Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов.

Пусть дана квадратичная форма

Напомним, что, ввиду симметричности матрицы

,

Возможны два случая:

1. Хотя бы один из коэффициентовпри квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать(этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2. Все коэффициенты,

но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

,

а через обозначены все остальные слагаемые.

представляет собой квадратичную форму от (n-1) переменных .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что

Второй случай заменой переменных

сводится к первому.

Пример 1:Квадратичную форму привести к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.

Решение. Соберём все слагаемые, содержащие неизвестное , и дополним их до полного квадрата

.

(Так как .)

или

(3)

или


(4)

и от неизвестных
формапримет вид. Далее полагаем

или

и от неизвестных
формапримет уже канонический вид

Разрешим равенства (3) относительно
:

или

Последовательное выполнение линейных преобразований
и
, где

,

имеет матрицей

Линейное преобразование неизвестных
приводит квадратичную форму к каноническому виду (4). Переменные
связаны с новыми переменными
соотношениями

С LU - разложением мы познакомились в практикуме 2_1

Вспомним утверждения из практикума 2_1

Утверждения (см.Л.5, стр. 176)

Данный скрипт призван понять роль LU в методе Лагранжа, с ним нужно работать в блокноте EDITOR с помощью кнопки F9.

А в прилагаемых ниже заданиях лучше создать свои М-функции, помогающие вычислению и осознанию задач линейной алгебры (в рамках данной работы)

Ax=X."*A*X % получаем квадратичную форму

Ax=simple(Ax) % упрощаем ее

4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2

% найдем LU разложение без перестановки строк матрицы A

% При преобразовании матрицы к ступенчатому виду

%без перестановок строк, мы получим матрицу M1 и U3

% U получается из A U3=M1*A,

% вот такой матрицей элементарных преобразований

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

%мы получим U3=M1*A, где

4.0000 -2.0000 2.0000

% из M1 легко получить L1, поменяв знаки

% в первом столбце во всех строках кроме первой.

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% L1 такое, что

A_=L1*U % вот это и есть нужное нам LU разложение

% Элементы, стоящие на главной диагонали U -

% это коэффициенты при квадратах y i ^2

% в преобразованной квадратичной форме

% в нашем случае, есть один только коэффициент

% значит, в новых координатах будет только 4y 1 2 в квадрате,

% при остальных 0y 2 2 и 0y 3 2 коэффициенты равны нулю

% столбцы матрицы L1 - это разложение Y по X

% по первому столбцу видим y1=x1-0.5x2+0.5x3

% по второму видим y2=x2; по третьему y3=x3.

% если транспонировать L1,

% то есть T=L1."

% T - матрица перехода от {X} к {Y}: Y=TX

0.5000 1.0000 0

1.0000 -0.5000 0.5000

% A2 – матрица преобразованной квадратичной формы

% Заметим U=A2*L1." и A=L1* A2*L1."

4.0000 -2.0000 2.0000

1.0000 -0.5000 0.5000

% Итак, мы получили разложение A_=L1* A2*L1." или A_=T."* A2*T

% показывающее замену переменных

% y1=x1-0.5x2+0.5x3

% и представление квадратичной формы в новых координатах

A_=T."*A2*T % T=L1." матрица перехода от {X} к {Y}: Y=TX

isequal(A,A_) % должно совпасть с исходной A

4.0000 -2.0000 2.0000

2.0000 1.0000 -1.5000

2.0000 -1.5000 1.0000

Q1=inv(T) % находим матрицу перехода от {Y} к {X}

% Найдем преобразование,

% приводящее квадратичную форму Ax=X."*A*X

% к новому виду Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y

Ay =4*y1^2 - y2*y3

x1 - x2/2 + x3/2

% матрица второго преобразования,

% которая составляется значительно проще.

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

% R=Q1*Q2, X=R*Z

R=Q1*Q2 % невырожденное линейное преобразование

% приводящее матрицу оператора к каноническому виду.

det(R) % определитель не равен нулю - преобразование невырожденное

4*z1^2 - z2^2 + z3^2 ok

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

Сформулируем алгоритм приведения квад ратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием:

Приведение квадратичных форм

Рассмотрим наиболее простой и чаще используемый на практике способ приведения квадратичной формы к каноническому виду, называемый методом Лагранжа . Он основан на выделении полного квадрата в квадратичной форме.

