Если какое-либо тело привести во вращение относительно произвольной оси и затем предоставить самому себе, то положение оси вращения в пространстве, вообще говоря, изменится: ось будет либо поворачиваться, либо перемещаться относительно инерциальной системы отсчета. Для того, чтобы произвольно взятую ось удерживать в неизменном положении, к ней необходимо приложить определенные силы.
Ось вращения тела, положение которой в пространстве сохраняется без приложения извне каких-либо сил, называется свободной осью тела.
Можно показать, что существуют по крайне мере три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями. Такие оси называются главными осями инерции тела.
Моменты инерции тела относительно главных осей называются главными моментами инерции .
Для тел, обладающих осевой симметрией (например, у однородного цилиндра), одна из главных осей совпадает с осью симметрии, а две любые оси, перпендикулярные к оси симметрии и друг другу и проходящие через центр масс тела, также являются главными (рис. 7.15). Моменты инерции относительно двух последних осей равны друг другу, а момент инерции относительно оси симметрии отличен от них
Такое тело называется симметричным волчком.
Рис. 7.15. Главные оси однородного цилиндра
У тела с центральной симметрией (например, у однородного шара) любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр симметрии, являются главными. Для них
Такие тела называются шаровыми волчками . Любая ось шарового волчка, проходящая через центр симметрии, является главной (а, значит, и свободной).
В общем случае главные моменты инерции тела различны, то есть
Такое тело называется асимметричным волчком . Примером асимметричного волчка может служить однородный прямоугольный параллелепипед (рис. 7.16).
Рис. 7.16. Главные оси однородного параллелепипеда
При «почти» свободном вращении на тело могут действовать малые возмущения. Если при таких возмущениях ось вращения мало изменяет свое положение, то вращение называется устойчивым . В противном случае говорят о неустойчивом вращении.
Пусть для асимметричного волчка для определенности имеет место следующее соотношение между главными моментами инерции:
Можно показать, что вращение вокруг осей 1 и 3 (то есть осей с максимальными и минимальными моментами инерции) будет устойчивым, а вокруг оси 2 (с промежуточным по величине моментом инерции) - неустойчивым.
Видео 7.4. Устойчивость полета в воздухе прямоугольного параллелепипеда
Пусть тело вращается вокруг одной из главных осей, например, вокруг оси z. Тогда вектор угловой скорости имеет вид
Формулы (31.5), (32.5) и (34.5) позволяют установить, как изменяются величины моментов инерции сечения при повороте осей на произвольный угол а. Для некоторых значений угла a величины осевых моментов инерции достигают максимума и минимума. Экстремальные (максимальные и минимальные) значения осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции.
Из формулы (33.5) следует, что если осевой момент инерции относительно некоторой оси является максимальным (т. е. эта ось главная), то осевой момент инерции относительно перпендикулярной к ней оси является минимальным (т. е. эта ось также главная), так как сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла а.
Таким образом, главные оси инерции взаимно перпендикулярны.
Для нахождения главных моментов инерции и положения главных осей инерции определим первую производную по углу а от момента инерции [см. формулу (31.5) и рис. 19.5]:
Приравниваем этот результат нулю:
где - угол, на который надо повернуть координатные оси у чтобы они совпали с главными осями.
Сравнивая выражения (35.5) и (34.5), устанавливаем, что
Следовательно, относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю. Поэтому главными осями инерции можно называть оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.
Как уже известно, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, равен нулю.
Следовательно, взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции. Это правило позволяет во многих случаях непосредственно (без расчета) устанавливать положение главных осей.
Решим уравнение (35.5) относительно угла
Уравнению (36.5) в каждом конкретном случае удовлетворяет ряд значений Из них выбирается одно любое. Если оно положительно, то для определения по нему положения одной из главных осей инерции ось следует повернуть на угол против вращения часовой стрелки, а если отрицательное - то по вращению часовой стрелки; другая главная ось инерции перпендикулярна к первой. Одна из главных осей инерции является осью максимум (относительно нее осевой момент инерции сечения максимален), а другая - осью минимум (относительно нее осевой момент инерции сечения минимален).
Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (у или ), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение. Это обстоятельство позволяет легко устанавливать, какая из главных осей инерции является осью максимум, а какая - осью минимум. Так, например, если а главные оси инерции и и v расположены, как это показано на рис. 20.5, то ось и является осью максимум (так как образует с осью у меньший угол, чем с осью ), а ось v - осью минимум.
