Статья «Логика-predikatov.ru/logik/»

3.1. Понятие предиката

«Предикат » с английского переводится как сказуемое. Формально предикатом называется функция, аргументами которой могут быть произвольные объекты из некоторого множества, а значения функции «истина» или «ложь». Предикат можно рассматривать как расширение понятия высказывания.

Средства, предоставляемые логикой высказываний, оказываются недостаточными для анализа многих математи­ческих рассуждений. В алгебре логики не рассматриваются ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

3.2. Логика предикатов

Логика предикатов , как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании, а предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Логи­ка предикатов – это расширение логики высказываний за счет использова­ния предикатов в роли логических функций.

Например, в высказывании «7 – простое число», «7» – субъект, «простое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х – простое число» . При одних значениях х (например, х = 13, х = 17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10, х = 18) эта форма дает ложные высказывания.

Определение 1. Одноместным предикатом Р (х ) называется всякая функция одного переменного, в которой аргумент x пробегает значения из некоторого мно­жества M , а функция при этом принимает одно из двух значений: истина или ложь.

Множество M , на котором задан предикат, называется областью определения предиката .

Множество , на котором предикат принимает только истинные значения , называется областью истинности предиката Р (х ).

Например, предикат P(x) - « x- простое число» определен на множестве натуральных чисел , а множество I P – это множество всех простых чисел.

Определение 2. Предикат Р (х ), определённый на множестве M , называется тождественно истинным (тождественно ложным ), если

Определение 3. Двухместным предикатом P (x, у ) называется функция двух переменных х и у , определённая на множестве М =М 1 ×М 2 и принимающая значения из множества {1,0}.

В качестве примеров двухместных предикатов можно назвать предикаты: Q (x, у ) – «х = у » предикат равенства, определённый на множестве R 2 =R ×R ; F (x, у ) – «х || у » прямая х параллельна прямой у , определённый на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.

Говорят, что предикат Р (х ) является следствием предиката Q (х ) , если ; и предикаты Р (х ) и Q (х ) равносильны , если .

Пример 1. Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истин­ности:

1. х + 5 = 1
2. при х = 2 выполняется равенство х 2 – 1 = 0
3. х 2 – 2х + 1 = 0
4. существует такое число х , что х 3 – 2х + 1 = 0
5. х + 2 < Зх – 4
6. однозначное неотрицательное число х кратно 3
7. (х + 2) – (3х – 4)

Решение . 1) Предложение является одноместным предикатом Р (х ), I P = {– 4};
2) предложение не является предикатом. Это ложное высказывание;
3) предложение является одноместным предикатом Р (х ), I P = {1};
4) предложение не является предикатом. Это истинное высказывание;
5) предложение является одноместным предикатом Р (х ), I P = (3; +∞);
6) предложение является одноместным предикатом Р (х ), I P = {0; 3; 6; 9};
7) предложение не является предикатом;

Пример 2. Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката .

Решение . Неравенство, составляющее исходный предикат, ограничивает часть плоскости, заключенную между ветвями параболы , она изображена серой частью рисунка:

3.3. Логические операции над предикатами

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения и и л (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Рассмотрим применение операций логики высказыва­ний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р (х ) и Q (х ).

Определение 4. Конъюнкцией двух предикатов Р (х ) и Q (х ) называется новый предикат Р (х )&Q (х ), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов Р (х ) и Q (х ) принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Очевидно, что областью истинности предиката Р (х )&Q (х ) является общая часть областей истинности предикатов Р (х ) и Q (х ), т.е. пересечение .

Так, например, для предикатов Р (х ): «х – четное число» и Q (х ): « х кратно 3» конъюнкцией Р (х )&Q (х ) является предикат «х – четное число и х кратно 3», то есть предикат «х делится на 6».

Определение 5. Дизъюнкцией д вух предикатов Р (х ) и Q (х ) называется новый предикат , который принимает значение «ложь» при тех и только тех значе­ниях , при которых каждый из предикатов при­нимает значение «ложь» и принимает значение «исти­на» во всех остальных случаях. Ясно, что областью истинности предиката является объединение областей истинности предикатов Р (х ) и Q (х ), то есть объединение .