Теорема 10.1 (теорема Лагранжа).Любую квадратичную форму (10.1):

при помощи неособенного линейного преобразования (10.4) можно привести к каноническому виду (10.6):

□ Доказательство теоремы проведем конструктивным способом, используя метод Лагранжа выделения полных квадратов. Задача заключается в том, чтобы найти неособенную матрицу такую, чтобы в результате линейного преобразования (10.4) получилась квадратичная форма (10.6) канонического вида. Эта матрица будет получаться постепенно как произведение конечного числа матриц специального типа.

Пункт 1(подготовительный).

1.1. Выделим среди переменных такую, которая входит в квадратичную форму в квадрате и в первой степени одновременно (назовем ее ведущей переменной ). Перейдем к пункту 2.

1.2. Если в квадратичной форме нет ведущих переменных (при всех : ), то выберем пару переменных, произведение которых входит в форму с отличным от нуля коэффициентом и перейдем к пункту 3.

1.3. Если в квадратичной форме отсутствуют произведения разноименных переменных, то данная квадратичная форма уже представлена в каноническом виде (10.6). Доказательство теоремы завершено.

Пункт 2 (выделение полного квадрата).

2.1. По ведущей переменной выделим полный квадрат. Без ограничения общности предположим, что ведущей переменной является переменная . Группируя слагаемые, содержащие , получаем

Выделяя полный квадрат по переменной в , получим

Таким образом, в результате выделения полного квадрата при переменной получим сумму квадрата линейной формы

в которую входит ведущая переменная , и квадратичной формы от переменных , в которую ведущая переменная уже не входит. Сделаем замену переменных (введем новые переменные )

получим матрицу

() неособенного линейного преобразования , в результате которого квадратичная форма (10.1) примет следующий вид

С квадратичной формой поступим также, как и в пункте 1.

2.1. Если ведущей переменной является переменная , то можно поступить двумя способами: либо выделять полный квадрат при этой переменной, либо выполнить переименование (перенумерацию ) переменных:

с неособенной матрицей преобразования:

Пункт 3 (создание ведущей переменной). Выбранную пару переменных заменим на сумму и разность двух новых переменных, а остальные старые переменные заменим на соответствующие новые переменные. Если, например, в пункте 1 было выделено слагаемое

то соответствующая замена переменных имеет вид

и в квадратичной форме (10.1) будет получена ведущая переменная.

Например, в случае замены переменных:

матрица этого неособенного линейного преобразования имеет вид

В результате приведенного алгоритма (последовательного применения пунктов 1, 2, 3) квадратичная форма (10.1) будет приведена к каноническому виду (10.6).

Заметим, что в результате производимых преобразований над квадратичной формой (выделение полного квадрата, переименование и создание ведущей переменной) мы использовали элементарные неособенные матрицы трех типов (они являются матрицами перехода от базиса к базису). Искомая матрица неособенного линейного преобразования (10.4), при котором форма (10.1) имеет канонический вид (10.6), получается путем произведения конечного числа элементарных неособенных матриц трех типов. ■

Пример 10.2. Привести квадратичную форму

к каноническому виду методом Лагранжа. Указать соответствующее неособенное линейное преобразование. Выполнить проверку.

Решение. Выберем ведущей переменную (коэффициент ). Группируя слагаемые, содержащие , и выделяя по ней полный квадрат, получим

где обозначено

Сделаем замену переменных (введем новые переменные )

Выразив старые переменные через новые :

получим матрицу

Вычислим матрицу неособенного линейного преобразования (10.4). Учитывая равенства

получим, что матрица имеет вид

Выполним проверку проведённых вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид

Убедимся в справедливости равенства (10.5).

220400 Алгебра и геометрия Толстиков А.В.

Лекции 16. Билинейные и квадратичные формы.

План

1. Билинейная форма и ее свойства.

2. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Преобразование координат.

3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

4. Закон инерции квадратичных форм.

5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу собственных значений.

6. Критерий Сильверста положительной определенности квадратичной формы.

1. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

3. Воеводин В.В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

4. Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. М.: Наука, 1981.

5. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

, , , ,

1. Билинейная форма и ее свойства. Пусть V - n -мерное векторное пространство над полем P.

