Как известно, в уравнениях ДС обычно присутствуют параметры – величины, которые считаются постоянными во времени, но от задания которых может зависеть характер реализующегося в системе режима. Можно представить себе, что система заключена в черный ящик, на котором имеется несколько ручек настройки. Предположим, что при одном положении ручек наблюдается регулярный режим динамики, например, периодические колебания, а при другом – хаос. Если мы плавно меняем настройку так, чтобы перейти от первой ситуации ко второй, то возникает вопрос: какой будет на пути к хаосу последовательность бифуркаций – событий, состоящих в качественном изменении характера наблюдаемого режима? Об этой последовательности бифуркаций принято говорить как о сценарии перехода к хаосу. При этом подразумевается, что имеется сравнительно немного сценариев, являющихся в определенном смысле слова типичными, так что проблема их классификации и изучения не является сложной.

Первый из сценариев развития хаоса был предложен Л.Д. Ландау в 1944 г. и независимо от него Э. Хопфом в связи с попытками объяснить возникновение турбулентного поведения жидкости при увеличении числа Рейнольдса, основного управляющего параметра в гидродинамических задачах. Согласно предложенному сценарию, получившему название сценария Ландау-Хопфа, первичное течение теряет устойчивость по отношению к колебательному возмущению на некоторой частоте, затем возникшее осциллирующее течение в свою очередь становится неустойчивым по отношению к возмущению на другой частоте и т.д. В результате большого числа бифуркаций, которые сопровождаются возникновением все новых и новых частот, находящихся в иррациональных отношениях, возникает сложный режим – турбулентность. Применительно к диссипативным ДС возникновение все новых и новых несоизмеримых частот приводит к многочастотному квазипериодическому режиму, соответствующему многомерному тору в фазовом пространстве ДС. Если число бифуркаций велико, то спектр процесса с учетом флуктуаций, всегда присутствующих в реальных системах, становится достаточно широкополосным, как и спектр хаотических колебаний. Однако многочастотные квазипериодические колебания, даже в присутствии шума, могут оставаться устойчивыми по Ляпунову. Перемешивание в такой системе будет связано только с шумом, а не с детерминированным оператором эволюции. Таким образом, сценарий Ландау-Хопфа не предполагает обязательного перехода к хаотический динамике и, строго говоря, не является сценарием развития хаоса.

Идея развития турбулентности через квазипериодические колебания в начале 1970-х г. была переработана с новых позиций Д. Рюэлем, Ф. Такенсом и С. Ньюхаусом. Согласно их утверждению, после рождения первых трех составляющих с несоизмеримыми частотами может возникать странный аттрактор, который характеризуется неустойчивостью принадлежащих ему фазовых траекторий. По Рюэлю и Такенсу, странный аттрактор и есть математический образ турбулентного движения. Ситуация, когда имеет место большее число бифуркаций, практически невероятна. Однако данное предположение оказалось справедливым, хотя и для другого сценария – перехода к хаосу через каскад (бесконечную последовательность) бифуркаций удвоения периода. Около 1976 г. американский физик Митчел Фейгенбаум обнаружил ряд замечательных закономерностей, сопровождающих этот тип перехода к хаосу. О нем говорят теперь как о сценарии Фейгенбаума. Он первым обнаружил присущие этому сценарию свойства универсальности и скейлинга (масштабного подобия) и разработал их теоретическое обоснование – метод ренормализационной группы (сокращенно ренормгруппы или РГ). Сущность концепции универсальности состоит в том, что имеется обширное множество нелинейных диссипативных систем различной природы (класс универсальности), которые не просто демонстрируют одну и ту же последовательность бифуркаций, но проявляют у порога возникновения хаоса одни и те же количественные закономерности скейлинга с присущими данному классу универсальности определенными значениями масштабных констант.

В 1980 г. появилось сообщение французских исследователей И. Помо и П. Манневилля, положившее начало изучению группы сценариев перехода к хаосу через перемежаемость. В гидродинамике давно известна так называемая перемежающаяся турбулентность, когда течение в определенных пространственных областях имеет плавный, ламинарный характер, но они чередуются с областями нерегулярного, турбулентного течения. Благодаря тому, что турбулентные области перемещаются, меняют форму, возникают и исчезают, перемежающийся характер носит также зависимость наблюдаемых величин от времени в фиксированной точке пространства. Помо и Манневилль указали несколько возможных ситуаций, когда в ДС может возникнуть перемежаемость, и наметили классификацию, введя в рассмотрение три типа перемежаемости.

