Решение уравнения теплопроводности. Теплопроводности уравнение Уравнение теплопроводности фурье примеры решения

Ниже будут рассмотрены несколько задач на определение температурных полей для относительно простых геометрических и физических условий, которые допускают несложные по форме аналитические решения и вместе с тем дают полезную иллюстрацию характерных физических процессов, связанных с теплопередачей в твердом теле.

Рассмотрим стержень с термоизолированной боковой поверхностью (рис. 38). В этом случае теплопередача может осуществляться вдоль стержня. Если совместить стержень с осью декартовой системы координат, то стационарное уравнение теплопроводности будет иметь вид

При постоянных значениях коэффициента теплопроводности объемной мощности тепловыделения последнее уравнение можно дважды проинтегрировать

(75)

Постоянные интегрирования можно найти из граничных условий. Например, если на концах стержня задана температура , . Тогда из (75) имеем

Отсюда найдем постоянные интегрирования и . Решение при указанных граничных условиях получит вид

Из последней формулы видно, что при отсутствии источников тепловыделения . Температура в стержне меняется по линейному закону от одного граничного значения до другого

Рассмотрим теперь другое сочетание граничных условий. Пусть на левом конце стержня внешний источник создает тепловой поток . На правом конце стержня сохраним прежнее условие, таким образом, имеем

Выражая эти условия с помощью общего интеграла (75), получим систему относительно постоянных интегрирования

Найдя из полученной системы неизвестные постоянные, получим решение в виде

Как и в предыдущем примере при отсутствии внутренних источников тепловыделения распределение температуры вдоль стержня будет линейным

При этом температура на левом конце стержня, где расположен внешний источник тепла, будет равна .

В качестве следующего примера найдем стационарное распределение температуры по радиусу в сплошном длинном круговом цилиндре (рис. 39). Существенно упростит задачу в этом случае применение цилиндрической системы координат. В случае цилиндра с большим отношением длины к радиусу и постоянным распределени

ем внутреннего источника тепловыделения, температуру вдали от концов цилиндра можно считать независящей от осевой координаты цилиндрической системы . Тогда стационарное уравнение теплопроводности (71) получит вид

Двукратное интегрирование последнего уравнения (при постоянной ) дает

Условие симметрии распределения температуры на оси цилиндра () дает

Откуда имеем

Последнее условие будет выполнено при . Пусть на поверхности цилиндра () задана температура . Тогда можно найти вторую постоянную интегрирования из уравнения

Отсюда найдем и запишем решение в окончательном виде

В качестве численного примера применения полученного результата рассмотрим распределение температуры в плазме цилиндрического дугового разряда радиусом мм. Граница разрядного канала формируется как область, где прекращаются ионизационные процессы. Выше мы видели, что заметная ионизация газа при нагреве прекращается при K. Поэтому приведенное значение можно принять в качестве граничного K. Объемную плотность мощности тепловыделения в плазме разряда найдем из закона Джоуля–Ленца , где σ - электропроводность плазмы, E - напряженность электрического поля в канале разряда. Характерные для дугового разряда значения составляют 1/Ом м, В/м. Теплопроводность дуговой плазмы выше, чем в нейтральном газе, при температурах порядка 10000 К ее значение может принято равным . Таким образом, параметр . Распределение температуры по радиусу показано на рис. 39. При этом температура на оси разряда () составит 8000 K.

В следующем примере мы рассмотрим тепловое поле, обладающее сферической симметрией. Такие условия возникают, в частности, если источник тепловыделения малого размера размещен в крупном массиве, например межвитковое дуговое замыкание в обмотке крупной электрической машины. В этом случае совмещая центр сферической системы координат с источником тепловыделения мы можем привести стационарное уравнение теплопроводности (64) к виду:

Дважды интегрируя это уравнение, найдем

Возвращаясь к нашему примеру, предположим, что дуговое замыкание имеет место внутри сферической полости радиуса (рис. 40). Примем сопротивление дугового разряда равным Ом, ток разряда А. Тогда мощность, выделяемая в полости составит . Рассмотрим решение вне области действия источника тепловыделения .