Определение 6. Отрицанием предиката Р (х ) назы­вается новый предикат , который принимает значе­ние «истина» при всех значениях , при которых предикат Р (х ) принимает значение «ложь», и принима­ет значение «ложь» при тех значениях , при кото­рых предикат Р (х ) принимает значение «истина». Очевидно, что, .

Определение 7. Импликацией предикатов Р (х ) и Q (х ) называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно Р (х ) принимает значение «истина», а Q (х ) – значение «ложь» и принимает значе­ние «истина» во всех остальных случаях.

Ясно, что при выполнении логических операций над предикатами к ним применимы и равносильности алгеб­ры логики. Для детального изучения темы необходим курс «Дискретной математики».

Неформально предикат можно определить как некоторое высказывание, значение которого зависит от значений предметных переменных из множества M , на котором определен предикат.

a) P(x) : “x есть простое число”;

(Здесь и всюду в дальнейшем для задания предиката будем использовать краткую форму записи, которая подробно расписывается следующим образом: “x есть простое число”.)

b) D(x,y) : “x нацело делится на y ”;

c) R(x,y) : “x > y ”.

В качестве предметного множества для этих примеров можно рассматривать любые числовые множества, в частности, в примерах a), b) – M = Í , а в c) – M = Ñ .

Более строго предикат можно определить как отображение n -ной степени множества M , называемой местностью или арностью предиката в двухэлементное множество B = {1, 0}

При подстановке в предикат вместо предметных переменных набора значений получим логическое высказывание (так , а ). Таким образом, предикат представляет собой переменное высказывание (или систему высказываний), истинность которого определяется подстановкой различных значений предметных переменных.

Так как предикаты принимают значения из множества B , то для них определены логические операции ~. Кроме того, для предикатов вводятся операции утверждения всеобщности и утверждения существования.

Операция утверждение всеобщности ставит в соответствие высказывательной форме P(x) высказывание (читается как, P(x) истинно для всех x из множества M , на котором определен предикат). Высказывание истинно тогда и только тогда, когда высказывание P(a) истинно для любого элемента .

Операция утверждение существования ставит в соответствие высказывательной форме P(x) высказывание (читается как, существует такой x из множества M , для которого высказывание P(x) истинно). Высказывание истинно тогда и только тогда, когда высказывание P(a) истинно хотя бы для одного элемента .

Знаки " и $ называются кванторами всеобщности и существование (квантор в переводе с латинского – определение количества). Переход от высказывательной формы P(x) к высказываниям или называется навешиванием квантора или связыванием переменной x (иногда – квантификацией переменной x ). Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная переменная называется свободной. Смысл связанных и свободных переменных в предикатных выражениях различен. Свободная переменная – это обычная переменная, которая может принимать различные значения из M , а выражение P(x) – переменное высказывание, зависящее от значения x . Выражения и не зависят от переменной x и при фиксированных P и M имеют вполне определенное значение. Переменные, являющиеся по существу связанными, встречаются не только в математической логике. Например, в выражениях или переменная x связана, при фиксированной f первое выражение равно определенному числу, а второе является функцией от a и b .

Таким образом, в высказываниях и говорится не о свойствах отдельных элементов множества M , а о свойствах самого множества M . Истинность или ложность этих высказываний не зависит от того, как обозначена предметная переменная, входящая в них, и ее можно заменить любой другой предметной переменной, например y , и получить высказывания и , имеющие тот же самый смысл и те же самые значения истинности, что и исходные высказывания.

В общем случае для n -арного предиката, если , операции утверждения всеобщности или существования можно выполнять k раз (порядок выбора переменных, по которым происходит навешивание квантора, может быть любым, исключая их повторение) и получить выражение

где обозначает квантор всеобщности или существования. Переменные в высказывательной форме (1) являются связанными, а – свободными.

В алгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности. Ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения. существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

Например, в рассуждении «Всякий ромб – параллелограмм; AВCD – ромб; следовательно, AВCD – параллелограмм» посылки и заключение являются элементарными высказываниями логики высказываний и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.

В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать и структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.

Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части.

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании; предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Например, в высказывании «7 – простое число», «7» – субъект, «простое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом»

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х – простое число». При одних значениях х (например. х = 13, х = 17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10, х = 18) эта форма дает ложные высказывания.

Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной х, определенной на множестве N, и принимающую значения из множества {1,0}. Здесь предикат становится функцией субъекта и выpaжает свойство субъекта.

Определение. Одноместным предикатом Р(х) нaзывается произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1,0}.

Множество М, на котором определен предикат Р(х), называется областью определения предиката.

Множество всех элементов, при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х) , то есть множество истинности предиката Р(х) – это множество.

Так. предикат Р(х) – «х – простое число» определен на множестве N, а множество для нeгo есть множество всех простых чисел. Предикат Q(x) – «» определен на множествеR, а eгo множество истинности. Предикат F(x) «Диагoнали параллелогpамма х перпендикулярны» определен на множестве всех параллелограммов, а eгo множеством истинности является множество всех ромбов.

Приведенные при меры одноместных предикатов выражают свойства предметов.

Определение. Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если .

Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью котopoгo выражаются отношения между предметами.

Примером бинарного отношения (отношения между двумя предметами) является отношение «меньше». Пусть это отношение введено на множестве Z целых чисел. Оно может быть охарактеризовано высказывательной формой «x<у », где, то есть является функцией двух переменных Р(х,у), определенной на множествес множеством значений {1,0}.

Определение. Двухместным предикатом Р(х, у) называется функция двух переменных х и y, определенная на множествеИ принимающая значения из множества {1,0}.

Аналогично определяется n-местный предикат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. ДИЗЪЮНКЦИЕЙ предикатов, заданных на множестве Х, называется предикат А(х) В(х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из множества Х (х Х), при которых хотя бы один из предикатов А(х) и В(х) обращается в истинное высказывание.

Width:="" auto="">

Можно заметить, что множеством истинности дизъюнкции предикатов является объединение множеств ТА и Т В, т. е. Т А В =ТА ТВ. Докажем это предположение.

1). Сначала докажем, что множество Т А В является подмножеством множества ТА ТВ (Т А В ТА ТВ). Пусть x = a – произвольный элемент из множества ТА В, т. е. а ТА В. Следовательно, А(а) В(а) – «и» высказывания. По определению, А(а) В(а) – «и» только тогда, когда А(а) – «и» или В(а) – «и. »

Если А(а) – и, то а ТА, если В(а) - и, то а ТВ. Т. к. А(а) В(а) – и, то а ТА или а ТВ –, это значит, что а ТА ТВ. а - произвольный элемент из ТА В, следовательно, все элементы множества ТА В принадлежат множеству ТА ТВ, т. е. ТА В ТА ТВ, ч. т. д.

2). Докажем, что множество ТА ТВ является подмножеством множества Т А В (ТА ТВ Т А В). Пусть х = в – произвольный элемент из ТА ТВ, в ТА ТВ, по определению, в ТА или в ТВ А(в) – «и» или В(в)- «и» А(в) В В(в)- «и» в ТА В.

Следовательно, если в ТА ТВ, то в ТА В. т. к. Т. К. в – произвольный элемент из ТА ТВ, то ТА ТВ Т А В, ч. т. д.

Из пунктов 1 и 2 по определению равных множеств следует справедливость равенства Т А В = ТА ТВ Заметим, что полученное правило справедливо и для предикатов, содержащих более одной переменной.