Таким образом, существует три основных сценария перехода ДС к хаосу: 1)через каскад бифуркаций удвоения периода; 2)через перемежаемость; 3)через квазипериодические режимы. Обсудим, почему типичными оказываются именно перечисленные выше сценарии и в каком отношении друг другу они находятся. (40) (41) (40)

(45)

Если нелинейность в системе способствует стабилизации возмущения, то происходит бифуркация рождения тора, если (arg)/2 - иррациональное число, или периодической орбиты – резонансного цикла на торе, если оно рациональное. Области периодичности имеют вид языков, подходящих сверху к линии J = 1, а в промежутках между языками реализуются квазипериодические режимы. Бифуркация рождения тора из предельного цикла носит название бифуркации Неймарка-Сакера. Дальнейшая эволюция аттрактора при изменении управляющего параметра может быть разнообразной и сложной, но в общем можно сказать, что реализуется та ситуация, о которой говорят как о переходе к хаосу через квазипериодичность.

Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Универсальность Фейгенбаума. Каскад бифуркаций удвоения в логистическом отображении Логистическое отображение (также известное как квадратичное отображение, или отображение Фейгенбаума) является полиномиальным отображением, которое широко используется в качестве типичного примера того, как сложное, хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных уравнений. Данное отображение было введено еще в 1845 г. П.Ф. Ферхюльстом для описания динамики популяции в замкнутой среде. Относительная численность особей x n+1 в (n + 1)-й год пропорциональна численности особей в предыдущий год (x n принимает значения от 0 до 1 и отражает численность популяции в n-м году), а также свободной части жизненного пространства, которая пропорциональна (1 - x n), т.е. Положительный параметр характеризует скорость роста популяции. (2)

Другой отличительной особенностью, которая обусловила известность логистического отображения, явилось то, что это одномерное отображение послужило примером для демонстрации и изучения формирования хаотического аттрактора в результате бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода циклов. При каждой такой бифуркации период возрастает вдвое, что соответствует «уполовиниванию» частоты, т.е. появлению субгармоники в спектре колебаний. По этой причине такую последовательность бифуркаций называют также субгармоническим каскадом. Сценарий перехода к хаосу через каскад удвоения периода очень часто наблюдается в динамических системах с непрерывным временем и является одним из основных механизмов развития хаоса. На примере одной их самых простейших дискретных одномерных систем можно очень наглядно пронаблюдать и проанализировать данный каскад. А все его свойства и закономерности будут в точности проявляться и в более сложных дискретных и непрерывных системах. Теория перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода была развита на базе модельных одномерных отображений М. Фейгенбаумом, поэтому сам данный бифуркационный механизм получил название сценария Фейгенбаума.

Механизм последовательного увеличения периода циклов отображения (2) Как мы уже показывали, при 1

При 2 = … точки x* 1 и x* 2 цикла одновременно теряют устойчивость, когда их мультипликаторы (f (2) (x* 1) и f (2) (x* 2)) в свою очередь достигают значения -1. После бифуркации удвоения образуется цикл периода 4 отображения (2). Цикл периода 4 Цикл периода 8 Наблюдается последовательность бифуркаций удвоения и появление циклов периода 2 n.

При значении приблизительно равном 3.57, начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.

Бифуркационная диаграмма логистического отображения Чтобы увидеть весь процесс усложнения циклов отображения (2) по мере роста параметра, строится однопараметрическая бифуркационная диаграмма, по горизонтальной оси которой отложены значения, а по вертикальной – значения x n, принадлежащие установившемуся режиму (время n должно быть достаточно большим). Бифуркационным точкам, где происходит смена устойчивого режима, соответствуют точки ветвления диаграммы. Оценив их положение на диаграмме, можно определить тем самым области устойчивости циклов.

Большинство значений μ, превышающих 3.57, демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные «окна» значений μ, при которых система ведет себя регулярно. Обычно их называют «окнами периодичности». К примеру, начиная со значения 1+ 8 (приблизительно 3.83), существует набор значений параметров μ, при которых наблюдаются колебания между тремя значениями, а для больших значений μ - между 6, потом 12 и т.д. Фактически, в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений – периодов циклов. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского. При μ = 4, значения отображения покидают единичный интервал и расходятся при любых начальных условиях.