Определение 1. Билинейной формой , определенной на V, называется такое отображение g : V 2 ® P , которое каждой упорядоченной паре (x , y ) векторов x , y из ставит в V соответствие число из поля P , обозначаемое g (x , y ), и линейное по каждой из переменных x , y , т.е. обладающее свойствами:

1) ("x , y , z ÎV ) g (x + y , z ) = g (x , z ) + g (y , z );

2) ("x , y ÎV ) ("a ÎP ) g (ax , y ) = ag (x , y );

3) ("x , y , z ÎV ) g (x , y + z ) = g (x , y ) + g (x , z );

4) ("x , y ÎV ) ("a ÎP ) g (x , ay ) = ag (x , y ).

Пример 1 . Любое скалярное произведение, определенное на векторном пространстве V является билинейной формой.

2 . Функция h (x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 2 y 1 , где x = (x 1 , x 2), y = (y 1 , y 2)ÎR 2 , билинейная форма на R 2 .

Определение 2. Пусть v = (v 1 , v 2 ,…, v n V. Матрицей билинейной формы g (x , y ) относительно базиса v называется матрица B =(b ij ) n ´ n , элементы которой вычисляются по формуле b ij = g (v i , v j ):

Пример 3 . Матрица билинейной формы h (x , y ) (см. пример 2) относительно базиса e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) равна .

Теорема 1 . Пусть X, Y- координатные столбцы соответственно векторов x , y в базисе v, B - матрица билинейной формы g (x , y ) относительно базиса v . Тогда билинейную форму можно записать в виде

g (x , y )=X t BY . (1)

Доказательство. По свойствам билинейной формы получаем

Пример 3 . Билинейной формы h (x , y ) (см. пример 2) можно записать в виде h (x , y )=.

Теорема 2 . Пусть v = (v 1 , v 2 ,…, v n ), u = (u 1 , u 2 ,…, u n ) - два базиса векторного пространства V, T- матрица перехода от базиса v к базису u. Пусть B = (b ij ) n ´ n и С =(с ij ) n ´ n - матрицы билинейной формы g (x , y ) соответственно относительно базисов v и u. Тогда

С = T t BT. (2)

Доказательство. По определению матрицы перехода и матрицы билинейной формы находим:



Определение 2. Билинейная форма g (x , y ) называется симметричной , если g (x , y ) = g (y , x ) для любых x , y ÎV.

Теорема 3 . Билинейная форма g (x , y )- симметричной тогда и только тогда, когда матрица билинейной формы относительно любого базиса симметричная.

Доказательство. Пусть v = (v 1 , v 2 ,…, v n ) - базис векторного пространства V, B = (b ij ) n ´ n - матрицы билинейной формы g (x , y ) относительно базиса v. Пусть билинейная форма g (x , y )- симметричная. Тогда по определению 2 для любых i, j = 1, 2,…, n имеем b ij = g (v i , v j ) = g (v j , v i ) = b ji . Тогда матрица B - симметричная.

Обратно, пусть матрица B - симметричная. Тогда B t = B и для любых векторов x = x 1 v 1 + …+ x n v n = vX, y = y 1 v 1 + y 2 v 2 +…+ y n v n = vY ÎV , согласно формуле (1), получаем (учитываем, что число - матрица порядка 1, и при транспонировании не меняется)

g (x , y ) = g (x , y ) t = (X t BY ) t = Y t B t X = g (y , x ).

2. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Преобразование координат.

Определение 1. Квадратичной формой определенной на V, называется отображение f : V ® P , которое для любого векторов x из V определяется равенством f (x ) = g (x , x ), где g (x , y ) - симметричная билинейная форма, определенная на V .

Свойство 1. По заданной квадратичной форме f (x ) билинейная форма находится однозначно по формуле

g (x , y ) = 1/2(f (x + y ) - f (x )- f (y )). (1)

Доказательство. Для любых векторов x , y ÎV получаем по свойствам билинейной формы

f (x + y ) = g (x + y , x + y ) = g (x , x + y ) + g (y , x + y ) = g (x , x ) + g (x , y ) + g (y , x ) + g (y , y ) = f (x ) + 2g (x , y ) + f (y ).

Отсюда следует формула (1). 

Определение 2. Матрицей квадратичной формы f (x ) относительно базиса v = (v 1 , v 2 ,…, v n ) называется матрица соответствующей симметричной билинейной формы g (x , y ) относительно базиса v .