ПРИМЕР. Предикаты: А(х)- «х-делитель числа 15» и В(х) - «х –делитель числа 16» . Множество истинности А(х)- ТА ={1, 3, 5, 15 }, множество истинности В(х) -ТВ ={1, 2, 4, 8, 16}. Множество истинности дизъюнкции предикатов Т А В = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 15, 16}.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. ОТРИЦАНИЕМ предиката А(х), заданного на множестве Х, называется предикат А(х) (« не А(х) »), определенный на том же множестве и истинный при тех и только тех значениях переменной х из множества Х (х Х), при которых предикат А(х) обращается в ложное высказывание.

ПРИМЕР. Предикат А(х)- « х - четное число » . Отрицание предиката: А(х) «х - нечетное число» . Пусть область определения предиката А(х) - Х={х, х N, х

Множество истинности предиката А(х) - все нечетные числа, меньшие 10: ТА = {1, 3, 5, 7, 9}. Из примера видно, что ТА = Х ТА = ТА т. е. множество истинности предиката « не А(х) » является дополнением к множеству истинности предиката А(х). Х = ТА

КВАНТОР – общее название для логических операций, которые по предикату Р(х) строят высказывание, характеризующее область истинности предиката Р(х). В математической логике наиболее употребительны квантор всеобщности (х), квантор существования (х) и квантор единственности существования (! х).

Выражение «для всех х» («для любого х» , «для каждого х») называется квантором общности и обозначается х. Выражение «существует такое х» («для некоторых х» , «хотя бы для одного х» , «найдется такое х») называется квантором существования и обозначается х.

Высказывание, полученное из предиката Р(х) при помощи квантора общности, записывается в виде (х Х) Р(х) Высказывание, полученное из предиката Р(х) при помощи квантора существования, записывается в виде (х Х) Р(х) Высказывание «существует одно и только одно х X, для которого истинно Р(х) обозначают (!х X) Р(х)

Для того чтобы получить высказывание из многоместного предиката надо связать кванторами каждую переменную. Например, если Р (х, у) – двухместный предикат, то (х Х)(у Y) Р(х, у) – высказывание. ПРИМЕР. Задан предикат Р(х, у): «х>у» . Для получения высказывания надо связать кванторами обе переменные: например, (Х)(у) х>у или (у)(х) х>у.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСТИННОСТИ ВЫСКАЗЫВАНИЯ С КВАНТОРАМИ ИСТИННОСТЬ высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности таких высказываний (опровергнуть их) достаточно привести контрпример. .

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Для опровержения такого высказывания необходимо провести доказательство. Для чего нужны кванторы?

ВЫВОД. ПРЕДИКАТ обращается в ВЫСКАЗЫВАНИЕ двумя способами: 1). По определению, подставив вместо переменных их конкретные значения из области определения предиката; 2). Связать кванторами переменные, содержащиеся в предикате. Если предикат содержит несколько переменных, необходимо связать квантором каждую переменную.

ПРИМЕР. Пусть дано высказывание А: « Любые четные числа кратны 3» . Высказывание А: « Не любые четные числа кратны 3» или высказывание А: «Неверно, что любые четные числа кратны 3» , другими словами это можно сказать так: «существуют (есть) четные числа не кратные 3» . 8, 10, …

Для построения отрицания высказываний с кванторами надо: 1) квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования на квантор общности; 2) предложение, стоящее после квантора, заменить его отрицанием. (х Х) А(х) = (х Х) А (х) (х Х) А(х) = (х Х)А (х). Таким образом, получаем две равносильности. Или перед данным высказыванием ставят слова: «неверно, что» .

Это правило сохраняется и в том случае, если высказывание содержит не один, а несколько кванторов, например: (х Х)(х Y) А(х, y) = (х Х) (х Y) А (х, y) Для построения отрицания полезны следующие формулы: А(х) В(х) = А(х) В(х) , А(х) В(х)=А(х) В(х)

Рассмотрим два предиката А (х) и В (х). Пусть А (х) – «х: 6» ; В (х) – «х: 3» . Образуем импликацию предикатов «Если х: 6, то х: 3» . Множества истинности предикатов А(х) – ТА= {6, 12, 18, …}; В(х) – ТВ = {3, 6, 9, 12, 15, 18, … }. Из того, что «х: 6» всегда следует, что «х: 3» .

