Одного уравнения движения (1.116) при математическом описании физического процесса недостаточно. Надо сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Сформулируем дополнительные условия для струны с закрепленными концами. Так как концы струны длины закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равны нулю при любых :

, .

(1.119)

Условия (1.119) называются граничными условиями; они показывают, что происходит на концах струны на протяжении процесса колебания.

Очевидно, процесс колебаний будет зависеть от того, каким способом струна выводится из состояния равновесия. Удобнее считать, что струна начала колебаться в момент времени . В начальный момент времени всем точкам струны сообщаются некоторые смещения и скорости:

,

, ,

(1.120)

где и - заданные функции.

Условия (1.120) называются начальными условиями.

Итак, физическая задача о колебаниях струны свелась к следующей математической задаче: найти такое решение уравнения (1.116) (или (1.117) или (1.118)), которое удовлетворяло бы граничным условиям (1.119) и начальным условиям (1.120). Эта задача называется смешанной краевой задачей, так как включает в себя и граничные и начальные условия. Доказано, что при некоторых ограничениях, наложенных на функции и , смешанная задача имеет единственное решение.

Оказывается, что к задаче (1.116), (1.119), (1.120), помимо задачи о колебаниях струны, сводятся многие другие физические задачи: продольные колебания упругого стержня, крутильные колебания вала, колебания жидкостей и газа в трубе и др.

Помимо граничных условий (1.119) возможны граничные условия других типов. Наиболее распространенными являются следующие:

I. , ;

II. , ;

III. , ,

где , - известные функции, а , - известные постоянные.

Приведенные граничные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, если концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II – в случае, если к концам приложены заданные силы; условия III – в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенств, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (1.119) – однородные.

Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

Для уравнения (1.116) может быть поставлена и другая задача. Пусть струна достаточно длинная и нас интересует колебание ее точек, достаточно удаленных от концов, причем в течение малого промежутка времени. В этом случае режим на концах не будет оказывать существенного влияния и поэтому его не учитывают; струну же при этом считают бесконечной. Вместо полной задачи ставят предельную задачу с начальными условиями для неограниченной области: найти решение уравнения (1.116) для при , удовлетворяющее начальным условиям:

, .

Продуктивный пласт или выделенную из него часть можно рассматривать как некоторую область пространства, ограниченную поверхностями - границами. Границы могут быть непроницаемыми для жидкостей или газов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхностью является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания (с дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины является внутренней границей пласта.

Чтобы получить решение системы уравнений, к ней необходимо добавить начальные и граничные (краевые) условия.

Начальное условие заключается в задании искомой функции во всей области в некоторый момент времени, принимаемый за начальный. Например, если искомой функцией является пластовое давление, то начальное условие может иметь вид

Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам.

Возможны следующие граничные условия.

Граничные условия первого рода . На границе задаются значения давления:

Так, как по закону Дарси скорость фильтрации связана с градиентом давления, то это граничное условие можно записать в следующем виде:

Рассмотрим граничные условия в случае притока к галерее. Галерея имеет две границы, одна при x = 0 , а вторая (контур питания) x = L . Поэтому необходимо поставит по одному граничному условию на каждой границе. На контуре питания ставится условие постоянство давления или условие непроницаемости границы

Скорость фильтрации связана с градиентом давления, поэтому второе граничное условие записывается в виде:

Второе граничное условие можно записать в виде:

Скорость фильтрации связана с градиентом давления, поэтому второе граничное условие записывается в виде.

Начальные и граничные условия. Неотъемлемым и важнейшим элементом постановки любой задачи механики сплошных сред является формулировка начальных и граничных условий. Их значение определяется тем, что та или иная система разрешающих уравнений описывает целый класс движений соответствующей деформируемой среды, и лишь задание отвечающих исследуемому процессу начальных и граничных условий позволяет выделить из этого класса представляющий интерес частный случай, соответствующий решаемой практической задаче.