Тогда интеграл уравнения теплопроводности упростится

Для вычисления постоянных интегрирования воспользуемся во-первых условием в бесконечно удаленных от места разряда точках , где C - температура окружающей среды. Из последнего выражения находим . Для определения постоянной примем, что выделяющаяся в разряде тепловая энергия равномерно распределяется по поверхности сферической полости радиуса . Поэтому тепловой поток на границе полости составит

Поскольку , то из двух последних уравнений имеем

а решение в окончательном виде

При этом температура на границе полости ( мм) при Вт/мК составит K (рис. 40).

В качестве первого примера этой группы рассмотрим тепловое поле в сечении провода круглого сечения, имеющего канал охлаждения (рис. 41, а ). Провода с каналами охлаждения применяют в обмотках мощных электрических машин и катушек для получения сильных магнитных полей. Для данных устройств характерно длительное протекание токов с амплитудой в сотни и даже тысячи Ампер. Например, прокачивается жидкость, например вода, или газ (водород, воздух), что обеспечивает отбор тепловой энергии с внутренней поверхности канала и охлаждение провода в целом. В данном случае мы имеем дело с принудительным конвективным охлаждением поверхности канала, для которой можно использовать обоснованное выше граничное условие третьего рода (67). Если совместить ось цилиндрической системы координат с осью провода, то температура будет зависеть только от радиальной координаты. Общий интеграл стационарного уравнения теплопроводности для этого случая был получен нами ранее

Объемная плотность мощности тепловыделения находится из закона Джоуля-Ленца: , j - плотность тока, σ - электропроводность,

где R - радиус сечения провода, a - радиус охлаждающего канала. Провод снаружи окружен слоями изоляции, обладающей, по сравнению с проводником, относительно низкой теплопроводностью. Поэтому в первом приближении примем внешнюю поверхность провода теплоизолированной, т. е. тепловой поток на ней

На поверхности охлаждающего канала тепловой поток определяется условием третьего рода

где - коэффициент теплоотдачи, - температура охлаждающего потока. Знак минус в правой части взят вследствие того, что нормаль к внутренней поверхности канала направлена в противоположном к оси направлении.

Подставляя в первое из выписанных граничных условий выражение для температуры (76), получим

откуда . Второе граничное условие дает

откуда находим

Вместе с тем из (76)

Сравнивая последние два выражения, найдем

После подстановки найденных постоянных в общее решение (76) и преобразований получим

Температура на границах сечения провода из полученного решения будет рассчитываться по формулам

Распределение температуры по радиусу сечения для провода с каналом охлаждения с параметрами: A, Вт/мК, 1/Ом м, о С, мм, см показано на рис. 41, б .

Из рис. 41, б следует, что в пределах сечения провода изменение температуры относительно мало по сравнению с ее средней величиной, что объясняется высокой теплопроводностью λ и относительно малыми размерами сечения провода.

Иная ситуация возникает в распределении температуры вдоль провода, состоящего из отдельных участков, контактирующих друг с другом. Ухудшение качества контактов между соединяемыми проводниками приводит к повышению тепловыделения в месте соединения двух проводов по сравнению с самим проводом. Дистанционное измерение температуры провода с помощью тепловизоров или пирометров позволяет диагностировать качество контактных соединений.

Рассчитаем распределение температуры вдоль провода при наличии дефектного контакта. Предыдущий пример показал, что даже в самых жестких условиях изменение температуры в пределах сечения провода весьма мало. Поэтому для нашего расчета можно в первом приближении принять распределение температуры в пределах сечения провода однородным. Распределение тепловыделения вдоль провода зависит от распределения электрического сопротивления вдоль провода, которое однородно вдали от контакта и возрастает при приближении к нему. Совместим ось декартовой системы координат с осью провода, а начало координат - с центром контактной области (рис. 42). В качестве модели распределения сопротивления вдоль провода возьмем следующее распределение погонного сопротивления

где , - параметр, характеризующий линейный размер контактной области . Мощность тепловыделения на единицу длины провода составляет . В расчете на единицу объема мощность тепловыделения равна

где S - сечение провода. Охлаждение провода осуществляется естественной конвекцией с его поверхности. Конвективный тепловой поток с единицы длины провода есть

где α - коэффициент теплоотдачи, - температура окружающего воздуха, p - периметр сечения провода. Теплоотдача в окружающую среду в расчете на единицу объема проводника составит

Стационарное распределение температуры вдоль провода будет подчиняться уравнению теплопроводности

Для дальнейших преобразований полученного уравнения примем постоянным вдоль провода коэффициент теплопроводности , подставим полученные выше выражения для и , а также в качестве искомой функции вместо T возьмем :

придем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

Решение полученного уравнения будем искать в виде суммы общего решения однородного уравнения

и частного решения в форме правой части

с начальными условиями

и граничными условиями

Решение этой задачи будем искать в виде ряда Фурье по системе собственных функций (94)

т.е. в форме разложения

считая при этом t параметром.