В этом случае говорят, что предикат В(х) логически следует из предиката А(х), а предикаты А(х) и В(х) находятся в отношении логического следования.

В этом случае множество истинности импликации таких предикатов совпадает с ее областью определения Т А В = Х. Отношение логического следования обозначается всегда А(х) => В (х).

Предикат А(х) называют достаточным условием для В(х), а предикат В(х) называют необходимым условием для предиката А(х). Это возможно тогда и только тогда, когда ТА ТВ. .

Src="https://present5.com/presentation/3/-42558499_158059721.pdf-img/-42558499_158059721.pdf-32.jpg" alt="Пример. Предложение «х: 6» => «х: 3» в этом случае читают так: чтобы «х:"> Пример. Предложение «х: 6» => «х: 3» в этом случае читают так: чтобы «х: 3» – достаточно, чтобы «х: 6» , а чтобы «х: 6» необходимо, чтобы «х: 3» .

Src="https://present5.com/presentation/3/-42558499_158059721.pdf-img/-42558499_158059721.pdf-33.jpg" alt="Логическое следование: достат. необход. А(х) => B(x), TА ТВ "> Логическое следование: достат. необход. А(х) => B(x), TА ТВ

Src="https://present5.com/presentation/3/-42558499_158059721.pdf-img/-42558499_158059721.pdf-34.jpg" alt="Пример: Предложение «х: 4» => «х: 2» в этом случае читают так: чтобы «х:"> Пример: Предложение «х: 4» => «х: 2» в этом случае читают так: чтобы «х: 2» – достаточно, чтобы «х: 4» , а для того чтобы «х: 4» необходимо, чтобы «х: 2» .

Если из А(х) следует В(х) и из В(х) следует А(х), то предикаты А(х) и В(х) называют равносильными или эквивалентными и записывают А(х) В(х). Это возможно тогда и только тогда, когда ТА= ТВ.

В этом случае А(х) является необходимым и достаточным условием для В(х), а В(х) – необходимым и достаточным условием для А(х). При этом А(х) => В(х) и В(х) =>А (х). ПРИМЕР. А(х)- «число х делится на 9» , В(х)- «сумма цифр числа х делится на 9» . А(х) В(х)

Теорема –это предложение (утверждение), истинность которого может быть доказана. Теоремы часто формулируются в виде импликаций: если А(х), то В(х) для каждого х, т. е. (х х)А(х) => В(х).

Src="https://present5.com/presentation/3/-42558499_158059721.pdf-img/-42558499_158059721.pdf-39.jpg" alt="(х х)А(х) => В(х). Чаще всего ее записывают так А => В (1)"> (х х)А(х) => В(х). Чаще всего ее записывают так А => В (1) Для всякой теоремы (1) можно сформулировать предложение: «Если В, то А» - обратное данному. Но не всегда это предложение является теоремой.

Пример. «Если углы вертикальные, то они равные» . Обратное предложение: « Если углы равны, то они вертикальные» . или «Если четырехугольник – прямоугольник, то в нем диагонали равны» . Обратное: не верно. Какой пример?

Но если обратное предложение – истинно, то оно наз. обратной теоремой. Например: Т 1: « Если треугольник прямоуг. , то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» Обратное: « Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то треуг. – прямоуг. » Это -истина, поэтому оно наз. Теоремой, обратной данной.

Если в теореме Для всякой теоремы « Если А, то В» можно сформулировать предложение: « Если не А, то не В» . (если А, то В) Это предложение наз. Противоположным данному. Всегда ли оно будет теоремой? Пример. В том случае, если предложение является теоремой, то его наз. теоремой, противоположной данной. Если

Итак, если для теоремы «Если А, то В» сформулировать предложение, обратное или противоположное ей, то их надо доказывать и только тогда они будут наз. теоремой, обратной или противоположной данной. , если их истинность будет доказана

Для всякой теоремы « Если А, то В» можно сформулировать предложение « Если не В, то не А» «Если В, то А» - обратным противоположному. «Если углы -вертикальные, то они равны» и « если углы не равны, то они и не вертикальные» . Эти предложения всегда истинны, т. е всегда теорема. (А В В А). Эту равносильность наз. законом контрапозиции

Примеры: 1. Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпедикулярны. 2. Если каждое слагаемое - четное число, то и сумма - четная.