Теорема 1 . Пусть X = (x 1 , x 2 ,…, x n ) t - координатный столбец вектора x в базисе v, B - матрица квадратичной формы f (x ) относительно базиса v . Тогда квадратичную форму f (x )

Дана квадратичная форма (2) A (x , x ) = , где x = (x 1 , x 2 , …, x n ). Рассмотрим квадратичную форму в пространстве R 3 , то есть x = (x 1 , x 2 , x 3), A (x , x ) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(использовали условие симметричности формы, а именно а 12 = а 21 , а 13 = а 31 , а 23 = а 32). Выпишем матрицу квадратичной формы A в базисе {e }, A (e ) =
. При изменении базиса матрица квадратичной формы меняется по формуле A (f ) = C t A (e )C , где C – матрица перехода от базиса {e } к базису {f }, а C t – транспонированная матрица C .

Определение 11.12. Вид квадратичной формы с диагональной матрицей называется каноническим .

Итак, пусть A (f ) =
, тогда A "(x , x ) =
+
+
, где x " 1 , x " 2 , x " 3 – координаты вектора x в новом базисе {f }.

Определение 11.13. Пусть в n V выбран такой базис f = {f 1 , f 2 , …, f n }, в котором квадратичная форма имеет вид

A (x , x ) =
+
+ … +
, (3)

где y 1 , y 2 , …, y n – координаты вектора x в базисе {f }. Выражение (3) называется каноническим видом квадратичной формы. Коэффициенты  1 , λ 2 , …, λ n называются каноническими ; базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим базисом .

Замечание . Если квадратичная форма A (x , x ) приведена к каноническому виду, то, вообще говоря, не все коэффициенты  i отличны от нуля. Ранг квадратичной формы равен рангу ее матрицы в любом базисе.

Пусть ранг квадратичной формы A (x , x ) равен r , где r ≤ n . Матрица квадратичной формы в каноническом виде имеет диагональный вид. A (f ) =
, поскольку ее ранг равен r , то среди коэффициентов  i должно быть r , не равных нулю. Отсюда следует, что число отличных от нуля канонических коэффициентов равно рангу квадратичной формы.

Замечание . Линейным преобразованием координат называется переход от переменных x 1 , x 2 , …, x n к переменным y 1 , y 2 , …, y n , при котором старые переменные выражаются через новые переменные с некоторыми числовыми коэффициентами.

x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + … + α 1 n y n ,

x 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 = α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + … + α nn y n .

Так как каждому преобразованию базиса отвечает невырожденное линейное преобразование координат, то вопрос о приведении квадратичной формы к каноническому виду можно решать путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат.

Теорема 11.2 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма A (x , x ), заданная в n -мерном векторном пространстве V , с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство . (Метод Лагранжа) Идея этого метода состоит в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждой переменной до полного квадрата. Будем считать, что A (x , x ) ≠ 0 и в базисе e = {e 1 , e 2 , …, e n } имеет вид (2):

A (x , x ) =
.

Если A (x , x ) = 0, то (a ij ) = 0, то есть форма уже каноническая. Формулу A (x , x ) можно преобразовать так, чтобы коэффициент a 11 ≠ 0. Если a 11 = 0, то коэффициент при квадрате другой переменной отличен от нуля, тогда при помощи перенумерации переменных можно добиться, чтобы a 11 ≠ 0. Перенумерация переменных является невырожденным линейным преобразованием. Если же все коэффициенты при квадратах переменных равны нулю, то нужные преобразования получаются следующим образом. Пусть, например, a 12 ≠ 0 (A (x , x ) ≠ 0, поэтому хотя бы один коэффициент a ij ≠ 0). Рассмотрим преобразование

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x i = y i , при i = 3, 4, …, n .

Это преобразование невырожденное, так как определитель его матрицы отличен от нуля
= = 2 ≠ 0.

Тогда 2a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, то есть в форме A (x , x ) появятся квадраты сразу двух переменных.

A (x , x ) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Преобразуем выделенную сумму к виду:

A (x , x ) = a 11
, (5)

при этом коэффициенты a ij меняются на . Рассмотрим невырожденное преобразование

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Тогда получим

A (x , x ) =
. (6).

Если квадратичная форма
= 0, то вопрос о приведении A (x , x ) к каноническому виду решен.

