Рассмотрим сложное движение твердого тела, слагающееся из поступательного и вращательного движений. Соответствующий пример показан на рис. 78. Здесь относительным движением тела 1 является вращение с угловой скоростью вокруг оси Аа ,укреп­ленной на платформе 2, а переносным – поступательное движение платформы со скоростью . Одновременно в двух таких движениях участвует и колесо 3, для которого относительным движением яв­ляется вращение вокруг его оси, а переносным – движение той же платформы. В зависимости от значения угла α между векторами и (для колеса этот угол равен 90°) здесь возможны три случая.

1. Скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращения ( ). Пусть сложное движение тела слагается из вращательного движения во­круг оси Аа с угловой скоростью ω и поступательного движения со скоростью , перпендикулярной (рис. 79). Очевидно, что это движение представляет собой (по отношению к плоскости П , пер­пендикулярной оси Аа )плоскопараллельное движение.

Если считать точку А полюсом, то рассматри­ваемое движение, как и всякое плоскопараллельное будет действительно слагаться из поступательного со скоростью , т. е. со скоростью полюса, и из вращательного вокруг оси Аа , проходя­щей через полюс.

Вектор , согласно разделу 6.2, можно заменить парой угловых скоростей и , принимая , а . При этом расстояние АР опре­делится из равенства , откуда .

Векторы и дают при сложении ноль и, следовательно, движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси Рр с угловой скоростью . Таким образом, поворот тела вокруг осей Аа и Рр происходит с одной и той же угло­вой скоростью , т. е. вращательная часть движения не зависит от выбора полюса.

2. Винтовое движение ( ). Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоро­стью и поступательного со скоростью , направленной параллель­но оси Аа (рис. 80), то такое движение тела называется винтовым. Ось Аа называют осью винта. Когда векторы и направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения винт будет правым ; если в разные стороны – левым. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины и постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т , получаем в этом случае и , откуда .

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М , находящей­ся от оси винта на расстоянии r ,слагается из поступательной ско­рости и перпендикулярной ей скорости, получаемой во враща­тельном движении, которая численно равна ωr. Следовательно .

Направлена скорость по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом , где .

3. Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения. Сложное движение, совершаемое телом в этом случае (рис. 81, а), можно рассматривать, как общий случай движения свободного твердого тела.

Разложим вектор (рис. 81, б) на составляющие: , направ­ленную вдоль (), и , перпендикулярную (). Скорость можно заменить парой угловых скоростей и , после чего векторы и можно отбросить. Расстояние АС найдем по формуле .

Тогда у тела остается вращение с угловой скоростью и поступательное движение со скоростью . Следовательно, распределение скоростей точек тела в данный момент времени будет таким же, как при винтовом движении вокруг оси Сс с угловой скоростью и поступательной скоростью .

Выполнив преобразования (рис. 81, б), мы перешли от полюса А к полюсу С . Результат подтверждает, что в общем случае движения твердого тела угловая скорость при перемене полюса не изменяется (), а меняется только поступательная скорость ().

Так как при движении свободного твердого тела величины , α будут все время изменяться, то будет непрерывно меняться и положение оси Сс , которую поэтому называют мгновенной винтовой осью. Таким образом, движение свободного твердого тела можно еще рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей .

Заключение

Роль и место теоретической механики в инженерном образовании определяется тем, что она является научной базой очень многих областей современной техники. Усвоение теоретической механики усложняется тем, что в этой науке существенную роль играет моделирование и математическое представление исследуемых явлений природы. Поэтому при решении инженерных задач студенты зачастую испытывают значительные трудности. Проблему формирования у студентов исследовательского подхода к поставленным задачам (из раздела «Кинематика» курса теоретической механики) позволяет решить предлагаемое учебное пособие. В пособии доступно освещены основные темы раздела «Кинематика» с приведением всех необходимых доказательств. Даны методические рекомендации к решению задач и приведены примеры их решения. Освоению и закреплению изложенного материала помогут задания для самостоятельной работы, приведенные в конце глав пособия.

Рассмотрим сложное движение твердого тела, слагающееся из поступательного и вращательного движений. Соответствующий пример показан на рис. 207. Здесь относительным движением тела 1 является вращение с угловой скоростью со вокруг оси укрепленной на платформе 2, а переносным - поступательное движение платформы со скоростью v. Одновременно в двух таких движениях участвует и колесо 3, для которого относительным движением является вращение вокруг его оси, а переносным - движение той же платформы. В зависимости от значения угла а между векторами и v (для колеса этот угол равен 90°) здесь возможны три случая.

1. Скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращения Пусть сложное движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси с угловой скоростью со и поступательного движения со скоростью v, перпендикулярной (рис. 208).

Легко видеть, что это движение представляет собой (по отношению к плоскости П, перпендикулярной оси ) плоскопараллельное движение, подробно изученное в гл. XI. Если считать точку А полюсом, то рассматриваемое движение, как и всякое плоскопараллельное, будет действительно слагаться из поступательного со скоростью т. е. со скоростью полюса, и из вращательного вокруг оси проходящей через полюс.

Вектор v можно заменить парой угловых скоростей (см. § 69), беря . При этом расстояние АР определится из равенства откуда (учитывая, что )

Векторы дают при сложении нуль, и мы получаем, что движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси с угловой скоростью . Этот результат был раньше получен другим путем (см. § 56). Сравнивая равенства (55) и (107), видим, что точка Р для сечения S тела является мгновенным центром скоростей Здесь еще раз убеждаемся, что поворот тела вокруг осей происходит с одной и той же угловой скоростью , т. е. что вращательная часть движения не зависит от выбора полюса (см. § 52).