Кроме хаотических траекторий, логистическое отображение имеет в закритической области множество периодических траекторий с различными периодами. В работе А.Н. Шарковского устанавливается иерархия циклов гладкого необратимого отображения отрезка. Цикл периода M считается сложным, чем цикл периода N, если из существования M-цикла следует существование N-цикла. Говорят, что между периодами существует отношение M N. Согласно теореме Шарковского, это отношение упорядочивает циклы следующим образом (так называемый порядок Шарковского): Самым сложным в смысле Шарковского оказывается цикл периода 3. Из его существования следует существование циклов любого периода. Было также доказано, что из существования у отображения цикла периода 3 следует существование хаотических последовательностей. «Окна периодичности»

Расположение области устойчивости (окон периодичности) циклов различного периода в закритической области подчиняется следующей закономерности: 6, 5, 3, 6, 5, 6, 4, 6, 5, 6 … Наиболее широкое окно устойчивости соответствует циклу периода 3, который возникает в результате касательной бифуркации и с ростом параметра претерпевает последовательность бифуркаций удвоения периода с образованием хаоса. Аналогично возникают и эволюционируют в окнах устойчивости циклы с другими периодами. Вообще говоря, в закритической области в сколь угодно малой окрестности любого значения параметра существует окно устойчивости какого-либо цикла. Период цикла может быть столь велик, а окно устойчивости столь узко, что цикл невозможно наблюдать даже в численных экспериментах.

Если проанализировать последовательность бифуркационных значений параметра соответствующих бифуркациям удвоения, то можно увидеть, что они сходятся к некоторому пределу, который обозначим как. При = число периодических точек становится бесконечным, а за пределами этого (конечного) значения поведение итераций для большинства хаотично. Предположим, что значения k сходятся по закону геометрической прогрессии. Тогда мы можем оценить параметры сходимости, записав ее в следующем виде (49) где c и - постоянные, по величине больше 1: c, = const > 1. Так как напрямую рассчитать затруднительно, выразим для конечных k: (50) (51) (52) Вычтем (51) из (50) и (52) из (51): (53) (54) Поделим теперь (53) на (54) и получим следующее соотношение: 1. Так как напрямую рассчитать затруднительно, выразим для конечных k: (50) (51) (52) Вычтем (51) из (50) и (52) из (51): (53) (54) Поделим теперь (53) на (54) и получим следующее соотношение:">

(55) Данное соотношение позволяет оценить из результатов расчета k. Зная, можно получить оценку для c, а затем и для. Результаты расчетов дают Таким образом, при k скорость сходимости бифуркационых значений k стремится к некоторому конечному пределу, равному = …, которая называется универсальной константой Фейгенбаума. Как показали численные исследования, величина не зависит от конкретного вида отображения. Главное, чтобы оно было унимодальным (имело один экстремум) и чтобы экстремум был квадратичным.

Универсальные константы Фейгенбаума Скорость схождения бифуркационных значений параметра к критическому значению определяется универсальной константой Фейгенбаума. Значения переменной отображения x n также демонстрируют самоподобную структуру, и их эволюция также характеризуется универсальной константой, отражающей закономерность в процессе дробления масштабов амплитуд. Чтобы определить эту константу, введем в рассмотрение значение параметра k, соответствующее суперустойчивым циклам. Заметим, что каждый 2 k – цикл логистического отображения рождается при k, имея собственное значение, равное +1, и теряет устойчивость при k+1 по мере достижения собственным значением величины -1. Таким образом, при некотором k

Относительно уровня суперустойчивой точки x = 0.5 определим расстояния между подобными точками ветвей бифуркационной диаграммы, соответствующих бифуркациям удвоения. На рисунке они обозначены как d k. Можно заметить, что d k располагаются попеременно то выше, то ниже линии x = 0.5. Это соответствует знакопеременности d k с ростом k. Масштабный множитель в пределе сходится к некоторому значению, которое называется универсальным масштабным множителем а. (57) Процесс дробления масштабов с ростом параметра μ продолжается бесконечно (последовательность удвоений периода) и демонстрирует универсальные свойства, которые заключаются в следующем:

Каскад бифуркаций связанности За критической точкой (значение параметра 3.57, соответствующее возникновению хаотического поведения) в системах с фейгенбаумовским сценарием развития хаоса наблюдается каскад бифуркаций связанности. Бифуркация связанности представляет собой объединение частей (лент) хаотического аттрактора, посещаемых изображающей точкой в определенном порядке.

Обозначим значения параметра, соответствующие бифуркациям связанности как i c (индекс i =1,2,... возрастает с приближением к критической точке справа налево). Расположение на оси значений параметра интервалов существования периодических аттракторов 2 i (- период цикла отображения) до критической точки и 2 i – связанных хаотических множеств за критической точкой обладает симметрией относительно критической точки. Фрагменты многосвязанных хаотических множеств в соответствующих точках каждого отрезка обладают свойством подобия с масштабными множителями, стремящимися к универсальной константе a. Скорость накопления значений i c к критической точке равна универсальной константе Фейгенбаума.