Это предложение наз. Противоположным данному. Всегда ли оно будет теоремой? Пример. В том случае, если предложение является теоремой, то его наз. теоремой, противоположной данной. Итак, если для теоремы «Если А, то В» сформулировать предложение, обратное или противоположное ей, то их надо доказывать и только тогда они будут наз. теоремой, обратной или противоположной данной.

Операции над предикатами. Описание математических понятий с помощью логики предикатов.

§3. Логические операции над предикатами.

Предикаты так же, как высказывания, могут принимать два значения: “истина” (1) и “ложь” (0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний, в результате чего из элементарных предикатов формируются сложные предикаты (как и в логике высказываний, где из элементарных высказываний формировались сложные, составные). Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов. Эти операции в логике предикатов сохраняют тот же смысл, который был им присвоен в логике высказываний.

Пусть на некотором множестве определены два предиката и .

Определение 7. Конъюнкцией двух предикатов https://pandia.ru/text/80/323/images/image003_26.gif" width="36" height="21 src=">называется новый (сложный) предикат , который принимает значение “истина” при тех и только тех значениях https://pandia.ru/text/80/323/images/image004_23.gif" width="83" height="21 src="> является общая часть области истинности предикатов и , т. е. пересечение .

Пример 8. Для предикатов https://pandia.ru/text/80/323/images/image007_16.gif" width="13" height="15 src="> – четное число” и : “ кратно 3” конъюнкцией является предикат “ – четное число и кратно трем”, т. е. предикат “ делится на 6”.

Определение 8. Дизъюнкцией двух предикатов https://pandia.ru/text/80/323/images/image003_26.gif" width="36" height="21 src="> называется новый предикат , который принимает значение “ложь” при тех и только тех значениях DIV_ADBLOCK29">

Ясно, что областью истинности предиката https://pandia.ru/text/80/323/images/image009_18.gif" width="55" height="25 src=">.

Определение 9. Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат или, который принимает значение “истина” при всех значениях https://pandia.ru/text/80/323/images/image002_38.gif" width="35" height="21"> принимает значение “ложь”, и принимает значение “ложь” при тех значениях , при которых предикат принимает значение “истина”.

Очевидно, что , т. е..gif" width="35" height="21 src=">.gif" width="88" height="21">.gif" width="35" height="21"> принимает значение “истина”, а – значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Поскольку при каждом фиксированном справедлива равносильность , то .

Определение 11. Эквиваленцией предикатов https://pandia.ru/text/80/323/images/image003_26.gif" width="36" height="21 src=">называется новый предикат , который обращается в “истину” при всех тех и только тех https://pandia.ru/text/80/323/images/image002_38.gif" width="35 height=21" height="21"> и обращаются оба в истинные или оба в ложные высказывания.

Для его множества истинности имеем:

§4. П РИМЕНЕНИЕ ЯЗЫКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ ДЛЯ ЗАПИСИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ПОСТРОЕНИЯ ОТРИЦАНИЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ.

1. Запись математических предложений и определений в виде формул логики предикатов.

Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений и определений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать определения, теоремы, доказательства. Приведем несколько примеров таких записей.

Пример 1. Определение предела числовой последовательности.

https://pandia.ru/text/80/323/images/image019_9.gif" width="211" height="21 src=">, запишем:

https://pandia.ru/text/80/323/images/image021_9.gif" width="13" height="19">” функции ƒ(х), определенной в области E, в точке x0:

https://pandia.ru/text/80/323/images/image023_7.gif" width="285" height="27">.

Пример 3. Определение непрерывности функции в точке.