Если эта форма не равна нулю, то повторяем рассуждения, рассматривая преобразования координат y 2 , …, y n и не меняя при этом координату y 1 . Очевидно, что эти преобразования будут невырожденными. За конечное число шагов квадратичная форма A (x , x ) будет приведена к каноническому виду (3).

Замечание 1. Нужное преобразование исходных координат x 1 , x 2 , …, x n можно получить путем перемножения найденных в процессе рассуждений невырожденных преобразований: [x ] = A [y ], [y ] = B [z ], [z ] = C [t ], тогда [x ] = A B [z ] = A B C [t ], то есть [x ] = M [t ], где M = A B C .

Замечание 2. Пусть A (x , x ) = A (x , x ) =
+
+ …+
, где  i ≠ 0, i = 1, 2, …, r , причем  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Рассмотрим невырожденное преобразование

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n . В результате A (x , x ) примет вид: A (x , x ) = + + … + – – … – , который называется нормальным видом квадратичной формы .

Пример 11.1. Привести к каноническому виду квадратичную форму A (x , x ) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Решение . Поскольку a 11 = 0, используем преобразование

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Это преобразование имеет матрицу A =
, то есть [x ] = A [y ] получим A (x , x ) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Поскольку коэффициент при не равен нулю, можно выделить квадрат одного неизвестного, пусть это будет y 1 . Выделим все члены, содержащие y 1 .

A (x , x ) = 2(– 2 y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2 y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Выполним преобразование, матрица которого равна B .

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y ] = B [z ].

Получим A (x , x ) = 2– 2–– 8z 2 z 3 . Выделим члены, содержащие z 2 . Имеем A (x , x ) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Выполняем преобразование с матрицей C :

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z ] = C [t ].

Получили: A (x , x ) = 2– 2+ 6 канонический вид квадратичной формы, при этом [x ] = A [y ], [y ] = B [z ], [z ] = C [t ], отсюда [x ] = ABC [t ];

A B C =


=
. Формулы преобразований следующие

x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

Введение

квадратичная форма канонический вид уравнение

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнениями второго порядка, содержащими две или три переменные. Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория значительно была расширенна Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области.

Целью работы является изучение видов квадратичных форм и способов приведения квадратичных форм к каноническому виду.

В данной работе поставлены следующие задачи: выбрать необходимую литературу, рассмотреть определения и основные теоремы, решить ряд задач по данной теме.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Истоки теории квадратичных форм лежат в аналитической геометрии, а именно в теории кривых (и поверхностей) второго порядка. Известно, что уравнение центральной кривой второго порядка на плоскости, после перенесения начала прямоугольных координат в центр этой кривой, имеет вид

что в новых координатах уравнение нашей кривой будет иметь «канонический» вид

в этом уравнении коэффициент при произведении неизвестных равен, следовательно, нулю. Преобразование координат (2) можно толковать, очевидно, как линейное преобразование неизвестных, притом невырожденное, так как определитель из его коэффициентов равен единице. Это преобразование применяется к левой части уравнения (1), и поэтому можно сказать, что левая часть уравнения (1) невырожденным линейным преобразованием (2) превращается в левую часть уравнения (3).

Многочисленные приложения потребовали построения аналогичной теории для случая, когда число неизвестных вместо двух равно любому, а коэффициенты являются или действительными, или же любыми комплексными числами.

Обобщая выражение, стоящее в левой части уравнения (1), мы приходим к следующему понятию.

Квадратичной формой от неизвестных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или же могут быть любыми комплексными числами.

Считая, что в квадратичной форме уже сделано приведение подобных членов, введем следующие обозначения для коэффициентов этой формы: коэффициент при обозначим через, а коэффициент при произведении для - через (сравнить с (1)!).

Так как, однако, то коэффициент при этом произведении мог бы быть обозначен и через, т.е. введенные нами обозначения предполагают справедливость равенства

Член можно записать теперь в виде

а всю квадратичную форму - в виде суммы всевозможных членов, где и уже независимо друг от друга принимают значения от 1 до:

в частности, при получается член

Из коэффициентов можно составить, очевидно, квадратную матрицу порядка; она называется матрицей квадратичной формы, а ее ранг - рангом этой квадратичной формы.

Если, в частности, т.е. матрица - невырожденная, то и квадратичная форма называется невырожденной. Ввиду равенства (4) элементы матрицы А, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой, т.е. матрица А - симметрическая. Обратно, для любой симметрической матрицы А порядка можно указать вполне определенную квадратичную форму (5) от неизвестных, имеющую элементы матрицы А своими коэффициентами.