Пусть функции f (x , t ) является непрерывной и имеет кусочно-непрерывную производную 1-го порядка по х и при всех t >0 выполняются условия

Предположим теперь, что функции f (x , t ) и
можно разложить в ряд Фурье по синусам

, (117)

(118)

, (119)

. (120)

Подставим (116) в уравнение (113) и с учетом (117), получим

Это равенство выполняется тогда, когда

, (121)

или, если
, то это уравнение (121) можно записать в виде

. (122)

Пользуясь начальным условием (114) с учетом (116), (117) и (119) получаем, что

. (123)

Таким образом, для нахождения искомой функции
приходим к задаче Коши (122), (123) для обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Пользуясь формулой Эйлера можно записать общее решение уравнения (122)

а с учетом (123) решение задачи Коши

Следовательно, когда мы подставим значение этой функции в выражение (116), в итоге получим решение исходной задачи

(124)

где функции f (x , t ) и
определены формулами (118) и (120).

Пример 14. Найти решение неоднородного уравнения параболического типа

при начальном условии

(14.2)

и граничных условиях

. (14.3)

▲ Подберем сначала такую функцию  , чтобы удовлетворяла граничным условиям (14.3). Пусть, например,  = xt 2 . Тогда

Следовательно, функция определяемая как

удовлетворяет уравнению

(14.5)

однородным граничным условиям

и нулевым начальным условиям

. (14.7)

Применяя метод Фурье для решения однородного уравнения

при условиях (14.6), (14.7), положим

Приходим к следующей задаче Штурма-Лиувилля:

,
.

Решая эту задачу, находим собственные значения

и соответствующие им собственные функции

. (14.8)

Решение задачи (14.5)-(14.7) ищем в виде ряда

, (14.9)

(14.10)

Подставив
из (14.9) в (14.5) получим

. (14.11)

Для нахождения функции T n (t ) разложим функцию (1-х ) в ряд Фурье по системе функций (14.8) на интервале (0,1):

. (14.12)

и из (14.11) и (14.12) получаем уравнение

, (14.13)

которое является обыкновенным неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его общее решение найдем по формуле Эйлера

а с учетом условия (14.10), найдем решение задачи Коши

. (14.14)

Из (14.4), (14.9) и (14.14) находим решение исходной задачи (14.1)- (14.3)

Задания для самостоятельной работы

Решить начально-краевые задачи

3.4. Задача Коши для уравнения теплопроводности

В первую очередь рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности.

удовлетворяющее

Начнем с того, что заменим переменные x и t на
и введем в рассмотрение функцию
. Тогда функции
будут удовлетворять уравнениям

где
- функция Грина, определяемая формулой

, (127)

и обладающая свойствами

; (130)

. (131)

Умножив первое уравнение на G * , а второе на и и затем сложив полученные результаты, получим равенство

. (132)

После интегрирования по частям равенства (132) по в пределах от -∞ до +∞ и пов пределах от 0 доt , получим

Если предполагать, что функция
и ее производнаяограничены при
, то в силу свойств (131) интеграл в правой части (133) равен нулю. Следовательно, можно записать

Заменив в этом равенстве на
, а
на
, получим соотношение

Отсюда, используя формулу (127) окончательно получим

. (135)

Формула (135) называется формулой Пуассона и определяет решение задачи Коши (125), (126) для однородного уравнения теплопроводности с неоднородным начальным условием.