Функция https://pandia.ru/text/80/323/images/image025_6.gif" width="48 height=24" height="24">, если , где .

Пример 4. Определение возрастающей функции.

Функция , определенная на множестве E, возрастает на этом множестве, если

https://pandia.ru/text/80/323/images/image029_5.gif" width="72" height="23 src=">.gif" width="16" height="21">. Логика предикатов позволяет путем равносильных преобразований формулы придать ей хорошо обозримый вид.

Определение неограниченной функции мы получим, беря отрицание этой формулы и проводя равносильные преобразования:

Последняя формула дает не негативное, а положительное определение неограниченной функции.

Из приведенного определения видно, что для построения противоположного утверждения к утверждению, заданному формулой логики предикатов, содержащей все кванторы впереди, необходимо заменить все кванторы на противоположные и взять отрицание от предиката, стоящего под знаком кванторов.

Как известно, многие теоремы математики допускают формулировку в виде условных предложений. Например, рассмотрим следующую теорему: «Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла» . Условием этой теоремы является предложение «Точка лежит на биссектрисе угла» , а заключением – предложение «Точка равноудалена от сторон угла» . Видим, что и условие, и заключение теоремы представляют собой предикаты, заданные на множестве R2. Обозначая эти предикаты соответственно через Р(х) и Q (x ), где х ÎR2, теорему можем записать в виде формулы:

В связи с этим, говоря о строении теоремы, можно выделить в ней три части:

1) условие теоремы: предикат Р(х), заданный на множестве R2;

2) заключение теоремы: предикат Q (x ), заданный на множестве R2;

3) разъяснительная часть: в ней описывается множество объектов, о которых идет речь в теореме.

Особый интерес представляет построение утверждения, отрицающего справедливость некоторой теоремы: https://pandia.ru/text/80/323/images/image035_5.gif" width="411 height=32" height="32">.

Следовательно, чтобы доказать, что теорема https://pandia.ru/text/80/323/images/image036_4.gif" width="37" height="17">, для которого - истина, a - ложь, то есть привести контрпример.

Используя данный прием докажем несправедливость утверждений:

1) «Если дифференцируемая функция имеет в точке х0 производную, равную нулю https://pandia.ru/text/80/323/images/image041_3.gif" width="41" height="24"> в точке х=0 имеет производную 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Определение 1: Пара теорем, у которых условие одной является заключением второй, а условие второй является заключением первой, называются взаимно обратными друг другу.

Так, теоремы (1)и (2), а также (3) и (4)- взаимно обратные теоремы. При этом, если одну из них называют прямой теоремой, то вторая называется обратной.

Определение 2: Пара теорем, у которых условие и заключение одной являются отрицанием соответственно условия и заключения другой, называются взаимно противоположными .

Так, теоремы (1) и (3), а также (2) и (4) являются взаимно противоположными теоремами.

Например, для теоремы

“Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником ” (1) обратной является теорема

“Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны” (2).

Для теоремы (1) противоположной является теорема

“Если в четырехугольнике диагонали не равны, то четырехугольник не является прямоугольником” (3),

а для теоремы (2) противоположной является теорема

“Если четырехугольник не является прямоугольником, то его диагонали не равны ” (4).

В рассмотренном примере теоремы (1) и (4) являются одновременно ложными, а теоремы (2) и (3) одновременно истинными. Контрпримером к теореме (1) является равнобочная трапеция.

Ясно, что прямая и обратная теоремы, вообще говоря, не равносильны, т. е. одна из них может быть истинной, а другая – ложной. Однако легко показать, что теоремы (1) и (4), а также (2) и (3) всегда равносильны.

Действительно:

Из этих равносильностей следует, что, если доказана теорема (1), то доказана и теорема (4), а если доказана теорема (2), то доказана и теорема (3).

4. Необходимые и достаточные условия.

Рассмотрим теорему

(1)

Как отмечалось, множество истинности предиката есть множество ..gif" width="55" height="25"> (см. рисунок).