2. Винтовое движение (). Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси с угловой скоростью со и поступательного со скоростью v, направленной параллельно оси (рис. 209), то такое движение тела называется винтовым. Ось называют осью винта.

Когда векторы направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения о винт будет правым; если в разные стороны, - левым.

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины и и со постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т, получаем в этом случае , откуда

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся от оси винта на расстоянии , слагается из поступательной скорости v и перпендикулярной ей скорости, получаемой во вращательном движении, которая численно равна Следовательно,

Направлена скорость по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом

3. Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения. Сложное движение, совершаемое телом в этом случае (рис. 210, а), представляет собой движение, рассмотренное в § 63 (общий случай движения свободного твердого тела).

Разложим вектор v (рис. 210, б) на составляющие: направленную вдоль со перпендикулярную Скорость можно заменить парой угловых скоростей (как на рис. 208), после чего векторы можно отбросить. Расстояние АС найдем по формуле (107).

ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ . Если движение неизменяемой системы (например, твердого тела) слагается из вращения около оси и поступательного движения вдоль этой оси, то такое движение тела называется винтовым движением; указанная ось называется винтовой осью, или осью вращения - скольжения. Если даны два произвольных положения движущегося в пространстве тела, то переход из положения I во II можно выполнить одним винтовым движением около определенно расположенной винтовой оси (теорема Шаля); при этом вращательное и поступательное движения могут выполняться или одновременно, или последовательно в любом порядке. Рассматривая все данное перемещение тела в пространстве как состоящее из бесконечно малых элементарных перемещений и применяя к каждому из них теорему Шаля, получаем следующее положение: всякое движение тела в пространстве представляет собой ряд бесконечно малых винтовых перемещений около мгновенных винтовых осей, в каждый момент меняющих свое положение и направление в пространстве.

Винтовые элементарные перемещения тела около каждой мгновенной оси являются движениями, эквивалентными бесконечно малым действительным перемещениям тела, и представляют их с точностью до бесконечно малых величии высших порядков. Законы винтового перемещения, эквивалентного какому-либо перемещению твердого тела, были установлены Моцци (Giulio Mozzi, 1768 г.). Сложение двух винтовых перемещений дает в результате также винтовое перемещение.

ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ - движение твёрдого тела, слагающееся из прямолинейного поступательного движения с нек-рой скоростью и вращательного движения с нек-рой угловой скоростью вокруг оси аa 1 , параллельной направлению постулат. скорости (рис. 1). Тело, совершающее стационарное В. д., т. е. В. д., при к-ром направление оси aa 1 остаётся неизменным, наз. винтом; ось аа 1 наз. осью винта; расстояние, проходимое любой точкой тела, лежащей на оси аa 1 , за время одного оборота, наз. шагом h винта, величина - параметром винта. Если вектор направлен в сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки, то при векторах , направленных в одну сторону, винт наз. правым, а в разные стороны,- левым.

Скорость и ускорение любой точки M тела, отстоящей от оси аa 1 на расстоянии r , численно равны

Когда параметр р постоянен, шаг винтатакже постоянен. В этом случае всякая точка M тела, не лежащая на оси aa 1 , описывает винтовую линию, касательная к к-рой в любой точке образует с плоскостью yz , перпендикулярной оси aa 1 , угол Любое сложное движение твёрдого тела слагается в общем случае из серии элементарных или мгновенных В. д. Ось мгновенного В. д. наз. мгновенной винтовой осью. В отличие от оси стационарного В. д., мгновенная винтовая ось непрерывно изменяет своё положение как по отношению к системе отсчёта, в к-рой рассматривается движение тела, так и по отношению к самому телу, образуя при этом 2 линейчатые (соприкасающиеся но прямой линии) поверхности, наз. соответственно неподвижным и подвижным аксоидами (рис. 2). Геом. картину движения тела можно в общем случае получить качением с продольным проскальзыванием подвижного аксоида по неподвижному, осуществляя таким путём серию тех последоват. В. д., из к-рых слагается движение тела.

Винтовое движение

Винтово"е движе"ние, движение твёрдого тела, слагающееся из прямолинейного поступательного движения со скоростью v и вращательного движения с угловой скоростью w вокруг оси aa 1 , параллельной направлению скорости v (см. рис. ). Когда направление оси aa 1 остаётся неизменным, тело, совершающее В. д., в механике называется винтом, а ось aa 1 - осью винта. Винт называется правым, когда v и w направлены так, как показано на рис., и левым, если направление v или w изменить на прямо противоположное. Расстояние, проходимое за один оборот любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта, а величина р = v/ w - параметром винта.

Скорость v м и ускорение w м любой точки М винта, отстоящей от оси на расстоянии r , численно равны

где w - ускорение поступательного движения тела вдоль оси aa 1 , e - угловое ускорение вращения вокруг этой оси.

Если параметр р постоянен, шаг винта h = 2pv /w = 2pр также постоянен. Любая точка винта, не лежащая на его оси, описывает в этом случае винтовую линию, касательная к которой в каждой точке образует с плоскостью, перпендикулярной оси винта, угол

a = arctg h /2pr .

Любое сложное движение твёрдого тела слагается в общем случае из серии элементарных или мгновенных В. д. При этом ось В. д., называемая мгновенной винтовой осью, непрерывно изменяет своё направление в пространстве и в самом движущемся теле.