Основной закон механики, как указывалось, устанавливает для материальной точки связь между кинематическими (w - ускорение) и кинетическими ( - масса, F - сила) элементами в виде:

Он справедлив для инерциальных систем, которые выбираются в качестве основных систем, поэтому фигурирующее в нем ускорение резонно называть абсолютным ускорением точки.

Как указывалось, сила, действующая на точку, в общем случае зависит от времени положения точки, которое можно определить радиусом-вектором и скорости точки Заменяя ускорение точки его выражением через радиус-вектор, основной закон динамики запишем в виде:

В последней записи основной закон механики представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, служащее для определения уравнения движения точки в конечной форме. Уравнение, приведенное выше, называется уравнением движения точки в дифференциальной форме и векторном виде.

Дифференциальные уравнение движения точки в проекциях на декартовы координаты

Интегрирование дифференциального уравнения (см. выше) в общем случае представляет собой сложную задачу и обычно для решения ее от векторного уравнения переходят к скалярным уравнениям. Так как сила, действующая на точку, зависит от времени положения точки или ее координат и скорости точки или проекции скорости то, обозначая проекции вектора силы на прямоугольную систему координат соответственно дифференциальные уравнения движения точки в скалярной форме будут иметь вид:

Естественная форма дифференциальных уравнений движения точки

В тех случаях, когда заранее известна траектория точки, например, когда на точку наложена связь, определяющая ее траекторию, удобно пользоваться проекцией векторного уравнения движения на естественные оси, направленные по касательной, главной нормали и бинормали траектории. Проекции силы, которые назовем соответственно будут в этом случае зависеть от времени t, положения точки, которое определяется дугой траектории и скорости точки, или Так как ускорение через проекции на естественные оси записывается в виде:

то уравнения движения в проекции на естественные оси имеют вид:

Последние уравнения называются естественными уравнениями движения. Из этих уравнений следует, что проекция действующей на точку силы на бинормаль равна нулю и проекция силы на главную нормаль определяется после интегрирования первого уравнения. Действительно, из первого уравнения будет определено как функция времени t при заданной тогда, подставляя во второе уравнение найдем так как при заданной траектории радиус кривизны ее известен.

Дифференциальные уравнения движения точки в криволинейных координатах

Если положение точки задано ее криволинейными координатами то, проектируя векторное уравнение движения точки на направления касательных к координатным линиям, получим уравнения движения в виде.

Общие представления

Характерными параметрами движения жидкости являются давление, скорость и ускорение, зависящие от положения материальной точки в пространстве. Различают два вида движения жидкости: установившееся и неустановившееся. Движение называют установившимся, если параметры движения жидкости в данной точке пространства не зависят от времени. Движение, не удовлетворяющее этому определению, называют неустановившимся. Таким образом, при установившемся движении

при неустановившемся движении

Примером установившегося движения может служить истечение жидкости из отверстия в стенке резервуара, в котором поддерживается постоянный уровень путем непрерывного пополнения жидкости. Если сосуд опорожняется через отверстие без пополнения, то давление, скорость и очертание потока изменяются во времени, и движение будет неустановившимся. Установившееся движение является основным видом течения в технике.

Движение называется плавноизменяющимся, если не происходит отрыва потока от направляющих стенок с образованием в местах отрыва областей застойных вихревых течений.

В зависимости от характера изменения скорости по длине потока плавноизменяющееся движение может быть равномерным и неравномерным. Первый вид движения соответствует случаю, когда по всей длине потока живые сечения одинаковы, а скорости постоянны по величине. В противном случае плавноизменяющееся движение будет неравномерным. Примером равномерного движения является движение с постоянной скоростью в цилиндрической трубе постоянного сечения. Неравномерное движение будет в трубе переменного сечения при слабом расширении и большом радиусе кривизны потока. В зависимости от давления на поверхностях, ограничивающих поток жидкости, движение бывает напорное и безнапорное. Напорное движение характеризуется наличием твердой стенки в любом живом сечении и обычно имеет место в закрытом трубопроводе при полном заполнении его поперечного сечения, т. е. при отсутствии свободной поверхности в потоке. Безнапорные потоки имеют свободную поверхность, граничащую с газом. Безнапорное движение происходит под действием силы тяжести.