Квадратичную форму (5) можно записать в ином виде, используя умножение прямоугольных матриц. Условимся сначала о следующем обозначении: если дана квадратная или вообще прямоугольная матрица А, то через будет обозначаться матрица, полученная из матрицы А транспонированием. Если матрицы А и В таковы, что их произведение определено, то имеет место равенство:

т.е. матрица, полученная транспонированием произведения, равна произведению матриц, получающихся транспонированием сомножителей, притом взятых в обратном порядке.

В самом деле, если произведение АВ определено, то будет определено, как легко проверить, и произведение: число столбцов матрицы равно числу строк матрицы. Элемент матрицы, стоящий в ее й строке и м столбце, в матрице АВ расположен в й строке и м столбце. Он равен поэтому сумме произведений соответственных элементов й строки матрицы А и го столбца матрицы В, т.е. равен сумме произведений соответственных элементов го столбца матрицы и й строки матрицы. Этим равенство (6) доказано.

Заметим, что матрица А тогда и только тогда будет симметрической, если она совпадает со своей транспонированной, т.е. если

Обозначим теперь через столбец, составленный из неизвестных.

является матрицей, имеющей строк и один столбец. Транспонируя эту матрицу, получим матрицу

Составленную из одной строки.

Квадратичная форма (5) с матрицей может быть записана теперь в виде следующего произведения:

Действительно, произведение будет матрицей, состоящей из одного столбца:

Умножая эту матрицу слева на матрицу, мы получим «матрицу», состоящую из одной строки и одного столбца, а именно правую часть равенства (5).

Что произойдет с квадратичной формой, если входящие в нее неизвестные будут подвергнуты линейному преобразованию

Отсюда по (6)

Подставляя (9) и (10) в запись (7) формы, получаем:

Матрица В будет симметрической, так как ввиду равенства (6), справедливого, очевидно, для любого числа множителей, и равенства равносильного симметричности матрицы, имеем:

Таким образом, доказана следующая теорема:

Квадратичная форма от неизвестных, имеющая матрицу, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей превращается в квадратичную форму от новых неизвестных, причем матрицей этой формы служит произведение.

Предположим теперь, что мы выполняем невырожденное линейное преобразование, т.е. , а поэтому и - матрицы невырожденные. Произведение получается в этом случае умножением матрицы на невырожденные матрицы и поэтому, ранг этого произведения равен рангу матрицы. Таким образом, ранг квадратичной формы не меняется при выполнении невырожденного линейного преобразования.

Рассмотрим теперь, по аналогии с указанной в начале параграфа геометрической задачей приведения уравнения центральной кривой второго порядка к каноническому виду (3), вопрос о приведении произвольной квадратичной формы некоторым невырожденным линейным преобразованием к виду суммы квадратов неизвестных, т.е. к такому виду, когда все коэффициенты при произведениях различных неизвестных равны нулю; этот специальный вид квадратичной формы называется каноническим. Предположим сначала, что квадратичная форма от неизвестных уже приведена невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду

где - новые неизвестные. Некоторые из коэффициентов могут. Конечно, быть нулями. Докажем, что число отличных от нуля коэффициентов в (11) непременно равно рангу формы.

В самом деле, так как мы пришли к (11) при помощи невырожденного преобразования, то квадратичная форма, стоящая в правой части равенства (11), также должна быть ранга.

Однако матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид

и требование, чтобы эта матрица имела ранг, равносильно предположению, что на ее главной диагонали стоит ровно отличных от нуля элементов.

Перейдем к доказательству следующей основной теоремы о квадратичных формах.

Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Если при этом рассматривается действительная квадратичная форма, то все коэффициенты указанного линейного преобразования можно считать действительными.

Эта теорема верна для случая квадратичных форм от одного неизвестного, так как всякая такая форма имеет вид, являющийся каноническим. Мы можем, следовательно, вест доказательство индукцией по числу неизвестных, т.е. доказывать теорему для квадратичных форм от n неизвестных, считая ее уже доказанной для форм с меньшим числом неизвестных.