При решении конкретной числовой задачи для определения главных моментов инерции можно выбранное значение угла и значение подставить в формулу (31.5) или (32.5).
Решим эту задачу в общем виде. По формулам из тригонометрии, используя выражение (36.5), найдем
Подставив эти выражения в формулу (31.5), после простых преобразований получим
Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости сечения. Однако практическое значение для расчетов элементов конструкции имеют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, т. е. главные центральные инерции. Моменты инерции относительно этих осей (главные центральные моменты инерции) в дальнейшем будем обозначать
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Если то формула (34.5) дает значение центробежного момента инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, равное нулю, и, следовательно, любые оси, полученные путем поворота системы координат являются главными осями инерции (так же как оси ). В этом случае
2. Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. Действительно, направим одну из осей () по одной из осей симметрии, а другую - перпендикулярно к ней. Для этих осей Если фигура имеет более двух осей симметрии, то какая-либо из них составляет острый угол с осью . Обозначим такую ось а перпендикулярную к ней ось
Центробежный момент инерции так как ось является осью симметрии. По формуле же (34.5).
Осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у (см. рис. 32, а) называются определенные интегралы вида
При определении осевых моментов инерции в некоторых случаях приходится встречаться с еще одной новой геометрической характеристикой сечения - центробежным моментом инерции.
Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей х у (см. рис. 32, а)
Полярным моментом инерции сечения относительно начала координат О (см. рис. 32, а) называется определенный интеграл вида
где р - расстояние от начала координат до элементарной площадки dA.
Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, а центробежный момент в зависимости от выбора осей может быть положительным, отрицательным или равняться нулю. Единицы обозначения моментов инерции - см 4 , мм 4 .
Между полярным и осевыми моментами инерции существует следующая зависимость:
Согласно формуле (41) сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей (начала координат).
Моменты инерции сечений относительно параллельных осей, одни из которых являются центральными (х с,ус)>
определяются из выражений:
где а ив- координаты центра тяжести С сечения (рис. 34).
Формулы (42), имеющие большое практическое применение, читаются так: момент инерции сечения относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр тяжести сечения, плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.
Обратите внимание : координаты а и в следует подставлять в приведенные выше формулы (42) с учетом их знаков.
Рис. 34.
Из формул (42) следует, что из всех моментов инерции относительно параллельных осей наименьший момент будет относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, т. е. центральный момент инерции.
В формулы для определения прочности и жесткости конструкции входят моменты инерции, которые вычисляются относительно осей, являющихся не только центральными, но и главными. Для того чтобы определить, какие оси, проходящие через центр тяжести, являются главными, надо уметь определять моменты инерции относительно осей, повернутых относительно друг друга на некоторый угол.
Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей (рис. 35) имеют следующий вид:
где а - угол поворота осей и и v относительно осей хну соответственно. Угол а считается положительным , если поворот осей и и у происходит против часовой стрелки.
Рис. 35.
Сумма осевых моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте:
При повороте осей вокруг начала координат центробежный момент инерции меняется непрерывно , следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю.
Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называются главными осями инерции.
Направление главных осей инерции можно определить так:
Полученные из формулы (43) два значения угла а отличаются друг от друга на 90° и дают положение главных осей. Как видим, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает л /4. В дальнейшем будем пользоваться только меньшим углом. Проведенную под этим углом главную ось будем обозначать буквой и. На рис. 36 приведены некоторые примеры обозначения главных осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначаются буквами хи у.
Рис. 36.
В задачах изгиба важно знать осевые моменты инерции сечений относительно тех главных осей, которые проходят через центр тяжести сечения.
Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть эти оси просто главными осями , опуская слово «центральные».
Ось симметрии плоского сечения является главной центральной осью инерции этого сечения, вторая ось ей перпендикулярна. Другими словами, ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.
Если плоское сечение имеет хотя бы две оси симметрии, не перпендикулярные друг другу, то все оси, проходящие через центр тяжести такого сечения, являются его главными центральными осями инерции. Так, на рис. 37 представлены некоторые типы сечений (круг, кольцо, квадрат, правильный шестиугольник и др.), обладающие следующим свойством: любая ось, проходящая через их центр тяжести, является главной.
Рис. 37.
Следует отметить, что нецентральные главные оси интереса для нас не представляют.