При исследовании жидкости пользуются двумя принципиально различными аналитическими методами: Лагранжа и Эйлера с движением твердого тела, выделяя в ней частицу с заданными начальными координатами и прослеживая ее траекторию.

Согласно Лагранжу поток жидкости рассматривают как совокупность траекторий, описываемых жидкими частицами. Общий вектор скорости жидкой частицы в отличие от скорости твердой состоит в общем случае из трех компонентов: наряду с переносной и относительной скоростью жидкой частице свойственна скорость деформации. Метод Лагранжа оказался громоздким и не получил широкого распространения.

По методу Эйлера рассматривают скорость жидкости в фиксированных точках пространства; при этом скорость и давление жидкости представляют как функции координат пространства и времени, а поток оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным произвольным точкам пространства. В поле скоростей могут быть построены лини тока, которые в данный момент времени являются касательными к вектору скорости жидкости в каждой точке пространства. Уравнения линии тока имеют вид

где проекции скорости на соответствующие оси координат отнесены к проекциям приращения линии тока. Таким образом, согласно Эйлеру поток в целом в данный момент времени оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным точкам пространства, что упрощает решение задач.

В кинематике и динамике рассматривается струйчатая модель движения жидкости, при которой поток представляется состоящим из отдельных элементарных струек. При этом элементарная струйка представляется как часть потока жидкости внутри трубки тока, образованной линиями тока, проходящими через бесконечно малое сечение. Площадь сечения трубки тока, перпендикулярную линиям тока, называют живым сечением элементарной струйки.

При установившемся движении элементарные струйки не меняют своих очертаний в пространстве. Потоки жидкости в общем случае являются трехмерными, или объемными. Более простыми являются двухмерные плоские потоки и одномерные осевые. В гидравлике преимущественно рассматриваются одномерные потоки.

Объем жидкости , проходящей через живое сечение в единицу времени , называют расходом

Скоростью жидкости в точке является отношение расхода элементарной струйки проходящей через данную точку, к живому сечению струйки dS

Для потока жидкости скорости частиц по живому сечению различны. В этом случае скорость жидкости усредняют, и все задачи решают относительно средней скорости. Это правило одно из основных в гидравлике. Расход потока через сечение

и средняя скорость

Длина контура живого сечения, по которой поток соприкасается с ограничивающими его стенками канала (трубы), называется смоченным периметром. При напорном движении смоченный периметр равен полному периметру живого сечения, а при безнапорном движении смоченный периметр меньше геометрического периметра сечения канала, так как в нем имеется свободная поверхность, не соприкасающаяся со стенками (рис. 15).

Отношение площади живого сечения к смоченному периметру

называют гидравлическим радиусом R.

Например, при напорном движении в круглой трубе геометрический радиус , смоченный периметр , а гидравлический радиус . Значение часто называют эквивалентным диаметром d экв.

Для канала прямоугольного сечения при напорном движении ; .

Рис. 15. элементы гидравлического потока

Рис. 16. К выводу уравнения неразрывности потока

В случае безнапорного движения

здесь размеры поперечного сечения канала (см. рис. 15). Основное уравнение кинематики жидкости уравнение не разрывности, которое вытекает из условий несжимаемости, жидкости и сплошности движения, гласит, что в каждый момент времени расход через произвольное сечение потока равен расходу через любое другое живое сечение этого потока

Представляя расход через сечение в форме

получим из уравнения неразрывности

из которого следует, что скорости потока пропорциональны площадям живых сечений (рис. 16).

Дифференциальные уравнения движения

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости можно получить с помощью уравнения покоя (2.3), если согласно началу Даламбера ввести в эти уравнения силы инерции, отнесенные к массе движущейся жидкости. Скорость жидкости является функцией координат и времени ; ее ускорение состоит из трех компонентов, являющихся производными проекций на координатные оси,

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера.