Начальные условия -- это условия, которыми задаются значения искомых характеристических функций в момент начала рассмотрения исследуемого процесса. Количество задаваемых начальных условий определяется количеством основных неизвестных функций, входящих в систему разрешающих уравнений, а также порядком входящей в эту систему высшей производной по времени. Например, адиабатическое движение идеальной жидкости или идеального газа описывается системой шести уравнений с шестью основными неизвестными -- тремя компонентами вектора скорости,давлением,плотностью и удельной внутренней энергией, при этом порядок производных этих физических величин по времени не превышает первый порядок. Соответственно этому в качестве начальных условий должны быть заданы начальные поля этих шести физических величин: при t =0 ,. В некоторых случаях (например, в динамической теории упругости) в качестве основных неизвестных в системе разрешающих уравнений используются не компоненты вектора скорости, а компоненты вектора перемещения, а уравнение движения содержит производные второго порядка компонент перемещения, что требует задания двух начальных условий для искомой функции: при t = 0

Более сложным и разнообразным образом при постановке задач механики сплошных сред задаются граничные условия. Граничные условия -- это условия, которыми задаются значения искомых функций (или их производных по координатам и времени) на поверхности S области, занимаемой деформируемой средой. Различают граничные условия нескольких типов: кинематические, динамические, смешанные и температурные.

Кинематические граничные условия соответствуют случаю, когда на поверхности S тела (или ее части) задаются перемещения или скорости где -- координаты точек поверхности S, изменяющиеся в общем случае в зависимости от времени.

Динамические граничные условия (или граничные условия в напряжениях) задаются, когда на поверхности S действуют поверхностные силы р. Как следует из теории напряжений, в этом случае на любой элементарной площадке поверхности с единичным вектором нормали п вектор удельных поверхностных сил рп принудительно задает вектор полного напряжения?п = рn, действующий в сплошной среде в точке на данном участке поверхности, что приводит к взаимосвязи тензора напряжений (?) в этой точке с поверхностной силой и ориентацией вектора п соответствующего участка поверхности: (?) · п = рп или.

Смешанные граничные условия соответствуют случаю, когда на поверхности S задаются значения и кинематических, динамических величин или устанавливаются взаимосвязи между ними.

Температурные граничные условия подразделяются на несколько групп (родов). Граничные условия первого рода задают на поверхности S деформируемой среды определенные значения температуры Т. Граничные условия второго рода задают на границе вектор теплового потока q, что с учетом закона теплопроводности Фурье q = -- ? grad T, по существу, накладывает ограничения на характер температурного распределения в окрестности граничной точки. Граничные условия третьего рода устанавливают зависимость между вектором теплового потока q, направленным к данной среде со стороны окружающей среды, и температурным перепадом между этими средами и т.д.

Следует отметить, что постановка и решение большинства задач физики быстропротекающих процессов, как правило, осуществляются в адиабатическом приближении, поэтому температурные граничные условия используются достаточно редко, в основном в различных сочетаниях применяются кинематические, динамические и смешанные граничные условия. Рассмотрим возможные варианты задания граничных условий на частном примере.

На рис. 3 схематично представлен процесс взаимодействия при проникании деформируемого тела I в деформируемую преграду II. Тело I ограничено поверхностями S1 и S5, а тело II -- поверхностями S2, S3, S4, S5. По -верхность S5 является границей раздела взаимодействующих деформируемых тел. Будем полагать, что движение тела I до начала взаимодействия, а также в его процессе происходит в жидкости, создающей определенное гидростатическое давление

Рисунок 3

и задающей внешние по отношению к обоим телам поверхностные силы рп = -- рп= -- рni ri, действующие на любой из элементарных площадок поверхностей S1 тела I и S2 преграды II, граничащих с жидкостью. Будем также считать, что поверхность Sз преграды жестко закреплена, а поверхность S4 свободна от действия поверхностных сил (рп = 0).

Для приведенного примера на различных поверхностях, ограничивающих деформируемые среды I и II, должны задаваться граничные условия всех трех основных типов. Очевидно, что на жестко закрепленной поверхности Sз следует задать кинематические граничные условия?(S3) = ?(, t) = 0. Граничные условия на поверхностях S1 и S2 однотипны и относятся к динамическим условиям, накладывающим ограничения на компоненты тензора напряжений в граничных точках соответствующих тел: или Компоненты тензора напряжений на поверхности S4 преграды также не могут быть произвольными, а взаимосвязаны с ориентацией ее элементарных площадок как.