В теории изгиба наибольшее значение имеют моменты инерции относительно главных центральных осей.
Главными центральными моментами инерции или главными моментами инерции называются моменты инерции относительно главных центральных осей. Причем относительно одной из главных осей момент инерции максимален , относительно другой - минимален :
Осевые моменты инерции сечений, изображенных на рис. 37, вычисленные относительно главных центральных осей, равны между собой: J y , тогда: J u = J x cos 2 a +J y sin а = J x .
Моменты инерции сложного сечения равны сумме моментов инерции его частей. Поэтому для определения моментов инерции сложного сечения можно записать:
гдeJ xi , J y „ J xiyi -моменты инерции отдельных частей сечения.
NB: если сечение имеет отверстие, то его удобно считать участком с отрицательной площадью.
Для выполнения в дальнейшем прочностных расчетов введем новую геометрическую характеристику прочности бруса, работающего на прямой изгиб. Эту геометрическую характеристику называют осевым моментом сопротивления или моментом сопротивления при изгибе.
Отношение момента инерции сечения относительно оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленной точки сечения называется осевым моментом сопротивления:
Момент сопротивления имеет размерность мм 3 , см 3 .
Моменты инерции и моменты сопротивления наиболее распространенных простых сечений определяются по формулам, приведенным в табл. 3.
Для прокатных стальных балок (двутавровых, швеллерных, уголковых и др.) моменты инерции и моменты сопротивлений приводятся в таблицах сортамента прокатных сталей, где помимо размеров даны площади сечений, положения центров тяжести и другие характеристики.
В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей х и у - i x и i y соответственно, которые определяются по следующим формулам.
Посмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте осей координат. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей х, у (не обязательно центральных). Требуется определить J u , J v , J uv -- моменты инерции относительно осей и, v, повернутых относительно первой системы на угол (рис. 3).
Проектируем замкнутый четырехугольник ОАВСО на оси и и v. Так как проекция ломаной линии равна проекции замыкающей, находим:
u = y sin +x cos , v = y cos -- x sin
В выражениях (3), подставив вместо x 1 и y 1 соответственно u и v, исключаем u и v
Рассмотрим два первых уравнения. Складывая их почленно, получим, что сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла и при повороте осей остается постоянной. При этом
где -- расстояние от начала координат до элементарной площадки (рис. 3). Таким образом,
J x + J y = J p
где J p -- полярный момент инерции
величина которого, естественно, не зависит от поворота осей ху.
С изменением угла поворота осей каждая из величин J u и J v меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое , при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение.
Дифференцируя выражение J u (5) по и приравнивая производную нулю, находим
При этом значении угла один из осевых моментов будет наибольшим, а другой -- наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции J uv при указанном угле обращается в нуль, что легко устанавливается из третьей формулы (5).
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными, то тогда они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Для определения этого первые две формулы (5) перепишем в виде
Верхний знак соответствует максимальному моменту инерции, а нижний -- минимальному. После того как сечение вычерчено в масштабе и на чертеже показано положение главных осей, нетрудно установить, которой из двух осей соответствует максимальный и которой -- минимальный момент инерции.
Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет главной. Центробежный момент инерции части сечения, расположенной по одну сторону от оси, будет равен моменту части, расположенной по другую сторону, но противоположен ему по знаку. Следовательно, J ху = 0 и оси х и у являются главными.
Изменение моментов инерции при повороте осей
Считаем, что заданы моменты инерции , , сечения относительно осей x ,y.
Выберем новую систему координат x 1 y 1 c началом в той же точке O, но повернутую на угол α относительно первой. Угол α примем положительным при повороте исходной системы координат против хода часовой стрелки (рис.3.6).
Как видно из рисунка, координаты элемента dF выражаются через координаты xy следующим образом:
x 1 = x cos + y sin ; y 1 = y cos – x sin . (3.22.а)
Подставив выражения (3.22,а) в интегралы (3.18) находим:
. (3.25)
Складывая почленно выражения (3.23) и (3.24) получим
J + J = J x + J y = J p . (3.26)
Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей остается постоянной при повороте осей на любой угол и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.
Исследование зависимостей (3.23) и (3.24) на экстремум показывает, что существует такое положение двух взаимно перпендикулярных осей, при котором осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, т.е. достигают максимума и минимума, причем для одной оси момент инерции максимален, для другой минимален.
