материала ротора.

Учитывая некоторое различие плотности и других свойств литого материала, слитки для поковок роторов паровых турбин изготавливают в форме тел с осевой симметрией относительно продольной оси, с которой должна будет совпадать ось вращения ротора.

? Задача 12.6

Определить ускорение тележки с грузом по условию задачи 12.4.

Момент инерции ротора электродвигателя равен / = 0,03 кгм 2 . Масса барабана т 6 = 200 кг, а радиус R = 0,2 м.

Решение

При возможных перемещениях 8ф и 8х зависимость (12.5) запишем в виде

где 8х = R 5(р / / (/ пр - передаточное отношение между валами электродвигателя и подъемника).

Соответственно, ускорение х = /?ф// пр; угол поворота барабана 8ф б = = 8ф / / ; угловое ускорение барабана ф б = ф// пр. Тогда

Момент инерции барабана определим, полагая, что масса барабана сосредоточена на радиусе R. Тогда / б = тЮ = 200 0,2 2 = 8 кг м 2 . Передаточное число / = to R / х> = 60,7.

Угловое ускорение ротора электродвигателя

Ускорение тележки с грузом х = 0,573 м/с 2 . Это значение почти в 4 раза меньше, чем расчетное ускорение без учета инертности двигателя и барабана (см. задачу 12.3). ?

В задаче 12.6 сомножитель при угловом ускорении представляет собой момент инерции системы, приведенный к оси электродвигателя. Очевидно, что для получения приведенного момента инерции деталей, установленных на тихоходном валу, к оси более быстроходного вала следует уменьшить его значение в / 2 раза (/ - передаточное отношение между этими валами).

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

Школа естественных наук

Определение моментов инерции тел вращения

методом крутильных колебаний. Проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера.

Учебно-методическое пособие

к лабораторной работе № 1.3

Владивосток

УДК53(о76.5)

Определение моментов инерции тел вращения

методом крутильных колебаний. Проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера.

Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 1.3 по дисциплине «физический практикум»// сост. В.Е.Полищук, Р.Ф.Полищук. – Владивосток: Издательский дом Дальневост. федерал. ун-та, 2013-с.12.

Пособие, подготовленное на кафедре общей физики Школы естественных наук ДВФУ, содержит методические указания к выполнению лабораторной работы по механике с целью экспериментального изучения момента инерции твердых тел вращения и проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Для студентов ДВФУ всех специальностей.

УДК 53(076.5)

Составители Полищук В.Е.

Полищук Р.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет» (ДВФУ)

Школа естественных наук

Определение моментов инерции тел вращения методом крутильных колебаний.

Проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 1.3

По дисциплине «физический практикум»

Владивосток

Издательский дом Дальневосточного федерального университета

Целью данной лабораторной работы является изучение законов ди­намики вращательного движения твердого тела, экспериментальное измере­ние момента инерции простейших тел вращения и проверка теоремы Гюй­генса-Штейнера.

Основные понятия вращательного движения твердого тела .

Кроме понятия материальной точки, в механике используется модель­ное понятие абсолютно твердого тела – тела, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Такое тело можно рассматривать как систему жестко закрепленных материальных точек.

Любое сложное движение твердого тела всегда можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное. Поступательным называ­ется такое движение твердого тела, при кото­ром любая прямая, проведенная через любые две точки тела, остается парал­лельной самой себе во все время движения (рис.1). При таком движении все точки твердого тела движутся совершенно одинаково, то есть имеют одну и ту же скорость, ускорение, траектории движения, совершают одинаковые пе­ремещения и проходят одинаковый путь. Следовательно, поступательное движение твердого тела можно рассматривать как движение материальной точки, масса которой равна массе тела m и применять к нему второй закон Ньютона динамики материальной точки, т.е.

где - результирующая всех внешних сил, действующих на тело, - им­пульс (количество движения) тела.