Граничные условия на границе раздела (поверхность S5) взаимодействующих деформируемых сред являются наиболее сложными и относятся к условиям смешанного типа, включающим, в свою очередь, кинематическую и динамическую части (см. рис. 3). Кинематическая часть смешанных граничных условий накладывает ограничения на скорости движения индивидуальных точек обеих сред, находящихся в контакте в каждой пространственной точке поверхности S5. Возможны два варианта задания этих ограничений, проиллюстрированные на рис. 4, а и б. По наиболее простому первому варианту предполагается, что скорости движения любых двух находящихся в контакте индивидуальных точек одинаковы (? = ?) -- это так называемое условие "прилипания", или условие "сварки" (см. рис. 4, а). Более сложным и в то же время более адекватным для рассматриваемого процесса является задание условия "непроницаемости", или условия "непротекания" (? · n= ? · n; см. рис. 4, б), которое соответствует экспериментально подтверждающемуся факту: взаимодействующие деформируемые среды не могут проникать

Рисунок 4

друг в друга или отставать друг от друга, а могут проскальзывать одна относительно другой со скоростью? - ?, направленной по касательной к границе раздела ((?I - ?II) · n = 0). Динамическая часть смешанных граничных условий на границе раздела двух сред формулируется на основе третьего закона Ньютона с использованием соотношений теории напряжений (рис. 4, в). Так, в каждой из двух находящихся в контакте индивидуальных частиц деформируемых сред I и II реализуется свое напряженное состояние, характеризуемое тензорами напряжений (?)I и (?) II.При этом в среде I на каждой элементарной площадке границы раздела с единичным вектором нормали nII, внешней по отношению к данной среде, действует вектор полного напряжения?nI = (?)·nI. В среде II на той же площадке, но с единичным вектором нормали nII , внешней по отношению к этой среде, действует вектор полного напряжения?nII =(?)II · пII. С учетом взаимности действия и противодействия?nI = - ? n II , а также очевидного условия nI = --nII = n устанавливается взаимосвязь между тензорами напряжений в обеих взаимодействующих средах на границе их раздела: (?)I · п = (?) II ·п или же (?ijI - ?ijII) nj = 0.Возможные варианты задания граничных условий не исчерпываются рассмотренным частным примером. Вариантов задания начальных и граничных условий столь же много, сколь много существует в природе и технике процессов взаимодействия деформируемых тел или сред. Они определяются особенностями решаемой практической задачи и задаются в соответствии с приведенными выше общими принципами.

Определяет температуру на поверхности тела в любой момент времени, то есть

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

Рис. 2.4 – Изотермическое граничное условие.

Как бы не изменялась температура внутри тела, температура точек на поверхности подчиняется уравнению (2.15).

Кривая распределения температуры в теле (рис. 2.4) на границе тела имеет заданную ординату T s , которая может изменяться во времени. Частным случаем граничного условия первого рода является изотермическое граничное условие, при котором температура поверхности тела остается в течение всего процесса теплопередачи постоянной:

T s = const.

Рис. 2.5 – Условие первого рода

Чтобы представить себе такое состояние тела необходимо предположить, что симметрично источнику тепла, действующему в теле, действует другой, фиктивный источник тепла вне его с отрицательным знаком (так называемый сток тепла). Причем свойства этого стока теплоты в точности совпадают со свойствами действительного источника тепла, а распределение температур описывается одинаковым математическим выражением. Суммарное действие этих источников приведет к тому, что на поверхности тела установится постоянная температура, в частном случае Т = 0 8С , в то время как в пределах тела температура точек непрерывно меняется.

Граничное условие второго рода

Определяет плотность теплового потока в любой точке поверхности тела в любой момент времени, т.е.

По закону Фурье плотность теплового потока прямо пропорциональна градиенту температуры. Поэтому температурное поле на границе имеет заданный градиент (рис. б), в частном случае постоянные, когда

Частным случаем граничного условия второго рода является адиабатическое граничное условие, когда тепловой поток через поверхность тела равен нулю (рис. 2.6), т.е.

Рис. 2.6 - Граничное условие второго рода

В технических расчетах часто встречаются случаи, когда тепловой поток с поверхности тела мал по сравнению с потоками внутри тела. Тогда можно принять эту границу как адиабатическую. При сварке такой случай может быть представлен следующей схемой (Рис. 2.7).