Оси, относительно которых осевые моменты инерции экстремальны (максимальны и минимальны) называются главными осями. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения называются главными центральными осями.
Чтобы найти значение угла α о, определяющего положение главных осей, исследуем на экстремум зависимость (3.23). Для этого приравняем нулю первую производную по α от J :
Сравнивая этот результат с выражением (3.25) приходим к заключению, что центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.
Из (3.27) получим:
Подставляя α 0 в формулы (3.23) и (3.24) найдем значения главных моментов инерции:
В разделе 3.3. было отмечено, что относительно двух взаимно перпендикулярных осей, из которых хотя бы одна является осью симметрии, центробежный момент равен нулю. Следовательно, если сечение имеет ось симметрии, то это одна из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести перпендикулярно первой.
Для сечений имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей являются главными и равны между собой (круг, квадрат, равносторонний треугольник и др.)
Пример 3.2. Для заданного сечения (рис.3.7) определить положение главных центральных осей и вычислить значения главных центральных моментов инерции.
Сечение составлено из швеллера №20 и листа сечением 220 х 10 мм.
Выберем вспомогательные оси х,y. Выпишем координаты центров тяжести сечений швеллера С 1 и листа С 2 в этих осях и их площади.
Координаты центра тяжести швеллера:
x 1 = 2,07 см; y 1 = 11см; площадь сечения F 1 = 23,4 см 3 .
Размеры и другие геометрические характеристики швеллера находим по таблице сортамента.
Координаты центра тяжести листа: x 2 = 11см,
y 2 = 0,5см, площадь сечения F 2 = 22 х 1 = 22см 2 .
Проведем центральные оси швеллера и листа .
По формулам 3.4 вычисляем координаты центра тяжести всего сечения:
Здесь S 1 x = F 1 y 1 ; S 2 x = F 2 y 2 ; S 1 y = F 1 x 1 ; S 1 y = F 2 x 2 – статические моменты сечений швеллера и листа относительно осей х, y.
Через центр тяжести С всего сечения проведем оси x с и y c параллельно осям х,y.
Выпишем необходимые для дальнейшего расчета данные. Координаты центров тяжести сечений швеллера и листа в осях x c и y c:
а 1 = x 1 - x 2 = 2.07 – 6.4 = -4, 33см;
b 1 = y 1 - y 2 = 11-5, 91= 5,09 см;
а 2 = x 2 - x c = 11 – 6.4 = 4,6 см;
b 2 = y 2 – y c = 0,5 – 5,91 = - 5, 41см.
Проверим правильность определения положения центра тяжести всего сечения. Для этого определим статические моменты сечения относительно осей х с и y c . Эти статические моменты при правильном определении координат х с и y c должны быть равны нулю.
Sx c = F 1 b 1 + F 2 b 2 = 23,4 5,09 + 22 (-5,41) = 119,1 – 119,0 0;
Sy c = F 1 а 1 + F 2 а 2 = 23,4 (-4,33) + 22 4,6 = -101,3 + 101,2 .
Таким образом, координаты х с и y с центра тяжести всего сечения найдены правильно.
Моменты инерции сечения швеллера относительно собственных центральных осей х 1 и y 1 (выписываем из таблицы сортамента):
J x 1 = 1520 см 4 ; Jy 1 = 113 см 4 .
Центробежный момент инерции J x 1 y 1 = 0
(так как ось х 1 - ось симметрии и поэтому оси х 1 , y 1 – главные оси сечения швеллера).
Моменты инерции сечения листа определим по формулам (3.9) и (3.10)
Вычислим моменты инерции всего сечения относительно осей х с и y с используя формулы перехода к параллельным осям (3.19) (3.21)
Jx c = J + b 1 2 F 1 + Jx 2 + b 2 2 F 2 = 1520+ (5,09) 2 23,4 + 1,83 + (-5,41) 2 22 = 2126 + 645,7 = 2772 (см 4),
Jy c = J + a 1 2 F 1 + J + a 2 2 F 2 = 113+ (- 4,33) 2 23,4 + 887,3+ (4,6) 2 22 = 551,7 + 1352,8 = 1905 (см 4),
J X cYc = J x 1 y 1 + a 1 b 1 F 1 + J x 2 y 2 + a 2 b 2 F 2 = 0 + (-4,33) 5,09 23,4 + 0 + 4,6 (-5,41) 22 = -1063,2 (см 4).
