Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, разная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:
Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.
В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.
Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, . Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг (в системе МКГСС - ).
Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет и т. д.).
Тогда моменты инерции относительно осей будут определяться формулами:
Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси называется линейная величина определяемая равенством
где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерцни геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.
Зная радиус инерции, можно по формуле (4) найти момент инерции тела и наоборот.
Формулы (2) и (3) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что где - плотность, а V - объем, получим
Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (3) для сплошных тел примут вид
Формулами (5) и (5) удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.
Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.
1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис. 275). Направим вдоль АВ координатную ось Тогда для любого элементарного отрезка длины d величина , а масса , где - масса единицы длины стержня. В результате формула (5) дает
Заменяя здесь его значением, найдем окончательно
2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 276).
Так как все точки кольца находятся от оси на расстоянии то формула (2) дает
Следовательно, для кольца
Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.
3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (см. рис. 276). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом и шириной (рис. 277, а). Площадь этого кольца , а масса где - масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (7) для выделенного элементарного кольца будет а для всей пластину
При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции.
Разобьем тело на такие малые части, что каждую из них можно считать материальной точкой. Пусть m i – масса i- й материальной точки, r i – ее расстояние до некоторой оси O .
Величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат кратчайшего расстояния ее до данной оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси:
Сумма моментов инерции всех материальных точек тела называется моментом инерции тела относительно некоторой оси:
Момент инерции твердого тела зависит, как нетрудно видеть, от распределения масс относительно интересующей нас оси.
Если тело представляет собой обруч массы m , толщина которого мала по сравнению с радиусом R , то момент его инерции относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной к плоскости обруча, равен
Для тел более сложной формы суммирование выражения (5.2) производится методами интегрального исчисления согласно формуле
где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r
в этом случае есть функция положения точки с координатами x
, y
, z
.
В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr .
Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r . Объем такого слоя равен:
,
где b – толщина диска. Поскольку диск однороден, плотность его во всех точках одинакова и
где dm – масса кольцевого слоя.
Теперь по формуле (5.4) находим момент инерции
,
где R – радиус диска;
.
Наконец, введя массу диска m равную произведению плотности на объем диска , получим
Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси, проходящей через центр масс тела , приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то можно найти момент инерции относительно любой другой параллельной оси. Для этого надо воспользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера :
момент инерции тела I относительно произвольной оси равен моменту его инерции I c относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния a между осями:
Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Найдем момент инерции тела относительно оси z параллельной оси z C . Ось z C проходит через центр масс тела. Разделим мысленно тело на частицы массой m i , где i – порядковый номер. Определим положение каждой частицы относительно осей z и z C . В соответствии с определением момента инерции , где – это кратчайшее расстояние до оси вращения (радиус окружности, которую описывает точка при своем движении вокруг оси вращения).
На рис. 5.3 видно, что , тогда момент инерции точки массой m i относительно оси z равен: , а для всего тела момент инерции относительно оси z равен сумме моментов инерции всех частиц тела относительно этой же оси:
(5.7)
По определению 
– момент инерции тела относительно оси z C
, проходящей через центр масс тела; , тогда 
. Выражение 
можно преобразовать 
. Величина, равная 
определяет положение центра масс тела относительно оси z C
. Из рисунка видно, что , т.к. центр масс лежит на оси z C
.
Тогда получим
(5.8)
– момент инерции I z тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной ей оси z C , проходящей через центр масс, и величины ma 2 , где m – масса тела, a – расстояние между осями.
Пример. Момент инерции тонкого стержня (массы m и длины ) относительно оси, перпендикулярной стрежню и проходящей через его конец, равен.
Рассмотрим материальную точку массой m, которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:
J = mr 2 (75)
Момент инерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инерции отдельных точек:
Рис. 26.
К определению момента инерции точки.
Если масса распределена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объемы dv, каждый из которых обладает массой dm.
В результате получается следующее выражение:
Для однородного по объему тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде:
dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:
Размерность момента инерции - кг*м 2 .
Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при поступательном движении.
Момент инерции — это мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения. Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.
Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной аддитивной.
В некоторых случаях теоретический расчёт момента инерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.
Момент инерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска :
Момент инерции шара радиуса R :
Момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:
Момент инерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:
Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера :
Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).