Рис. 2.7 – Условие второго рода

В точке О действует источник тепла. Чтобы выполнить условие – граница не пропускает тепло, необходимо симметрично этому источнику поместить такой же источник вне тела, в точке О 1 , причем тепловой поток от него направлен против потока основного источника. Они взаимно уничтожаются, то есть граница тепла не пропускает. Однако температура края тела окажется вдвое больше, если бы это тело было бесконечным. Этот прием компенсации теплового потока носит название метода отражения, так как в этом случае теплонепроницаемая граница, может рассматриваться как граница, отражающая тепловой поток, идущий со стороны металла.

Граничное условие третьего рода.

Определяет температуру окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Наиболее простую форму граничного условия третьего рода получим, если теплообмен на границе зададим уравнение Ньютона, которое выражает, что плотность теплового потока теплоотдачи через граничную поверхность прямо пропорциональную разности температур граничной поверхности и окружающей среды

Плотность теплового потока, подтекающая к граничной поверхности со стороны тела, по закону Фурье прямо пропорционально градиенту температуры на граничной поверхности:

Приравнивая поток теплоты, поступающей со стороны тела, к потоку теплоотдачи, получаем граничное условие 3-го рода:

,

выражающее, что градиент температуры на граничной поверхности прямо пропорционален перепаду температуры между поверхностью тела и окружающей средой. Это условие требует, чтобы касательная к кривой распределения температуры в граничной точке переходит через направляющую точку О с температурой , находящуюся вне тела на расстоянии от граничной поверхности (рис. 2.8).

Рисунок 2.8 – Граничное условие 3 рода

Из граничного условия 3-го рода можно получить как частный случай изотермическое граничное условие. Если , что имеет место при очень большом коэффициенте теплоотдачи или очень малом коэффициенте теплопроводности , то:

и , т.е. температура поверхности тела постоянна в течение всего процесса теплообмена и равна температуре окружающей среды.

), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (т. н. задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определённых классов начальных и краевых задач.

Терминология

Иногда к граничным относят и начальные условия в нестационарных задачах, таких как решение гиперболических или параболических уравнений .

Для стационарных задач существует разделение граничных условий на главные и естественные .

Главные условия обычно имеют вид u (∂ Ω) = g {\displaystyle u(\partial \Omega)=g} , где ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } - граница области Ω {\displaystyle \Omega } .

Естественные условия содержат также и производную решения по нормали к границе.

Пример

Уравнение d 2 y d t 2 = − g {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g} описывает движение тела в поле земного тяготения . Ему удовлетворяет любая квадратичная функция вида y (t) = − g t 2 / 2 + a t + b , {\displaystyle y(t)=-gt^{2}/2+at+b,} где a , b {\displaystyle a,b} - произвольные числа. Для выделения конкретного закона движения необходимо указать начальную координату тела и его скорость, то есть начальные условия .

Корректность постановки граничных условий

Задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:

1. Решение должно существовать в каком-либо классе функций;
2. Решение должно быть единственным в каком-либо классе функций;
3. Решение должно непрерывно зависеть от данных (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т. д.).

Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближённо, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешности измерений. Математически это требование можно записать, например, так (для независимости от свободного члена):

Пусть задано два дифференциальных уравнения: L u = F 1 , L u = F 2 {\displaystyle Lu=F_{1},~Lu=F_{2}} с одинаковыми дифференциальными операторами и одинаковыми граничными условиями, тогда их решения будут непрерывно зависеть от свободного члена, если:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0: (‖ F 1 − F 2 ‖ < δ) ⇒ (‖ u 1 − u 2 ‖ < ε) {\displaystyle \forall \varepsilon >0~\exists \delta >0:~\left(\|F_{1}-F_{2}\|<\delta \right)\Rightarrow \left(\|u_{1}-u_{2}\|<\varepsilon \right)} , где u 1 {\displaystyle u_{1}} , u 2 {\displaystyle u_{2}} - решения соответствующих уравнений.

Множество функций, для которых выполняются перечисленные требования, называется классом корректности . Некорректную постановку граничных условий хорошо иллюстрирует