Решение же задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности

удовлетворяющее неоднородному начальному условию

представляет собой сумму решений:

где является решением задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности. , удовлетворяющее неоднородному начальному условию, аявляется решением, удовлетворяющее однородному начальному условию. Таким образом, решение задачи Коши (136), (137) определяется формулой

Пример 15. Найти решение уравнения

(15.1)

для следующего распределения температуры стержня:

▲ Стержень является бесконечным, поэтому решение можно записать, используя формулу (135)

Так как
в интервале
равна постоянной температуре, а вне этого интервала температура равна нулю, то решение принимает вид

. (15.3)

Полагая в (15.3)
, получим

Поскольку

представляет собой интеграл вероятностей, то окончательное решение исходной задачи (13.1), (13.2) можно выразить формулой

.▲

Формулы для расчета температурного поля и теплового потока в частных задачах стационарной и нестационарной теплопроводности получают исходя из математического описания (математической модели) процесса. Основу модели составляет дифференциальное уравнение теплопроводности, которое выводится с привлечением первого закона термодинамики для тел, не совершающих работы, и закона теплопроводности Фурье. Дифференциальное уравнение физического процесса обычно выводится при тех или иных допущениях, упрощающих процесс. Поэтому получаемое уравнение описывает класс процессов только в пределах принятых допущений. Каждая конкретная задача описывается соответствующими условиями однозначности. Таким образом, математическое описание процесса теплопроводности включает дифференциальное уравнение теплопроводности и условия однозначности.

Рассмотрим вывод дифференциального уравнения теплопроводности при следующих допущениях:

а) тело однородно и анизотропно;
б) коэффициент теплопроводности зависит от температуры;
в) деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, очень мала по сравнению с самим объемом;
г) внутри тела имеются равномерно распределенные внутренние источники теплоты q v = f(x, у, z, т) = const;
д) перемещение макрочастиц тела относительно друг друга (конвекция) отсутствует.

В теле с принятыми характеристиками выделяем элементарный объем в форме параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, определенно ориентированный в ортогональной системе координат (рис. 14.1). В соответствии с первым законом термодинамики для тел, не совершающих работы, изменение внутренней энергии dU вещества в выделенном объеме за время dx равно сумме теплоты, поступающей

Рис. 14.1.

в объем вследствие теплопроводности dQ x , и теплоты, выделенной внутренними источниками dQ 2 ".

Из термодинамики известно, что изменение внутренней энергии вещества в объеме dV за время dx равно

где dG = рdV - масса вещества; р - плотность; с - удельная массовая теплоемкость (для сжимаемых жидкостей c = c v (изохорной теплоемкости)).

Количество энергии, выделенное внутренними источниками,

где q v - объемная плотность внутренних источников теплоты, Вт/м 3 .

Тепловой поток, поступающий в объем теплопроводностью, разделим на три составляющих соответственно направлению осей координат: Через противоположные грани теплота будет

отводиться в количестве соответственно Разница между количеством подведенной и отведенной теплоты эквивалентна изменению внутренней энергии вследствие теплопроводности dQ v Представим эту величину как сумму составляющих по осям координат:

Тогда в направлении оси х имеем

Поскольку -

плотности тепловых потоков на поотивоположных гоанях.

Функция q x+dx является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора:

Ограничиваясь двумя первыми членами ряда и подставляя в (14.6), получаем

Аналогичным образом получаем:

После подстановки (14.8)-(14.10) в (14.4) имеем

Подставляя (14.2), (14.3) и (14.11) в (14.1), получаем дифференциальное уравнение переноса теплоты теплопроводностью с учетом внутренних источников:

Согласно закону теплопроводности Фурье записываем выражения для проекций на оси координат плотности теплового потока:

где Х х, Х у, X z - коэффициенты теплопроводности в направлении координатных осей (тело анизотропное).

Подставляя эти выражения в (14.12), получаем

Уравнение (14.13) называют дифференциальным уравнением теплопроводности для анизотропных тел с независимыми от температуры физическими свойствами.

Если принять X = const, а тело изотропным, уравнение теплопроводности принимает вид

Здесь а = Х/(ср), м 2 /с, - коэффициент температуропроводности,

который является физическим параметром вещества, характеризующим скорость изменения температуры в процессах нагревания или охлаждения. Тела, выполненные из вещества с большим коэффициентом температуропроводности, при прочих равных условиях нагреваются и охлаждаются быстрее.

В цилиндрической системе координат дифференциальное уравнение теплопроводности для изотропного тела с постоянными физическими свойствами имеет вид

где г, z, Ф - соответственно радиальная, осевая и угловая координаты.