Скейлинг Обнаруженный Фейгенбаумом закон сходимости есть не что иное, как частное проявление свойства скейлинга: если при некотором значении наблюдается бифуркация удвоения периода, то при отклонении от критической точки / оператор эволюции за удвоенный период времени должен быть подобен, т.е. тоже отвечать моменту бифуркации. Более общая формулировка состоит в том, что структура разбиения оси параметра на области различного типа динамики воспроизводит себя при уменьшении масштаба относительно критической точки в раз. Иными словами, в сходственных точках и + (-)/ реализуются подобные режимы динамики. Это означает, во-первых, совпадение характера режимов (периодический, хаотический), а во- вторых, возможность определения характеристик одного режима по характеристикам другого с помощью надлежащего пересчета. Этот пересчет сопровождается изменением масштаба времени, так что характерный период движений возрастает при приближении к критической точке, а в ней самой обращается в бесконечность. Пересчет масштаба по оси параметра производится в = 4, 669… раза -

Одним из проявлений скейлинга является характерная зависимость мультипликаторов от параметра для циклов периода 2 k вблизи критической точки. c В момент рождения каждого цикла его мультипликатор равен + 1. При увеличении параметра мультипликатор уменьшается, проходит через 0 и затем через - 1. В это момент цикл перестает быть устойчивым, и рождается цикл удвоенного периода также с мультипликатором + 1. Графики, отвечающие циклам периода 2 k и 2 k+1, переходят друг в друга при пересчете масштаба по оси параметра на фактор. Точка пересечения кривых кривых зависимости k от для циклов разного периода (в асимптотике по k) есть критическая точка. Величина мультипликатора в точке пересечения стремится к универсальной константе с = -1,60119…

Иллюстрация скейлинга на графике ляпуновского показателя Масштаб по горизонтальной оси пересчитывается в = 4,6692… раза относительно критической точки, а по вертикальной оси – в 2 раза. При пересчете управляющего параметра по правилу / получается режим динамики, подобный исходному, но с удвоенным временным масштабом. Поэтому ляпуновский показатель (который имеет размерность обратного времени) пересчитывается по правилу /2. Из рисунка видно, что ожидаемый скейлинг подтверждается с высокой точностью, растущей при переходе к более глубоким уровням.

О переходе к хаосу через удвоения периода в реальных системах и моделях в виде дифференциальных уравнений В реальных нелинейных диссипативных системах очень часто можно наблюдать переход к хаосу через удвоения периода. Из-за неизбежного присутствия шумов удается различить в эксперименте только ограниченное число бифуркаций. Тем не менее, общая картина перехода очень характерна и демонстрирует многие тонкие детали, присущие данному классу универсальности. Оценки констант Фейгенбаума, полученные в экспериментах, находятся в разумном соответствии с теорией. Рассмотрим переход к хаосу через удвоения периода на примере ГИН: (10)

Универсальная постоянная Фейгенбаума оценивалась по выражению: (58) Расчеты проводились для значений k = 1, 2, 3, 4, т.е. до точки бифуркации удвоения цикла периода 16. Как показали эксперименты, разумная точность оценки универсальной постоянной Фейгенбаума достигается уже в этом случае, хотя соотношение (58) справедливо лишь в пределе при k. Критические значения параметров m * (или g *), отвечающие точке бифуркации рождения хаотического аттрактора, оценивались по формуле: (59)где k = 4.

В связи с тем, что универсальность перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода была доказана Фейгенбаумом для класса гладких одномерных отображений с квадратичным максимумом, возникает естественный вопрос: почему эти закономерности с высокой степенью точности выполняются для трехмерной ДС (10)? Ответ на этот вопрос заключается в том, что динамика системы (10) с высокой степенью точности может быть охарактеризована одномерным отображением класса Фейгенбаума. Рассмотрим режим хаотического аттрактора в системе (10) при m = 1.5 и g = 0.3. Введем в фазовом пространстве секущую плоскость условием x = 0 и построим двумерное отображение (y n+1, z n+1) = F(y n, z n) на секущей плоскости. Как показали расчеты, полученное отображение близко к одномерному. Используя данные расчета отображения в секущей плоскости, построим численно одномерное отображение y n+1 = F(y n). Результаты представлены на рисунке. Как видно из графика, отображение действительно близко к одномерному и имеет гладкий квадратичный максимум.

УДК 515.16

ТЕПЛЯКОВ Вячеслав Васильевич, доцент кафедры методики преподавания математики института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 11 научных публикаций, в т. ч. одного учебного пособия

ВОКРУГ ТЕОРЕМЫ ШАРКОВСКОГО

В статье приводится схема построения примеров, показывающих, что для любого натурального числа р существует непрерывное отображение £: I ^ I, которое имеет период р и не имеет периодов, предшествующих этому р в порядке Шарковского.