Определим угол наклона главных центральных осей к центральным осям х с, y c:
2α 0 = 67,8 0 ; α 0 = 34 0 .
Положительный угол откладываем от оси х с против хода часовой стрелке.
2α 0 = 67,8 0 ; α 0 = 34 0 .
Положительный угол откладываем от оси х с против хода часовой стрелки.
Величины главных центральных моментов инерции определяем по формуле (3.29)
J max = 3487 см 4 ; J min = 1190 см 4 .
Для того, чтобы установить, относительно какой оси момент инерции максимален и относительно какой минимален, можно сопоставить значения моментов инерции Jx c и Jy c .
Поскольку Jx c Jy c . , то J max = J xo и J min = J yo .
Проверка.
Центробежный момент инерции всего сечения относительно главных центральных осей должен равняться нулю.
По формуле (3.25) получаем:
Следовательно, вычисления выполнены верно.
Вопросы для самоконтроля
1. Назовите геометрические характеристики сечений, которые используются в расчетах на прочность и жесткость.
2. Как определяются геометрические характеристики профилей стандартного проката (уголков, швеллеров, двутавров)?
3. Что называется статическим моментом сечения относительно оси?
4. Какую размерность имеет статический момент?
5. Как определяется статический момент сечения?
6. Как определяются координаты центра тяжести простого и сложного сечения?
7. Чему равен статический момент сечения относительно центрально оси?
8. Что называется осевым, центробежным, полярным моментом инерции?
9. Какова размерность моментов инерции?
10. Какова зависимость между осевыми и полярным моментом инерции?
11. Какие знаки могут иметь моменты инерции?
12. Чему равны моменты инерции прямоугольного сечения относительно оси, совпадающей с одной из его сторон, и относительно центральной оси, параллельной одной из его сторон?
13. Чему равен момент инерции круга и кольца относительно центральной оси?
14. Чему равны полярные моменты инерции круга и кольца относительно их центров?
15. Чему равны моменты инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание, и относительно центральной оси, параллельной основанию?
16. Как определяются моменты инерции сложного сечения?
17. Какова зависимость между осевыми и центробежными моментами для параллельных осей?
18. Как меняются осевые и центробежный моменты инерции при повороте осей?
19. Как меняется сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при их повороте?
20. Какие оси называются главными осями и главными центральными осями инерции?
21. Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей?
22. Какова особенность главных моментов инерции?
23. В каких случаях без вычислений можно установить положение главных осей инерции?
24. По какой формуле определяется положение главных осей инерции?
25. По каким формулам определяются значения главных моментов инерции?
26. Какие оси являются главными центральными у сечений, имеющих более двух осей симметрии?
27. Какова последовательность определения значений главных центральных моментов инерции сложного сечения?
28. Как можно проверить правильность решения задачи по определению положения главных центральных осей инерции и моментов инерции относительно этих осей?
29. Как можно проверить правильность решения, задачи по определению координат центра тяжести сложного сечения?
Литература
1. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов [Текст]: Учеб. для вузов/ В.И.Феодосьев.- 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. - 592 е.: ил.; 22 см. - 3000 экз. - ISBN 5-7038-1340-9.
2. Степин П.А. Сопротивление материалов [Текст]: Учебник 11-е изд., стер. - СПб.: изд. "Лань", 2010-320 е.: ил. - 1500 экз. - ISBN 978-5-8114-1038-5.
3. Кривошапко С.Н. Сопротивление материалов: Учебник для бакалавров - М: Изд-во Юрайт, 2012.-413с.: ил. - 1000 экз. ISBN 978-5-9916-1515-0.
4. Ахметзянов М.Х., Лазарев И.Б. Сопротивление материалов: учебник/ М.Х. Ахметзянов, И.Б. Лазарев. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во Юрайт. 2011. - 300с.-1000 экз. ISBN 978-5-9916-1253-1.
5. Молотников В.Я. Курс сопротивления материалов: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во "Лань", 2006. - 384 е.: ил. - 2000 экз. ISBN 5-8114-0649-5.
6. Сопротивление материалов: Лабораторный практикум. (Рекомендовано учебно- методическим объединением по образованию в области металлургии в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений)/ Авдеев В.И., Кравченко О.Ф., Кравченко Н.В. Старый Оскол: ООО "ТНТ", 2007. - 108 с.
Для заметок