Переход к реальной жидкости в уравнении (3.7) требует учета сил трения, отнесенных к единице массы жидкости, что приводит к уравнениям Навье-Стокса. Ввиду сложности эти уравнения редко применяются в технической гидравлике. Уравнение (3.7) позволит получить одно из фундаментальных уравнений гидродинамики - уравнение Бернулли.

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики, устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.

Рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости (рис. 17). Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скорости , элемент длиной и площадью . Выделенный элемент будет находиться под действием силы тяжести

и сил гидродинамического давления

Учитывая, что в общем случае скорость выделенного элемента , его ускорение

Применив к выделенному элементу весом уравнение динамики в проекции на траекторию его движения, получим

Учтя, что и что при установившемся движении , а также принимая, что , получим после интегрирования деления на

Pиc. 17. К выводу уравнения Бернулли

Рис. 18. Схема работы скоростной трубки

Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.

Первый член уравнения выражает удельную потенциальную энергию положения частички жидкости над некоторой плоскостью сравнения , или ее геометрический напор (высоту), второй удельную энергию давления, или пьезoметрический напор, а член представляет собой удельную кинетическую энергию, или скоростной напор. Константа Н называется полным напором потока в рассматриваемом сечении. Сумма первых двух членов уравнения называется статическим напором

Члены уравнения Бернулли, поскольку они представляют собой энергию единицы веса жидкости, имеют размерность длины. Член есть геометрическая высота частички над плоскостью сравнения, член - пьезометрическая высота, член – скоростная высота, которая может быть определена с помощью скоростной трубки (трубки Пито), представляющей собой изогнутую трубку небольшого диаметра (рис. 18), которая устанавливается в потоке открытым нижним концом навстречу течению жидкости, верхний, тоже открытый конец трубки выводится наружу. Уровень жидкости в трубке устанавливается выше уровня R пьезометре на величину скоростной высоты

В практике технических измерений трубка Пито служит в качестве прибора для определения местной скорости жидкости. Измерив величину , находят скорость в рассматриваемой точке сечения потока

Уравнение (3.8) можно получить непосредственно путем интегрирования уравнений Эйлера (3.7) или следующим образом. Представим себе, что рассматриваемый нами элемент жидкости является неподвижным. Тогда на основании уравнения гидростатики (2.7) потенциальная энергия жидкости в сечениях 1 и 2 будет

Движение жидкости характеризуется появлением кинетической энергии, которая для единицы веса будет равна для рассматриваемых сечений и и . Полная энергия потока элементарной струйки будет равна сумме потенциальной и кинетической энергии, поэтому

Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.

В случае реальной жидкости полный напор в уравнении (3.8) для разных элементарных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как не одинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, ввиду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения сечению будет убывать.

Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор

Отсюда, усредняя уравнения Бернулли для элементарной струйки на весь поток и учтя потерю напора на сопротивление движению, получим

где - коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного -2; - средняя скорость потока: - уменьшение удельной механической энергии отока на участке между сечениями 1 и 2, происходящее в результате сил внутреннего трения.

Заметим, что расчет дополнительного члена в уравнении Берулли является основной задачей инженерной гидравлики.

Графическое представление уравнений Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости приведено на рис. 19

Pиc. 19. Диаграмма уравнения Бернулли

Линия A, которая проходит по уровням пьезoметрах, измеряющих в точках избыточное давление, называется пьезoметрической линией. Она показывает изменение отсчитанного от плоскости сравнения статического напора

· Дифференциальные уравнения движения точки связывают ускорение точки с действующими на нее силами. Фактически дифференциальные уравнения являются записью основного закона динамики в явной дифференциальной форме.
Для абсолютного движения точки (движение в инерциальной системе отсчета) дифференциальное уравнение имеет вид:
.