Ключевые слова: Орбита, период, цикл, порядок Шарковского, удвоение периода.

Советский математик А.Н. Шарковский в 1964 году обнаружил удивительное явление в одномерной динамике, связанное со взаимоотношениями длин орбит периодических точек . Оказалось, например, что наличие орбиты длины 3 неизбежно влечет существование орбит всех остальных длин, а наличие орбиты длины 4 гарантирует только существование орбит длины 2 и 1, появление орбиты длины 6 влечет наличие орбиты любой четной длины и т. д.

В нашей работе мы, в частности, показываем, что существуют отображения с орбитами длины 6, не имеющие никаких орбит нечетной длины.

Теперь перейдем к точным формулировкам. Пусть имеется непрерывное отображение £:

I ^ I, где I с R - некоторый отрезок. Орбитой точки х0 е I называется множество 0(х0) = = £”(х0) | п = 1, 2,...}, где /п = £ °/°--°£■ Точка

© Старостина В.В., Тепляков В.В., 2013

х0 называется периодической, если существует п е N такое, что £ п(х0) = х0. Наименьшее такое п называется периодом точки х0, т. е. период точки - это длина ее орбиты (или количество точек в орбите). Конечную орбиту называют еще циклом. Формулировка теоремы Шарковского становится наиболее выразительной, если ввести новый порядок в множестве натуральных чисел, отличный от стандартного. Этот новый линейный порядок в N отражает найденную Шарковским зависимость между длинами орбит точек и называется порядком Шарковского:

3 > 5 > 7 > 9 > ... > 2к+1 >

2-3 > 2-5 > 2-7 > 2-9 > ... > 2-(2к+1) >

22 -3 > 22 - > 2 2 >

2т - > 2т ■ 5 >

2 п > 2 п-1 > > 22 > 21 > 1,

СТАРОСТИНА Вера Валерьевна, аспирант кафедры математического анализа института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова

где р а,)^- читается как щ следует за р» или «р предшествует q». Таким образом, в первой строке стоят все нечетные числа в указанном порядке, за ними следуют они же, умноженные на 2. Каждая следующая строчка получается из предыдущей умножением на 2. И, наконец, в последней строчке идут чистые степени двойки в убывающем порядке.

Теорема Шарковского. Пусть I - отрезок на числовой прямой, а£: I ^ I - непрерывное отображение. Если £ имеет точку периода р и р 0

С доказательством теоремы Шарковского можно познакомиться в недавно переведенной на русский язык монографии , но наиболее подробное и понятное доказательство изложено в дипломной работе В.В. Старостиной, с которым можно ознакомиться на кафедре алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова.

В нашей статье приводится схема построения примеров, показывающих, что для любого натурального числа р существует непрерывное отображение £ I ^ I, которое имеет период р и не имеет периодов, предшествующих этому р в порядке Шарковского.

Построим непрерывное отображение £ ^ , имеющее период 5, но не имеющее периода 3.

Пусть £ задано в точках 1, 2, 3, 4, 5 следующим образом:

£(1) = 3; £(2) = 5; £(3) = 4; £(4) = 2; £(5) = 1, а на промежуточные отрезки распространено по линейности (рис. 1). Заметим, что орбита точки х = 1 имеет вид 1, 3, 4, 2, 5, 1, ..., т. е. £ обладает периодом 5. Нарисуем графики £, £ 2 и £ 3 и покажем, что не существует орбиты периода 3 (рис. 1).

Получаем, что уравнению £ 3(х) = х удовлетворяет только неподвижная точка построенного отображения£(х), значит, орбит длины 3 нет.

Построим непрерывное отображение £ ^ , имеющее период 7, но не имеющее периода 5 и периода 3.

Пусть £ задано в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 следующим образом:

£(1) = 4; £(2) = 7; £(3) = 6; £(4) = 5; £(5) = 3; £(6) = 2; £(7) = 1,

а на промежуточные отрезки распространено по линейности (рис. 2). Заметим, что орбита точки х = 1 имеет вид 1, 4, 5, 3, 6, 2, 7, 1, ..., т. е. £ обладает периодом 7. Нарисуем графики £, £ 3 и £ 5 и покажем, что не существует орбиты периода 5 и орбиты периода 3 (рис. 2).

На последнем графике видно, что решением уравнения £ 5(х) = х является только неподвижная точка. Значит, точек предыдущих периодов нет.