Пуст дана квадратичная форма

от n неизвестных. Мы постараемся найти такое невырожденное линейное преобразование, которое выделило бы из квадрат одного из неизвестных, т.е. привело бы к виду суммы этого квадрата и некоторой квадратичной формы от остальных неизвестных. Эта цель легко достигается в том случае, если среди коэффициентов стоящих в матрице формы на главной диагонали, есть отличные от нуля, т.е. если в (12) входит с отличием от нуля коэффициентов квадрат хотя бы одного из неизвестных

Пусть, например, . Тогда, как легко проверить, выражение, являющееся квадратичной формой, содержит такие же члены с неизвестным, как и наша форма, а поэтому разность

будет квадратичной формой, содержащей лишь неизвестные, но не. Отсюда

Если мы введем обозначения

то получим

где будет теперь квадратичной формой о неизвестных. Выражение (14) есть искомое выражение для формы, так как оно получено из (12) невырожденным линейным преобразованием, а именно преобразованием, обратным линейному преобразованию (13), которое имеет своим определителем и поэтому не вырождено.

Если же имеют место равенства то предварительно нужно совершить вспомогательное линейное преобразование, приводящее к появлению в нашей форме квадратов неизвестных. Так как среди коэффициентов в записи (12) этой формы должны быть отличные от нуля, - иначе нечего было бы доказывать, - то пусть, например, т.е. является суммой члена и членов, в каждый из которых входит хотя бы одно из неизвестных.

Совершим теперь линейное преобразование

Оно будет невырожденным, так как имеет определитель

В результате этого преобразования член нашей формы примет вид

т.е. в форме появятся, с отличными от нуля коэффициентами, квадраты сразу двух неизвестных, причем они не могут сократиться ни с одним из остальных членов, так как в каждый их этих последних входит хотя бы одно из неизвестных теперь мы находимся в условиях уже рассмотренного выше случая, т.е. еще одним невырожденным линейным преобразованием можем привести форму к виду (14).

Для окончания доказательства остается отметить, что квадратичная форма зависит от меньшего, чем, числа неизвестных и поэтому, по предположению индукции, некоторым невырожденным преобразованием неизвестных приводится к каноническому виду. Это преобразование, рассматриваемое как (невырожденное, как легко видеть) преобразование всех неизвестных, при котором остается без изменения, приводит, следовательно, (14) к каноническому виду. Таким образом, квадратичная форма двумя или тремя невырожденными линейными преобразованиями, которые можно заменить одним невырожденным преобразованием - их произведением, приводится к виду суммы квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами. Число этих квадратов равно, как мы знаем, рангу формы. Если, сверх того, квадратичная форма действительная, то коэффициенты как в каноническом виде формы, так и в линейном преобразовании, приводящем к этому виду, будут действительными; в самом деле, и линейное преобразование, обратное (13), и линейное преобразование (15) имеют действительные коэффициенты.

Доказательство основной теоремы закончено. Метод, использованный в этом доказательстве, может быть применен в конкретных примерах для действительного приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нужно лишь вместо индукции, которую мы использовали в доказательстве, последовательно выделять изложенным выше методом квадраты неизвестных.

Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование

с матрицей

после чего получим:

Теперь коэффициенты при отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно выделить квадрат одного неизвестного. Полагая

т.е. совершая линейное преобразование, для которого обратное будет иметь матрицу

мы приведем к виду

Пока выделился лишь квадрат неизвестного, так как форма еще содержит произведение двух других неизвестных. Используя неравенство нулю коэффициента при, еще раз применим изложенный выше метод. Совершая линейное преобразование

для которого обратное имеет матрицу

мы приведем, наконец, форму к каноническому виду

Линейное преобразование, приводящее (16) сразу к виду (17), будет иметь своей матрицей произведение

Можно и непосредственной подстановкой проверить, что невырожденное (так как определитель равен) линейное преобразование

превращает (16) в (17).

Теория приведения квадратичной формы к каноническому виду построена по аналогии с геометрической теорией центральных кривых второго порядка, но не может считаться обобщением этой последней теории. В самом деле, в нашей теории допускается использование любых невырожденных линейных преобразований, в то время как приведение кривой второго порядка к каноническому виду достигается применением линейных преобразований весьма специального вида,

являющихся вращением плоскости. Эта геометрическая теория может быть, однако, обобщена на случай квадратичных форм от неизвестных с действительными коэффициентами. Изложение этого обобщения, называемого приведением квадратичных форм к главным осям, будет дано ниже.