· Векторное уравнение может быть записано в проекциях на оси прямоугольной инерциальной системы координат:

· При известной траектория движения точки уравнение может быть записано в проекциях на оси естественной системы координат:

С учетом того, что ,
где - тангенциальное ускорение;
- нормальное ускорение,
уравнения примут вид:

Общие теоремы динамики

· Общие теоремы динамики устанавливают зависимость между мерами механического движения и механического взаимодействия. Выводы теорем являются результатом тождественного преобразования основного закона динамики.

· Теорема об изменении количества движения: изменение количества движения материальной точки (механической системы) за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени - для материальной точки;
- для механической системы.

· Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки (механической системы) при её перемещении равно сумме работ всех действующих внешних сил на этом перемещении - для материальной точки;
- для механической системы.

· Кинетическая энергия механической системы определяется в соответствии с , при этом для твердых тел выведены следующие зависимости:
- при поступательном движении тела;
- при вращательном движении тела;
- при плоско-параллельном движении тела.

· Момент инерции цилиндра относительно его оси:
.

· Момент инерции стержня относительно оси z :
.

· Момент инерции прямоугольной пластины относительно осей х иy : .

· Момент инерции шара определяется по формуле:
.

· Работа силы тяжести:
,
где P - сила тяжести;
h - изменение положения тела по вертикали.

· Работа силы при вращательном движении тела
,
где M - момент силы,
w - угловая скорость тела.
Следует иметь в виду, что работа, как скалярная величина, может быть положительной или отрицательной. Работа будет положительной если направление действия силы совпадает с направлением движения.

Принцип Даламбера

· Формулировка принципа Даламбера: если в любой момент времени к действующим на точку силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной :
.

· Для механической системы:
.

Примеры решения задач

Решение примеров по теме: «Статика твердого тела»

Пример 1. Условия равновесия

Висящий на нити, под углом в сорок пять градусов к гладкой стене шар весом в десять Ньютон, находится в состоянии равновесия (рис. а ). Необходимо определить давление однородного шара на гладкую стенку и натяжение нити.

Дано: P = 10 Н; α = 45°
Найти: N, T - ?

Решение.
Отбрасываем связи, а их действие на шар заменяем реакциями.
Реакция стенки N направлена перпендикулярно стенке (от точки касания С к центру шара О ), реакция нити Т - вдоль нити от точкиА к точке В .
Тем самым выявляется полная система сил, приложенных к покоящемуся шару.

Это система сил, сходящихся в центре О шара, и состоящая из веса шара Р (активная сила), реакции стенки N и реакции нити Т (рис.б ).

Реакции N и Т по величине неизвестны. Для их определения следует воспользоваться условиями равновесия (в той или иной форме - геометрической, аналитической).

При геометрическом способе решения строится замкнутый многоугольник сил и используются соотношения школьной геометрии (теорема синусов, теорема косинусов, теорема Пифагора и т.д.).

В данном случае это замкнутый силовой треугольник (рис. в ), из которого получаем:

После подстановки в формулы числовых значений, получим:
.

Ответ: .

Решение примеров

Свободные колебания материальной точки. Влияние постоянной силы на свободное колебание

Свободные колебания (или собственные колебания ) - это колебания колебательной системы, совершаемые только благодаря первоначально сообщенной энергии (потенциальной или кинетической) при отсутствии внешних воздействий

Дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления:

Общее решение этого уравнения имеет вид , где

В случае, когда действующая на материальную точку позиционная сила стремиться вернуть ее в исходное положение, движение точки будет носить колебательный характер. Такую силу принято называть восстанавливающей.

Под действием восстанавливающей силы материальная точка совершает движение по синусоидальному закону, т.е. гармоническое колебательное движение.

Постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой под действием восстанавливающей силы F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину ста­тического отклонения .

Движение материальной точки в условиях резонанса

В случае, когда , т.е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса.

Резонанс - это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Возникает, когда частота собственных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы

Размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограниченно возрастать

Вынужденные колебания материальной точки при сопротивление пропорциональном скорости.