Рис. 2. Пример отображения, имеющего все периоды, кроме 3 и 5

Пример 3 а на промежуточные отрезки распространено по

Построим непрерывное отображение £ ^ , имеющее период 9, но не имеющее х = 1 имеет вид 1, 5, 6, 4, 7, 3, 8, 2, 9, 1, ..., т. е. £

периодов 7, 5 и 3. обладает периодом 9. Нарисуем графики/ £3, £5 и

Пусть £ задано в точках 1 2 3 4 5 6 7 8 9 £7 и покажем, что не существует орбиты периода

следующим образом: 7, орбиты периода 5 и орбиты периода 3 (рис. 3).

/(1) = 5; £(2) = 9; £(3) = 8; £(4) = 7; £(5) = 6; На последнем графике видно, что решени-

£(6) = 4; £(7) = 3; А8) = 2; £(9) = 1 ем уравнения £7(х) = х является только непод-

вижная точка. Значит, точек предыдущих периодов нет.

Напрашивается общая идея построения дальнейших примеров для первой строки порядка Шарковского: в целочисленных узлах £ принимает значения согласно схеме (рис. 4), и определена как линейная функция на промежуточных точках.

Для всякого непрерывного отображения £ ^ найдется непрерывное отображение л(л) -> , периоды которого равны удвоенным периодам отображения £ и еще период 1.

Доказательство

Пусть задано произвольное непрерывное

Рис. 4. Схема построения примеров для первой строки порядка Шарковского

Или, другими словами, чтобы построить непрерывное отображение £: ^ , имеющее период р = 2п + 1, у которого нет всех периодов, предшествующих р, достаточно взять решетку 2п х 2п и задать £ на целочисленных точках следующим образом: р + 1

£(1) = 2 ; £ (2) = р; £ (3) =р - 1; £(4) =р - 2; ...;

£^ ^) = р-1 ;£^) = р-3;

£ р+7) = р-5 ; . . . ;£ р + р) = £р) = 1,

2 2 2 а между этими точками отображение £ распространено по линейности.

Теперь рассмотрим процедуру удвоения периода.

Под удвоением периода мы понимаем переход от отображения £ к новому отображению а(периоды которого - это в точности удвоенные периоды отображения £ и еще период 1.

отображение£: ^ . Зададим отображение £ следующей формулой:

х-----, если х е

и продолжим это отображение на отрезок линейным образом (рис. 5). Пусть для наглядности отображение £ имеет график, представленный на рис. 5а, тогда отображение £ имеет график, представленный на рис. 5б.

Покажем, что отображение £ на отрезках имеет периодические точки, пери-

оды которых равны удвоенным периодам точек отображения £, а на отрезке

периодиче-

ских точек нет, кроме неподвижной.

Рис. 5. Пример удвоения периода, тогда £ (х) = 2 + £ (3х) по

формуле (1). Учитывая, что / (х) принадлежит, то

£ (£ (х)) = £

2 + £ (3х))_(2 + £ (3х) 3

Сделав замену переменной, получим

7-2 (х ^ £(х)

2 I з" ] = 3^"’ Из этого равенства следует, что если у отображения £ имеется орбита длины п, то у £ появляется орбита длины 2п, располо-

(см. лестницу

женная на отрезках Ламерея на рис. 5б).

Аналогично рассматривается случай, когда точка х0 е

Наконец, если х0 е

Отображение £

не имеет других периодических точек, кроме единственной неподвижной. Это легко увидеть

на рис. 5б: на лестнице Ламерея видно, что ор-

бита любой точки х0 е

не содержит дру-

гих точек отрезка

отрезков 0,- 3 и,1 3

, (она состоит из точек

и самой точки х0).

Таким образом, отображение £ удваивает

периоды отображения £.

Построим непрерывное отображение £: ^ , имеющее период 2, но не имеющее периода 4.

Пусть £ задано в точках 0, 1 следующим образом:

и определено как линейная функция между этими точками.

Тогда отображение £: ^ можно задать следующим образом: £(х) = 1 - х.

Заметим, что орбита точки х = 1 имеет вид 1, 0, 1, ., т. е. £ обладает периодом 2. Покажем, что не существует точки периода 4.

£ 2(х) = 1 - (1 - х) = х, таким образом, все точки отрезка удовлетворяют уравнению £ 2(х) = х. Следовательно, все точки отрезка имеют орбиту длиной

не больше 2 (только у точки х = длина орбиты 1 2 равна 1, т. к. х = - неподвижная точка отобра-

жения £). А это означает, что непрерывное отображение £ ^ не имеет периода 4.

Построим непрерывное отображение £: ^ , имеющее период 4, но не имеющее периода 8. (Это будет означать, что нет и остальных периодов, предшествующих 8 в порядке Шарковского. Так как иначе, если бы отображение £ имело бы какой-то из этих периодов, то, по теореме Шарковского, у £ существовала бы периодическая точка периода 8).