Итак, предикат https://pandia.ru/text/80/323/images/image052_4.gif" width="40" height="19"> том и в только в том случае, когда множество истинности предиката Р(х) содержится в множестве истинности предиката Q(x). При этом говорят, что предикат Q(x) логически следует из предиката Р(х), и предикат Q(x) называют необходимым условием для предиката Р(х), а предикат Р(х) – достаточным условием для Q(x).

Так, в теореме “Если х – число натуральное, то оно целое ” предикат Q(x): “ х – число целое ” логически следует из предиката Р(х): “х – число натуральное” , а предикат “х - число натуральное” является достаточным условием для предиката “ х – целое число”.

Часто встречается ситуация, при которой истинны взаимно обратные теоремы

Это, очевидно, возможно при условии, что .

В таком случае из теоремы (1) следует, что условия Р(х)являются достаточными для Q(x), а из теоремы (2) следует, что условие Р(х)является необходимым для Q(x).

Таким образом, если истинны теоремы (1) и (2), то условие Р(х) является и необходимым, и достаточным для Q(x). Аналогично в этом случае условие Q(х) является необходимым и достаточным для Р(x).

Иногда вместо логической связки “необходимо и достаточно ” употребляют логическую связку “тогда и только тогда”.

Так как здесь истинны высказывания (1) и (2), то истинно высказывание

Примеры:

1) Теорема «Если число l делится на 12, то оно делится на 3» истинна. Поэтому здесь делимость числа l на 12 является достаточным условием для делимости числа l на 3, а делимость числа l на 3 является необходимым условием для делимости числа l на 12. В то же время обратная теорема «Если число l делится на 3, то оно делится на 12» не верна. Поэтому делимость числа l на 3 не является достаточным условием делимости числа l на 12, а делимость числа l на 12 не является необходимым условием делимости числа l на 3..

Неравенство перепишем в виде , его решением являются .

а) – достаточное условие для выполнения неравенства, т. к. 0Î[-2, 4].

б) [-1, 3]Ì [-2, 4]. Значит – достаточное условие.

в) [-3, +¥)É[-2, 4], следовательно, является необходимым условием.

г) (-2, +¥)Ë[-2, 4] и [-2, 4]Ë(2, +¥), значит, не является ни необходимым, ни достаточным условием.

д) [-1, 10] Ë[-2, 4] и [-2, 4]Ë [-1, 10], значит, не является ни необходимым, ни достаточным условием.

е) [-2, 4]=[-2, 4] , следовательно, является и необходимым и достаточным условием.

5. Доказательство теорем методом от противного.

Доказательство теорем методом от противного обычно проводится по следующей схеме: предполагается, что теорема

не верна, т. е. , существует такой объект х, что условие Р(х) истинно, а заключение Q(x) – ложно. Если из этих предложений путем логических рассуждений приходят к противоречивому утверждению, то делают вывод о том, что исходное предположение неверно, и верна теорема (1).

Покажем, что такой подход дает доказательство истинности теоремы (1).

Действительно, предположение о том, что теорема (1) не справедлива, означает истинность ее отрицания, т. е. формулы . Можно показать, что противоречивое утверждение, которое получается из допущенного предположения, как мы видели из ранее рассмотренных примеров, может быть записано как конъюнкция https://pandia.ru/text/80/323/images/image039_3.gif" width="57" height="20 src="> имеет в точке х0 вторую производную, равную нулю, то точка х0 – точка перегиба графика функции».

б) «Если числовая последовательность ограничена, то она имеет предел».

в) «Если функция непрерывна в точке х0, то она имеет производную в этой точке».

д) Для того, чтобы множество было счетным…, чтобы его элементы можно было записать в виде занумерованной последовательности;

е) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел…, чтобы она была ограниченной.

5.Сформулируйте:

а) Необходимый, но недостаточный признак параллелограмма;

б) Необходимый и достаточный признак параллелограмма;

в) Достаточное, но не необходимое условие, чтобы уравнение sinx = a имело решение.

г) Необходимое, но не достаточное условие, чтобы уравнение sinx = a имело решение.