К расчету момента инерции стержня
Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инерции относительно оси OO плюс md 2 . Отсюда получаем:
Очевидно: момент инерции неодинаков относительно разных осей, и поэтому, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, например, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.
Момент силы F относительно точки O
Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.
Что такое инерция
Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.
Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции» .
Определение момента инерции
Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела . Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.
По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.
Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm , то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.
Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m , вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:
Теорема Штейнера
От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:
Пример решения задачи на нахождение момента инерции
Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.
Решение:
Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r , а масса – dm . Тогда момент инерции кольца:
Массу кольца можно представить в виде:
Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:
В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.
Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.
Решение:
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:
Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач .
Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе . Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.
Как уже отмечалось выше, к числу простых плоских фигур относятся три фигуры: прямоугольник, треугольник и круг. Простыми эти фигуры считаются потому, что положение центра тяжести этих фигур заранее известно. Все остальные фигуры могут быть составлены из этих простых фигур и считаются сложными. Вычислим осевые моменты инерции простых фигур относительно их центральных осей.
1. Прямоугольник.
Рассмотрим сечение
прямоугольного профиля размерами(Рис.4.6). Выделим элемент сечения двумя
бесконечно близко расположенными
сечениями на расстоянии
от
центральной оси
.
Вычислим момент инерции прямоугольного сечения относительно оси:
.
(4.10)
Момент
инерции прямоугольного сечения
относительно оси
найдем аналогично. Здесь вывод не
приводится.
.
(4.11)
и
равен нулю, так как оси
и
являются осями симметрии, а, следовательно,
главными осями.
2. Равнобедренный треугольник.
Рассмотрим сечение треугольного профиля
размерами
(Рис.4.7). Выделим элемент сечения двумя
бесконечно близко расположенными
сечениями на расстоянии
от центральной оси
.
Центр тяжести треугольника находится
на расстояни
от основания. Треугольник принимается
равнобедренным, так что ось
сечения является осью симметрии.
Вычислим
момент инерции сечения относительно
оси 
:
.
(4.12)
Величину
определим из подобия треугольников:
;
откуда
.
Подставляя
выражения для
в (4.12) и интегрируя, получим:
.
(4.13)
Момент
инерции для равнобедренного треугольника
относительно оси
находится аналогичным образом и равен:
(4.14)
Центробежный
момент инерции относительно осей
и
равен нулю, так как ось
является осью симметрии сечения.
3. Круг
. Рассмотрим сечение круглого
профиля диаметром
(Рис.4.8).
Выделим элемент сечения двумя бесконечно
близко расположенными концентрическими
окружностями, расположенными на
расстоянии
от центра тяжести круга
.
Вычислим полярный момент инерции круга, воспользовавшись выражением (4.5):
.
(4.15)
Используя условие инвариантности для
суммы осевых моментов инерции относительно
двух взаимно перпендикулярных осей
(4.6) и учитывая, что для круга в силу
симметрии
,
определяем величину осевых моментов
инерции:
.
(4.16)
.
(4.17)
Центробежный
момент инерции относительно осей
и
равен нулю, так как оси
и
являются осями симметрии сечения.
4.4. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей
При вычислении моментов инерции для сложных фигур следует запомнить одно правило: значения для моментов инерции можно складывать, если они вычислены относительно одной и той же оси . Для сложных фигур чаще всего центры тяжести отдельных простых фигур и всей фигуры не совпадают. Не совпадают, соответственно, и центральные оси для отдельных простых фигур и всей фигуры. В связи с этим существуют приемы приведения моментов инерции к одной оси, например, центральной оси всей фигуры. Это может быть связано с параллельным переносом осей инерции и дополнительными вычислениями.
Рассмотрим определение моментов инерции относительно параллельных осей инерции, изображенных на рис.4.9.
Пусть
осевые и центробежный моменты инерции
изображенной на рис.4.9. фигуры относительно
произвольно выбранных осей
и
с началом координат в точке
известны. Требуется вычислить осевые
и центробежный моменты инерции фигуры
относительно произвольных параллельных
осей
и
с началом координат в точке
.
Оси
и
проведены на расстояниях
и
соответственно от осей
и
.