Воспользуемся результатом примера 4, в котором было построено непрерывное отображение £ ^ , заданное формулой £х) = 1 - х, имеющее только период 2 (и период 1 у неподвижной точки), и применим опи-

санную выше в лемме процедуру удвоения периода к этому отображению:

1 - х, если х е

х-, если х е

и продолжим это отображение на отрезок

по линейности (рис. 6).

Построенные на этом рисунке графики отображений £, £ 2, £3, £4 и £ 8позволяют сделать вывод, что уравнение £ 8(х) = х не имеет других решений, кроме тех, что и уравнение £ 4(х) = х. Значит, орбит длины 8 нет, а потому нет орбит

всех длин, предшествующих 8 в порядке Шар-ковского.

Таким образом, с помощью процедуры удвоения периода можно построить отображение, имеющее период 21 и не имеющее всех предыдущих периодов.

Применяя данную процедуру, можно конструировать примеры отображений периодов для всех остальных строк со второй до предпоследней.

Приведем обещанный в начале статьи пример отображения, которое имеет орбиту длины 6 и не имеет никаких орбит нечетной длины. Для этого применим процедуру удвоения периода к отображению f, имеющему орбиту длины

3 (т. е. у f есть все периоды порядка Шарковского), в результате получим отображение7-^ с е орбиты которого имеют четную длину (и длину 6 в том числе), т. е. отображениее имеет орбит нечетной длины.

Аналогично, чтобы построить отображение, имеющее, например, период 14, у которого нет всех предыдущих периодов в порядке Шарковского, нужно применить процедуру удвоения периода к отображению £, построенному в примере 2 (у него есть период 7, но нет предшествующих периодов). В результате получается отображение^ имеющ ее период 14 и все следующие за ним в" порядке Шарковского. Ясно, что{«хне имеет периодов, предшествующих 14 в пор ядке Шарковского, в противном случае отображение £ имело бы периоды, предшествующие 7, а это не так.

Полученная нами схема построения примеров позволяет сказать, что открытая А.Н. Шар-ковским зависимость между периодами непрерывных ото бр ажений является строгой в том смысле, что для любого натурального п существует отображение, имеющее период п и не имеющее предыдущих периодов.

Список литературы

1. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М., 1999.

2. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя // Украин. математ. журн. 1964. Т. 16, вып. 1.

1. Katok A.B., Khasselblat B. Vvedenie v sovremennuyu teoriyu dinamicheskikh sistem . Moscow, 1999.

2. Sharkovskiy A.N. Sosushchestvovanie tsiklov nepreryvnogo otobrazheniya pryamoy v sebya . Ukrainskiy matematicheskiy zhurnal, 1964, vol. 16, no. 1.

Starostina Vera Valeryevna

Postgraduate Student, Institute of Mathematics, Information and Space Technologies, Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov (Arkhangelsk, Russia)

Teplyakov Vyacheslav Vasilyevich

Institute of Mathematics, Information and Space Technologies, Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov (Arkhangelsk, Russia)

AROUND SHARKOVSKY’S THEOREM

The paper demonstrates the way of constructing examples showing that for any natural p there exists a continuous map f: I ^ I that has a period p and does not have any periods preceding p in Sharkovsky sequence.

Keywords: orbit, period, cycle, Sharkovsky sequence, period doubling.

Контактная информация: Старостина Вера Валерьевна адрес: 163060, г. Архангельск, ул. Урицкого, д. 68;

e-mail: [email protected]

Тепляков Вячеслав Васильевич адрес: 163060, г. Архангельск, ул. Урицкого, д. 68;

e-mail: [email protected]

Рецензент - Андреев П.Д., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова

Теорема Шарковского, доказанная в 1960-х гг., даёт ответ на вопрос: как для непрерывного отображения отрезка в себя связано наличие периодических точек различных периодов?

Точка периодическая, если она переходит в себя после применения к ней отображения несколько раз, т.е. если при некотором

Наименьшее такое называется минимальным периодом точки .

Теорема Шарковского была первым общим результатом о динамических системах, получающихся при итерировании отображений отрезка в себя. Хотя эта «одномерная динамика» кажется чем-то весьма специальным, подобные отображения возникают в некоторых вопросах естествознания и техники, а также играют важную вспомогательную роль при чисто теоретических исследованиях более сложных динамических систем.

Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН.

Комментарии: 0

Дмитрий Аносов

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 2001 г.

Дмитрий Аносов

Как геометрические соображения помогают понять свойства решений дифференциальных уравнений. С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии лекции. Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов.