Уравнения (14.13), (14.14) и (14.15) описывают процесс теплопроводности в самом общем виде. Конкретные задачи отличаются условиями однозначности , т.е. описанием особенностей протекания рассматриваемого процесса.

Условия однозначности. Исходя из физических представлений о теплопроводности можно выделить факторы, влияющие на процесс: физические свойства вещества; размеры и форма тела; начальное распределение температуры; условия теплообмена на поверхности (границе) тела. Таким образом, условия однозначности подразделяются на физические, геометрические, начальные и граничные (краевые).

Физическими условиями задаются физические параметры вещества X, с, р и распределение внутренних источников.

Геометрическими условиями задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс.

Начальными условиями задается распределение температуры в теле в начальный момент времени t = /(х, у, z ) при т = 0. Начальные условия имеют значение при рассмотрении нестационарных процессов.

В зависимости от характера теплообмена на границе тела граничные (краевые) условия подразделяются на четыре рода.

Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности t n в течение процесса

В частном случае температура поверхности может оставаться постоянной (/ п = const).

Граничные условия первого рода имеют место, например, при контактном нагреве в процессах склеивания фанеры, прессования древесно-стружечных и древесно-волокнистых плит и т.п.

Граничные условия второго рода. Задается распределение значений плотности теплового потока на поверхности тела в течение процесса

В частном случае тепловой поток на поверхности может оставаться постоянным (

Граничные условия третьего рода соответствуют конвективному теплообмену на поверхности. При этих условиях должна задаваться температура жидкости, в которой находится тело, Г ж = /(т), и коэффициент теплоотдачи ос. В общем случае коэффициент теплоотдачи - переменная величина, поэтому должен задаваться закон его изменения а =/(т). Возможен частный случай: / ж = const; а = const.

Граничные условия четвертого рода характеризуют условия теплообмена тел с различными коэффициентами теплопроводности при их идеальном контакте, когда теплота передается теплопроводностью и тепловые потоки по разные стороны поверхности контакта равны:

Принятые физические допущения, уравнение, выведенное при этих допущениях, и условия однозначности составляют аналитическое описание (математическую модель) процессов теплопроводности. Успех использования полученной модели для решения конкретной задачи будет зависеть от того, насколько принятые допущения и условия однозначности адекватны реальным условиям.

Уравнения (14.14) и (14.15) решаются достаточно просто аналитически для одномерного стационарного теплового режима. Решения рассмотрены ниже. Для двумерных и трехмерных стационарных процессов применяются приближенные численные методы

Для решения уравнений (14.13)-(14.15) в условиях нестационарного теплового режима используется ряд методов, рассмотренных подробно в специальной литературе . Известны точные и приближенные аналитические методы, численные методы и др.

Численное решение уравнения теплопроводности осуществляется в основном методом конечных разностей . Выбор того или иного метода решения зависит от условий задачи. В результате решения аналитическими методами получают формулы, применимые для решения круга инженерных задач в соответствующих условиях. Численные методы дают возможность получить температурное поле t=f(x, у, z, т) в виде набора дискретных значений температуры в различных точках в фиксированные моменты времени для конкретной задачи. Поэтому использование аналитических методов предпочтительно, однако это не всегда возможно для многомерных задач и сложных граничных условий.

Механика сплошных сред

Сплошная среда

См. также: Портал:Физика

Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоёмкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

В задачах диффузии или теплопроводности в жидкостях и газах, находящихся в движении, вместо уравнения диффузии применяется уравнение переноса , расширяющее уравнение диффузии на тот случай, когда пренебрежением макроскопическим движением недопустимо.

Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера , отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Общий вид

Уравнение обычно записывается так:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∇ ⋅ [ D (φ , r) ∇ φ (r , t) ] , {\displaystyle {\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\varphi ,\mathbf {r})\ \nabla \varphi (\mathbf {r} ,t){\big ]},}

где φ(r , t ) - плотность диффундирующего вещества в точке r и во время t и D (φ, r ) - обобщённый коэффициент диффузии для плотности φ в точке r ; ∇ - оператор набла . Если коэффициент диффузии зависит от плотности - уравнение нелинейно, в противном случае - линейно.

Если D - симметричный положительно определённый оператор , уравнение описывает анизотропную диффузию:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x i [ D i j (φ , r) ∂ φ (r , t) ∂ x j ] . {\displaystyle {\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left.}

Если D постоянное, то уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению:

∂ ϕ (r , t) ∂ t = D ∇ 2 ϕ (r , t) , {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),}

История происхождения

Нестационарное уравнение

Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение . Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности .

Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) D {\displaystyle D} уравнение имеет вид:

∂ ∂ t c (x , t) = ∂ ∂ x D ∂ ∂ x c (x , t) + f (x , t) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)={\frac {\partial }{\partial x}}D{\frac {\partial }{\partial x}}{c(x,\;t)}+f(x,\;t).}

При постоянном D {\displaystyle D} приобретает вид:

∂ ∂ t c (x , t) = D ∂ 2 ∂ x 2 c (x , t) + f (x , t) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)=D{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{c(x,\;t)}+f(x,\;t),}

где c (x , t) {\displaystyle c(x,\;t)} - концентрация диффундирующего вещества, a f (x , t) {\displaystyle f(x,\;t)} - функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

∂ ∂ t c (r → , t) = (∇ , D ∇ c (r → , t)) + f (r → , t) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}c({\vec {r}},\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r}},\;t))+f({\vec {r}},\;t),}

где ∇ = (∂ x , ∂ y , ∂ z) {\displaystyle \nabla =(\partial _{x},\;\partial _{y},\;\partial _{z})} - оператор набла , а (,) {\displaystyle (\;,\;)} - скалярное произведение. Оно также может быть записано как

∂ t c = d i v (D g r a d c) + f , {\displaystyle \partial _{t}c=\mathbf {div} \,(D\,\mathbf {grad} \,c)+f,}

а при постоянном D {\displaystyle D} приобретает вид:

∂ ∂ t c (r → , t) = D Δ c (r → , t) + f (r → , t) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}c({\vec {r}},\;t)=D\Delta c({\vec {r}},\;t)+f({\vec {r}},\;t),}

где Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}} - оператор Лапласа .

n -мерный случай

N {\displaystyle n} -мерный случай - прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать n {\displaystyle n} -мерные версии соответствующих операторов:

∇ = (∂ 1 , ∂ 2 , … , ∂ n) , {\displaystyle \nabla =(\partial _{1},\;\partial _{2},\;\ldots ,\;\partial _{n}),} Δ = ∇ 2 = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + … + ∂ n 2 . {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\partial _{1}^{2}+\partial _{2}^{2}+\ldots +\partial _{n}^{2}.}

Это касается и двумерного случая n = 2 {\displaystyle n=2} .

Мотивация

A.

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

Φ = − ϰ ∂ c ∂ x {\displaystyle \Phi =-\varkappa {\frac {\partial c}{\partial x}}} (одномерный случай), j = − ϰ ∇ c {\displaystyle \mathbf {j} =-\varkappa \nabla c} (для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

∂ c ∂ t + ∂ Φ ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}=0} (одномерный случай), ∂ c ∂ t + d i v j = 0 {\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathrm {div} \,\mathbf {j} =0} (для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).

Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).
Также предполагается, что на поток диффундирующего вещества (примеси) не действуют никакие внешние силы, в том числе сила тяжести (пассивная примесь).

B.

Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или n {\displaystyle n} -мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции c {\displaystyle c} в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае - с ограниченной по времени памятью).

Решение

c (x , t) = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) c f (x − x ′ , t) d x ′ = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) 1 4 π D t exp ⁡ (− (x − x ′) 2 4 D t) d x ′ . {\displaystyle c(x,\;t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }c(x",\;0)c_{f}(x-x",\;t)\,dx"=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }c(x",\;0){\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {(x-x")^{2}}{4Dt}}\right)\,dx".}

Физические замечания

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше - и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнение

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности , относящееся к классу эллиптических уравнений . Его общий вид:

− (∇ , D ∇ c (r →)) = f (r →) . {\displaystyle -(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r}}))=f({\vec {r}}).} Δ c (r →) = − f (r →) D , {\displaystyle \Delta c({\vec {r}})=-{\frac {f({\vec {r}})}{D}},} Δ c (r →) = 0. {\displaystyle \Delta c({\vec {r}})=0.}

Постановка краевых задач

Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

и , удовлетворяющее условию u (x , t 0) = φ (x) (− ∞ < x < + ∞) {\displaystyle u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty , где - заданная функция.