Вращательным движением твердого тела называется движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения тела. При вращательном движении все точки тела движутся с одной и той же угловой скоростью и уг­ловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещения. Однако, как показывает опыт, при вращательном движении твердого тела вокруг за­крепленной оси, масса уже не является мерой его инертности, а сила – недо­статочна для характеристики внешнего воздействия. Кроме того, опыты по­казывают, что ускорение при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения; зависит не только от силы, но и от точки ее приложения и направления действия. По­этому, для описания вращательного движения твердого тела введены новые динамические характеристики такие, как момент силы, момент импульса и момент инерции тела . При этом следует иметь в виду, что существует два разных понятия этих величин: относительно оси и относительно любой точки О (полюса, начала), взятой на этой оси.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называ­ется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора проведённого из точки О в точку приложения результирующей силы , на вектор этой силы:

Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой распо­ложены вектора и , а его направление относительно этой плоскости определяется правилом векторного произведения или правилом буравчика. Согласно правила век-торного произведения, вектор направлен перпендику­лярно к плоскости, содержащей векторы и , в такую сторону, чтобы при рассматривании с его конца вектор мог быть совмещен с векто­ром путем вращения против часовой стрелки в сторону меньшего угла. Со­гласно правила правого буравчика (рис.2), при вращении его ручки в направ­лении от к в направлении меньшего угла a, поступательное движение буравчика определит направление вектора

При применении этих правил удобно начала векторов и совместить в одной точке. Можно, например, перенести вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом вектора в точке 0 (на рис.2 этот вектор изображен пунктиром).

Вектора, направление которых связывают с направлением вращения (угловая скорость, угловое ускорение, момент силы, момент импульса и т.п.), называют псевдовекторами или аксиальными в отличие отобычных векто­ров (скорость, радиус-вектор, ускорение и т.п.), которые называют поляр­ными или истинными.

Величина вектора момента силы (численное значение момента силы) определяется согласно формуле векторного произведения (2), т.е. , где a - угол между направлениями векторов и . Вели­чина p= r·Sinα называется плечом силы (рис.2).Плечо силы р - это кратчай­шее расстояние от точки О до линии действия силы .

Моментом силы относительно оси , называется проекция на эту ось вектора момента силы, найденного относительно любой точки, принадлежа­щей этой оси. Ясно, что относительно оси момент силы является скалярной величиной. В системе СИ момент силы измеряется в Н·м. Для введения понятия момента импульса тела, введем сначала это по­нятие для материальной точки, принадлежащей вращающемуся твердому телу.

Моментом импульса материальной точки Δ m i относительно не­подвижной точки О называется векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точки О в точку нахождения массы Δm i , на вектор импульса этой материаль­ной точки:

где - импульс материальной точки.

Моментом импульса твердого тела (или механической системы) относительно неподвижной точки О называется вектор , равный геомет­рической сумме моментов импульса относительно этой же точки О всех материальных точек данного тела, т.е. .

Моментом импульса твердого тела относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса тела относительно любой точки, выбранной на данной оси. Совершенно очевидно, в этом случае мо­мент импульса является скалярной величиной. В системе СИ момент им­пульса измеряется в .

Мерой инертности тел при поступательном движении является их масса. Инертность же тел при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вра­щения. Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции тела I относительно оси вращения или точки. Момент инер­ции, как и масса, величина аддитивная, скалярная.

Моментом инерции тела относительно оси вращения называется физическая скалярная величина, равная сумме произведений масс матери­альных точек (на которые можно разбить все тело) на квадратырасстояний каждой из них до оси вращения:

где I -момент инерции материальной точки.

Моментом инерции тела относительно точки О называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой материальной точки данного тела на квадрат ее расстояния до точки О. Рас­четная формула момента инерции аналогична формуле (4). В системе СИ момент инерции измеряется в кг·м 2 .

Момент инерции твердого тела зависит от массы тела, формы и раз­мера тела.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела .

Каждая из материальных точек вращающегося твердого тела будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а центры всех этих окружностей будут лежать на этой оси. При этом все точки тела в данный момент времени имеют одинако­вую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение.

Рассмотрим i-материальную точку, масса которой Δm i , а радиус окружности, по которой она движется, r i . На нее действуют как внешние силы со стороны других тел, так и внутренние силы - со стороны других материальных точек, принадлежащих этому же телу. Разложим результирующую силу , действующую на матери­альную точку массы Δm i , на две взаимно перпендикулярные состав­ляющие силыи , причем так, чтобы вектор силы совпадал по направ­лению с касательной к траектории движения частицы, а сила - пер­пендикулярна к этой касательной (Рис.3). Совершенно очевидно, что враще­ние данной материальной точки обусловлено только касательной составля­ющей силы , величину которой можно представить в виде суммы внутрен­ней и внешней сил. В этом случае для материальной точки Δm i второй закон Ньютона в скалярном виде будет иметь вид:

(5)

С учетом того, что при вращательном движении твердого тела вокруг оси, линейные скорости движения материальных точек по круговым траекто­риям различны по величине и направлению, а угловые скорости w для всех этих точек одинаковы (и по величине и направлению), заменим в уравнении (5) линейную скорость на угловую (v i =wr i):

. (6)

Введем в уравнение (6) момент силы, действующей на частицу. Для этого умножим левую и правую части уравнения (6) на радиус r i , который по от­ношению к результирующей силе является плечом:

(7)

Тогда получим:

где каждый член в правой части уравнения (8) есть момент соответствующей силы относительно оси вращения. Если в это уравнение ввести угловое уско­рение вращения материальной точки массы Δm i относительно оси (=) и ее момент инерции ΔI i относительно этой же оси(=ΔI i), то уравнение вращательного движения материальной точки относительно оси примет вид:

Аналогичные уравнения можно записать для всех других материальных точек, входящих в данное твердое тело. Найдем сумму этих уравнений с учетом того, что величина углового ускорения для всех материальных то­чек данного вращающегося тела будет одинаковой, получим:

Суммарный момент внутренних сил равен нулю, так как каждая внут­ренняя сила, согласно третьему закону Ньютона, имеет равную по вели­чине, но противоположно направленную себе силу, приложенную к другой материальной точке тела, с таким же плечом. Суммарный момент – есть вращающий момент М всех внешних сил, действующих на вращающе­еся тело. Сумма моментов инерции =I определяет момент инерции дан­ного тела относительно оси вращения. После подстановки указанных вели­чин в уравнение (10) окончательно получим:

Уравнение (11) называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно оси. Так как =, а момент инерции тела относительно данной оси вращения является постоянной величиной и, следовательно, его можно внести под знак дифференциала, то уравнение (11) можно записать в виде:

Величина Iw=L (13)

называется моментом импульса тела относительно оси. C учетом (13) урав­нение (12) можно записать в виде:

Уравнения (11-14) носят скалярный характер, и применяются только для описания вращательного движения тел относительно оси. При описании вращательного движения тел относительно точки (или полюса, или начала) , принадлежащей данной оси, указанные уравнения соответственно записываются в векторном виде:

(11 *); (12 *); (13 *); (14 *).

При сравнении уравнений поступательного (1) и вращательного (11-14) движений тела видно, что при вращательном движении вместо силы в урав­нениях стоит ее момент, вместо массы тела – момент его инерции, вместо импульса (или количества движения) – момент импульса (или момент коли­чества движения).

Из уравнений (14) и (14 *) следует, соответственно, уравнение моментов относительно оси и относительно точки:

dL=Mdt (15); (15 *) .

Согласно уравнению моментов относительно оси (15) – изменение мо­мента импульса тела dL относительно неподвижной оси равно моменту им­пульса внешней силы Mdt, действующей на тело относительно этой же оси. Относительно точки уравнение моментов (15 *) формулируется: изменение вектора момента импульса относительно точки равно импульсу момента вектора силы, действующего на тело, относительно этой же точки.

Из уравнений (15) и (15 *) вытекает закон сохранения момента им­пульса твердого тела как относительно оси, так и относительно точки. Из уравнения (15) следует: если суммарный момент всех внешних сил М отно­сительно оси равен нулю (M=0, следовательно и dL=0), то момент импульса этого тела относительно оси его вращения остается постоянной величиной (L=Const).

Относительно точки: если суммарный вектор момента всех внешних сил относительно точки вращения О остается неизменным, то вектор мо­мента импульса этого тела относительно этой же точки О остается постоян­ным.

В данной лабораторной работе определяются моменты инерции для про­стейших тел вращения. Под телом вращения понимается объемное тело, возникающее при вращении плоской фигуры, ограниченной произвольной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Тело вращения всегда имеет ось симметрии. Простейшими примерами тел вращения являются:

шар – образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза;

цилинд р – образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из его сторон;

конус – образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг од­ного из его катетов и т.п.

В рассматриваемой лабораторной работе методом крутильных колеба­ний определяются моменты инерции для тел: сферы, диска, стержня, полого и сплошного цилиндров. Кроме того, экспериментально проверя­ется теорема Гюйгенса-Штейнера. Эта теорема позволяет определить момент инерции тела относительно любой оси, не проходящей через центр массы тела, если известен момент инерции данного тела относительно оси прохо­дящей через центр масс и параллельной относительно искомой оси.

Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции тела относительно лю­бой оси, не проходящей через центр массы данного тела, равен моменту инерции этого тела относительно оси, проходящей через его центр массы и параллельной первой оси, плюс произведение массы данного тела на квадрат расстояния между этими осями: I = I o + mɑ 2 , где I – момент инерции тела от­носительно искомой оси, (не проходящей через центр массы тела), Iо мо­мент инерции тела относительно оси проходящей через центр массы и параллельной первой оси, m- масса тела, ɑ - расстояние между осями.

Вывод рабочей формулы для расчета момента инерции тел враще­ния методом крутильных колебаний.

Крутильный маятник в данной работе состоит из спиральной пружины, закрепленной в штативе. С пружиной жестко скреплена ось, свободно вра­щающаяся в штативе. На ось крепится тело, момент инерции которого опре­деляется. Если эту систему вывести из положения равновесия, повернув тело на некоторый угол φ и отпустить, то возникнут крутильные колебания тела. При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент силы, приостанавливающий отклонение тела от состояния равновесия, а затем со­общающий телу обратное движение. Возвращающий момент силы М обусловлен упругими силами, возникающими в спиральной пружине.

Как показывают эксперименты, в области упругих деформаций круче­ния, угол поворота спиральной пружины прямо пропорционален проекции момента силы М на ось вращения z (М z), т.е.

М z = - G·φ (16).

Коэффициент пропорциональности G называется угловым коэффициентом упругости спиральной пружины. Из уравнения (11) следует: М z = I z ·, где = - угловое ускорение, I z – момент инерции тела относительно вращающейся оси установки. Следовательно,

М z = I z · (17).

Из (16) и (17) следует равенство: I z · = - G·φ. Или

Уравнение (17) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, которое можно переписать в следующем виде

+ω 2 φ = 0, (19)

где ω 2 = (20)

Уравнение (18) соответствует гармоническому осциллятору и описывает его гармонические колебания, в данном случае колебания углового смещения маятника относительно его положения равновесия. Из решения дифференциального уравнения (18) следует, что колебания крутильного маятника яв­ляются гармоническими φ = φ о ·Sin(ω·t +α), где φ о – амплитуда углового сме­щения, равная начальному угловому отклонению маятника, а ω- цикличе­ская частота колебаний, которая связана с периодом колебаний соотношением

Из уравнений (20) и (21) вытекает рабочая формула эксперименталь­ного определения момента инерции I z для предложенных тел вращения и проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера:

I z =I= , (22)

Подготовка и выполнение лабораторной работы.

Рис.4 Общий вид экспериментальной установки и исследуемых тел.

Как видно из рабочей формулы (22) основными параметрами при экспе­риментальном определении моментов инерции указанных выше тел, яв­ляется период колебаний тела Т и угловой коэффициент упругости спиральной пружины G. В данной лабораторной работе угловой коэффициент экспериментально уже определен по методике, описанной на стр.12 и имеет значение

Измерение моментов инерции тел

1. На все исследуемые тела прикрепите узкий листок бумаги, шириной не более 3 мм. (рис.5).

2. Закрепите исследуемое тело на вращающемся валу, скрепленном с пружи­ной.

3.Установите штатив с пружиной и закрепленным твердым телом так, чтобы листок находился под световым барьером (рис.5).

4. Для светового барьера выберите режим измерений .

5. Отклоните исследуемое тело от положения равновесия приблизительно на 90 о и отпустите его, предварительно нажав на кнопку «Set» датчика светового барьера. Световой барьер измерит промежуток времени, равный периоду колебаний системы.

6. Для проведения повторных измерений сбросьте показания счетчика свето­вого барьера, нажав на кнопку «Set». Через последующий цикл колебатель­ного движения датчик вновь покажет значение периода колебаний системы.

7. Для каждого исследуемого тела сделать 5-7 измерений периода колебаний. По формуле (22) рассчитать моменты инерции исследуемых тел, Для каждого тела данные измерений заносить в отдельную таблицу. Определить средние значения и довери­тельный интервал для каждого исследованного тела. При расчете моментов инерции тел использовать (предварительно экспериментально найденную) величину углового коэффициента упругости спиральной пружины, равной: G =0,0241±0,0009 Н·М/РАД.

Таблица № 1. Определение момента инерции однородного цилиндра.