Вращательное движение

В этом случае . Тогда

– кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

Теоре́ма Кёнига

Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

T=T0+Tr {\displaystyle {T\;=\;T_{0}+T_{r}}\;,}

Где T - {\displaystyle T} TTTTTTtTTTTtt полная кинетическая энергия системы, {\displaystyle T_{0}}T0 - кинетическая энергия движения центра масс, {\displaystyle T_{r}}Tr - относительная кинетическая энергия системы .

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её сферическом движении относительно центра масс.

Более точная формулировка: полная кинетическая энергия всей системы равна сумме кинетической энергии всей массы системы, сосредоточенной в ее центре масс и движущейся со скоростью центра масс плюс кинетическая энергия той же системы в ее относительной системе относительно центра масс

Рисунок 1 - Свободное падение тела.

Так как груз малыми размерами то сопротивление воздуха достаточно мало и энергия на его преодоление мала и ею можно пренебречь. Скорость движения тела не высока и на малом расстоянии не достигает момента, когда она уравновешивается трением о воздух и ускорение прекращается.

В момент столкновения с землей кинетическая энергия максимальна. Так как тело обладает максимальной для него скоростью. А потенциальная энергия равна нулю, так как тело достигло поверхности земли и высота равна нулю. То есть что происходит, максимальная потенциальная энергия в верхней точке, по мере движения переходит в кинетическую, которая в свою очередь достигает максимума в нижней точке. Но сумма всех энергий в системе за время движения остается постоянной. Насколько уменьшилась потенциальная энергия, настолько увеличилась кинетическая.

Идеальные связи

При движении точки по поверхности или по кривой реакция связи может быть разложена на нормальную и касательную составляющие. Касательная составляющая реакции представляет собой силу трения. Чем более гладкой будет поверхность или кривая, тем меньше будет касательная составляющая реакции. Если поверхность или кривая абсолютно гладкие, то реакция нормальна к поверхности

Идеальными связями называются связи без трения, реакции которых не имеют касательных составляющих

Принцип освобождаемости от связей , согласно которому несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить действующие на него связи и заменить их силами – реакциями связей.

Реакция связи Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствующая тем или иным его перемещениям, называется реакцией связи. Реакция связи направлена в сторону противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

Жесткая заделка

Нахождение реакции жесткой заделки сводится к определению составляющих Х А и Y A препятствующих линейному перемещению балки в плоскости действия сил, и алгебраической величине момента m A , препятствующего вращению балки под действием приложенных к ней сил.

Рис.4

Решение. Эту задачу можно решить известными методами статики, составляя уравнения равновесия. Но при этом придется прежде отыскать усилия в стержнях. Принцип возможных перемещений позволяет найти силу F проще, с помощью общего уравнения статики.

Показываем активные силы и . Даем системе возможное перемещение, повернув стержень АО на угол (рис.66). Так как желоб совершит поступательное движение, то перемещения всех его точек будут одинаковы:

где a =AO=BD.

Составляем уравнение работ: . Угол .

Поэтому получим . Отсюда .

Общее уравнение динамики.

По принципу Даламбера материальную систему, движущуюся под действием некоторых сил, можно рассматривать находящейся в равновесии, если ко всем точкам системы приложить их силы инерции. Значит можно воспользоваться и принципом возможных перемещений.

В уравнение работ (1) добавится еще сумма работ сил инерции точек на их возможных перемещениях:

Или по принципу возможных скоростей (2):

Эти уравнения называют общим уравнением динамики . Оно позволяет решать большой класс задач на исследование движения довольно сложных материальных систем.

Уравнения (3) и (4) показывают, что в любой фиксированный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю при условии, что на систему наложены идеальные и удерживающие связи.

Стоит подчеркнуть еще одно важное достоинство этого метода, общего уравнения динамики, – реакции связей (идеальных) исключаются при исследовании движения системы.

Иногда это уравнение можно использовать для исследования движения механических систем и в тех случаях, когда не все связи являются идеальными, например, когда имеются связи с трением. Для этого следует к активным силам добавить те составляющие реакций, которые обусловлены наличием сил трения.