Первая краевая задача для полубесконечного стержня

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области − ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ {\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty } и t ⩾ t 0 {\displaystyle t\geqslant t_{0}} , удовлетворяющее условиям

{ u (x , t 0) = φ (x) , (0 < x < ∞) u (0 , t) = μ (t) , (t ⩾ t 0) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0

где φ (x) {\displaystyle \varphi (x)} и μ (t) {\displaystyle \mu (t)} - заданные функции.

Краевая задача без начальных условий

Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области 0 ⩽ x ⩽ l {\displaystyle 0\leqslant x\leqslant l} и − ∞ < t {\displaystyle -\infty , удовлетворяющее условиям

{ u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t),\end{array}}\right.}

где и - заданные функции.

Краевые задачи для ограниченного стержня

Рассмотрим следующую краевую задачу:

u t = a 2 u x x + f (x , t) , 0 < x < l , 0 < t ⩽ T {\displaystyle u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0 - уравнение теплопроводности.

Если f (x , t) = 0 {\displaystyle f(x,\;t)=0} , то такое уравнение называют однородным , в противном случае - неоднородным .

u (x , 0) = φ (x) , 0 ⩽ x ⩽ l {\displaystyle u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l} - начальное условие в момент времени t = 0 {\displaystyle t=0} , температура в точке x {\displaystyle x} задается функцией φ (x) {\displaystyle \varphi (x)} . u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , } 0 ⩽ t ⩽ T {\displaystyle \left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t),\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T} - краевые условия. Функции μ 1 (t) {\displaystyle \mu _{1}(t)} и μ 2 (t) {\displaystyle \mu _{2}(t)} задают значение температуры в граничных точках 0 и l {\displaystyle l} в любой момент времени t {\displaystyle t} .

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай ( α i 2 + β i 2 ≠ 0 , (i = 1 , 2) {\displaystyle \alpha _{i}^{2}+\beta _{i}^{2}\neq 0,\;(i=1,\;2)} ).

α 1 u x (0 , t) + β 1 u (0 , t) = μ 1 (t) , α 2 u x (l , t) + β 2 u (l , t) = μ 2 (t) . {\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}u_{x}(0,\;t)+\beta _{1}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\\alpha _{2}u_{x}(l,\;t)+\beta _{2}u(l,\;t)=\mu _{2}(t).\end{array}}}

Если α i = 0 , (i = 1 , 2) {\displaystyle \alpha _{i}=0,\;(i=1,\;2)} , то такое условие называют условием первого рода , если β i = 0 , (i = 1 , 2) {\displaystyle \beta _{i}=0,\;(i=1,\;2)} - второго рода , а если α i {\displaystyle \alpha _{i}} и β i {\displaystyle \beta _{i}} отличны от нуля, то условием третьего рода . Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности - первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимума

Пусть функция в пространстве D × [ 0 , T ] , D ∈ R n {\displaystyle D\times ,\;D\in \mathbb {R} ^{n}} , удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности ∂ u ∂ t − a 2 Δ u = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0} , причем D {\displaystyle D} - ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция u (x , t) {\displaystyle u(x,\;t)} может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области D {\displaystyle D} .

Примечания

Уравнение теплопроводности в однородной среде, как мы видели, имеет вид

Коэффициент внутренней теплопроводности, с - теплоемкость вещества и - плотность. Кроме уравнения (1), нужно иметь в виду начальное условие, дающее начальное распределение температуры и при

Если тело ограничено поверхностью (S), то на этой поверхности мы будем иметь и предельное условие, которое может быть различным, смотря по физическим обстоятельствам. Так, например, поверхность (S) может поддерживаться при определенной температуре, которая может и меняться с течением времени. В этом случае предельное условие сводится к заданию функции U на поверхности (S), причем эта заданная функция может зависеть и от времени t. Если температура поверхности не фиксирована, но имеется лучеиспускание в окружающую среду данной температуры то по закону Ньютона, правда, далеко не точному, поток тепла через поверхность (S) пропорционален разности температур окружающего пространства и поверхности тела (S). Это дает предельное условие вида

где коэффициент пропорциональности h называется коэффициентом внешней теплопроводности.

В случае распространения тепла в теле линейных размеров, т. е. в однородном стержне, который мы считаем расположенным вдоль оси вместо уравнения (1) мы будем иметь уравнение