Воспользуемся
выражениями для осевых моментов инерции
(4.4) и для центробежного момента инерции
(4.7). Подставим в эти выражения вместо
текущих координат
и
элемента с бесконечно малой площадью
координаты
и
в новой системе координат. Получим:
Анализируя полученные выражения, приходим к выводу, что при вычислении моментов инерции относительно параллельных осей к моментам инерции, вычисленных относительно исходных осей инерции, следует призводить добавки в виде дополнительных членов, которые могут оказаться намного больше значений для моментов инерции относительно исходных осей. Поэтому пренебрегать этими дополнительными членами ни в коем случае нельзя.
Рассмотренный случай представляет собой самый общий случай параллельного переноса осей, когда в качестве исходных были взяты произвольные оси инерции. В большинстве расчетов встречаются частные случаи определения моментов инерции.
Первый частный случай . Исходные оси являются центральными осями инерции фигуры. Тогда, используя основное свойство для статического момента площади, можно исключить из уравнений (4.18)(4.20) члены уравнений, в которые входит статический момент площади фигуры. В результате получим:
.
(4.21)
.
(4.22)
.
(4.23)
Здесь оси
и
центральные оси
инерции.
Второй частный случай . Исходные оси являются главными осями инерции. Тогда, учитывая, что относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю, получим:
.
(4.24)
.
(4.25)
.
(4.26)
Здесь оси
и
главные оси инерции.
Воспользуемся полученными выражениями и рассмотрим несколько примеров вычисления моментов инерции для плоских фигур.
Пример 4.2.
Определить осевые моменты
инерции фигуры, приведенной на рис.
4.10, относительно центральных осей
и
.
В предыдущем примере 4.1 для изображенной
на рис.4.10 фигуры было определено положение
центра тяжести С. Координата центра
тяжести откладывалась от оси
и составила
.
Вычислим расстояния
и
между осями
и
и осями
и
.
Эти расстояния составили соответственно
и
.
Так как исходные оси
и
являются центральными осями для простых
фигур в виде прямоугольников, для
определения момента инерции фигуры
относительно оси
воспользуемся выводами для первого
частного случая, в частности, формулой
(4.21).
Момент инерции относительно оси
получим путем сложения моментов инерции
простых фигур относительно этой же оси,
так как ось
является общей центральной осью для
простых фигур и для всей фигуры.
см 4 .
Центробежный момент инерции относительно
осей
и
равен нулю, так как ось инерции
является главной осью (осью симметрии
фигуры).
Пример
4.3.
Чему равен
размер b
(в см)
фигуры,
изображенной на рис. 4.11, если момент
инерции фигуры относительно оси
равен 1000 см 4 ?
Выразим момент инерции относительно
оси
через неизвестный размер сечения
,
воспользовавшись формулой (4.21), учитывая,
что расстояние между осями
и
равно 7см:
см 4 .
(а)
Решая выражение (а) относительно размера
сечения
,
получим:
см.
Пример.4.4.
Какая из фигур, изображенных на рис.4.12
, имеет больший момент инерции относительно
оси
,
если обе фигуры имеют одинаковую площадь
см 2 ?
1. Выразим площади фигур через их размеры и определим:
а) диаметр сечения для круглого сечения:
см 2 ; Откуда
см.
б) размер стороны квадрата:
;
Откуда
см.
2. Вычисляем момент инерции для круглого сечения:
см 4 .
3. Вычисляем момент инерции для сечения квадратной формы:
см 4 .
Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу, что наибольшим моментом инерции будет обладать сечение квадратной формы по сравнению с сечение круглой формы при одинаковой у них площади.
Пример 4.5.
Определить полярный момент
инерции (в см 4) сечения прямоугольной
формы относительно его центра тяжести,
если ширина сечения
см,
высота сечения
см.
1. Найдем моменты инерции сечения
относительно горизонтальной
и вертикальной
центральных осей инерции:
см 4 ;
см 4 .
2. Определяем полярный момент инерции сечения как сумму осевых моментов инерции:
см 4 .
Пример
4.6.
Определить
момент инерции фигуры треугольной формы
изображенной на рис.4.13, относительно
центральной оси
,
если момент инерции фигуры относительно
оси
равен 2400 см 4 .
Момент инерции сечения треугольной
формы относительно главной оси инерции
будет меньше по сравнению с моментом
инерции относительно оси
на величину
.
Поэтому при
см
момент инерции сечения относительно
оси
найдем следующим образом.