Рис.11

Равновесие считается устойчивым, если телу в этом положении сообщить малую скорость или сместить на малое расстояние и эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.

Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положении равновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Для консервативной системы с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положения равновесия, определяется, второй производной, ее значением в положении равновесия,

Законы классической механики. Дифференциальное уравнение движения материальной точки.

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению

ΣX = m(d 2 x/dt 2); ΣY = m(d 2 y/dt 2),

где ΣX и ΣY – алгебраические суммы проекций сил, действующих на точку, на соответствующие координатные оси; x и y – текущие координаты точки.

С помощью полученных дифференциальных зависимостей решаются две основные задачи динамики:

• по заданному движению точки определяют действующие на нее силы;
• зная действующие на точку силы, определяют ее движение.

Пусть Oxyz - инерциальная система координат, М - движущая точка массы m, - равнодействующая всех сил, приложенных к точке, - ускорение точки (рис. 1). В любой момент времени для движущейся точки выполняется основное уравнение динамики:

Вспоминая из кинематики формулу

выражающую ускорение через радиус-вектор точки, представим основное уравнение динамики в следующем виде:

Это равенство, выражающее основное уравнение динамики в дифференциальной форме, называется векторным дифференциальным уравнением движения материальной точки.

Векторное дифференциальное уравнение эквивалентно трем скалярным дифференциальным уравнениям того же порядка. Они получаются, если основное уравнение динамики спроектировать на координатные оси и записать в координатной форме:

Так как эти равенства запишутся так:

Полученные равенства называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовой системе координат. В этих уравнениях текущие координаты точки, - проекции на координатные оси равнодействующей сил, приложенных к точке.

Если для ускорения воспользоваться формулой

то векторное и скалярные дифференциальные уравнения движения точки запишутся в виде дифференциальных уравнений первого порядка: - векторное дифференциальное уравнение; - скалярные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения движения точки можно записать не только в декартовой, но в любой другой системе координат.

Так, проектируя основное уравнение динамики на естественные координатные оси, получаем равенства:

где - проекции ускорения на касательную, главную нормаль и бинормаль траектории в текущем положении точки; - проекции равнодействующей силы на эти же оси. Вспоминая формулы кинематики для проекций ускорения на естественные оси и подставляя их в написанные равенства, получим:

Это дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественной форме. Здесь - проекция скорости на направление касательной, - радиус кривизны траектории в текущем положении точки. Многие задачи динамики точки решаются более просто, если воспользоваться дифференциальными уравнениями движения в естественной форме.

Рассмотрим примеры на составление дифференциальных уравнений движения.

Пример 1. Материальная точка массой брошена под углом к горизонту и движется в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости: , где b - заданный постоянный коэффициент пропорциональности.

Изображаем движущуюся точку в произвольный (текущий) момент времени t, прикладываем действующие силы - силу сопротивления R и вес точки (рис. 2). Выбираем координатные оси - начало координат принимаем в начальном положении точки, ось направляем горизонтально в сторону движения, ось у - вертикально вверх. Определяем проекции равнодействующей на выбранные оси ( - угол наклона скорости к горизонту):

Подставляя эти значения в дифференциальные уравнения движения точки в общем виде, получаем дифференциальные уравнения движения, соответствующие нашей задаче:

Третье уравнение отсутствует, так как движение происходит в плоскости .

Пример 2. Движение математического маятника в пустоте. Математическим маятником называют материальную точку М, подвешенную при помощи невесомой нити (или стержня) длиной к неподвижной точке О и движущуюся под действием силы тяжести в вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса (рис. 3). В данном примере траектория точки известна (это окружность радиуса с центром в точке О), поэтому целесообразно воспользоваться дифференциальными уравнениями движения в естественной форме. Принимаем за начало отсчета дуговой координаты наинизшую точку окружности направление отсчета выберем вправо. Изображаем естественные оси - касательную , главную нормаль бинормаль направлена на читателя. Проекции на эти оси равнодействующей приложенных сил - веса и реакции связи таковы ( - угол наклона маятника к вертикали).