Дмитрий Аносов

Из курса математического анализа известно, что если функция имеет n производных, то n-я производная может даже не быть непрерывной; если функция имеет все производные, то она может все-таки не разлагаться в ряд Тейлора: он может расходиться или сходиться к другой функции. Удивительная особенность функций комплексного переменного состоит в том, что одна только дифференцируемость функции во всех точках ее области определения обеспечивает, что функция имеет все производные и разлагается в ряд Тейлора. Этот факт доказывается с использованием интегрального исчисления функций комплексного переменного, хотя по своей форме он относится к дифференциальному исчислению. В лекциях будет предложено другое доказательство того же факта. Оно обходится без специфического комплексного интегрирования и вообще опирается на “вещественные” сведения.

Дмитрий Аносов

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 16-18 июля 2002 г.

Виктор Клепцын

Лекцию читает Клепцын Виктор Алексеевич. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 29 июля 2017 г.

Наталия Гончарук

В каждой точке плоскости нарисуем вектор. Получилось векторное поле. Будем считать, что по плоскости течёт вода, а векторы - её скорости течения в разных точках. Теперь бросим в воду несколько щепок и нарисуем траектории их движения. Получится фазовый портрет векторного поля. По картинке стало видно, что происходит со щепками: некоторые приближаются к внешнему предельному циклу, от другого цикла все щепки отдаляются. Куда ещё могут накапливаться траектории щепок (теорема Пуанкаре-Бендиксона). Как ещё могут быть устроены фазовые портреты. Также мы обсудим бифуркации: перестройки фазовых портретов, когда векторное поле слегка меняется. Будут свежие результаты и открытые вопросы.

Юлий Ильяшенко

Как менялись наши представления об аттракторах? Чего мы ожидаем от аттракторов? Предполагается, что слушатели знают определение и свойства компактных множеств в евклидовом пространстве, а также знакомы с определениями и примерами гомеоморфизмов и диффеоморфизмов. Последние определения будут даны в курсе, но лучше знать их заранее.

Связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой. А именно, скажем, что , если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b. Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → … → 3*2 → 5*2 → 7*2 → 9*2 → 11*2 → 13*2 → … → 3*2² → 5*2² → 7*2² → 9*2² → 11*2² → 13*2² → … ………………………………… → 2 n → 2 n-1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1.

В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечетные числа, кроме 1, во второй строке - произведения нечетных чисел (кроме 1) на 2, в третьей - произведения нечетных чисел на 2², в k-й строке сверху - произведения нечетных чисел на . Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.

В частности, число 3 - наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как период 3 влечёт хаос (стоит отметить, что в случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах, - так, её энтропия будет положительна).

Период 3 влечёт хаос

Случай периодической точки периода 3 - наиболее содержательный. В этом случае, найдутся различные точки , для которых

Тогда для отрезков и выполнено

Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова , составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал , что

Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода : достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово наименьшего периода k без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка выполнено

поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения , , дополнение) её судьба это последовательность , у которой k является наименьшим периодом, поэтому k является наименьшим периодом и для построенной точки.

История

Исследуя унимодальные отображения, в частности,

На отрезке или на вещественной прямой. А именно, скажем, что $a\backslash to\; b$, если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b. Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → … → 3*2 → 5*2 → 7*2 → 9*2 → 11*2 → 13*2 → … → 3*2² → 5*2² → 7*2² → 9*2² → 11*2² → 13*2² → … ………………………………… → 2 n → 2 n-1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1.

В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечетные числа, кроме 1, во второй строке - произведения нечетных чисел (кроме 1) на 2, в третьей - произведения нечетных чисел на 2², в k-й строке сверху - произведения нечетных чисел на $2^\{k-1\}$. Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.

В частности, число 3 - наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как период 3 влечёт хаос (стоит отметить, что в случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах, - так, её энтропия будет положительна).

Период 3 влечёт хаос

Случай периодической точки периода 3 - наиболее содержательный. В этом случае, найдутся различные точки $a,b,c$, для которых

$f(a)=b,\; \backslash quad\; f(b)=c,\; \backslash quad\; f(c)=a.$

Тогда для отрезков $I\_0=$ и $I\_1=$ выполнено

f(I_0)\supset I_1, \quad f(I_1)\supset I_0\cup I_1.

Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова $w=w\_0\; w\_1\; \backslash dots\; w\_\{k-1\}$, составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал $I\_w$, что

f^j(I_w) \subset I_{w_j}, \quad j=1,\dots,k-2,

f^{k-1}(I_w)=I_{w_{k-1}}.

Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода $k$: достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово $\backslash omega=(w),\; \backslash quad\; |w|=k$ наименьшего периода k без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка $I\_w$ выполнено

f^{k}(I_w)\supset I_w, поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения $I\_0$, $I\_1$, дополнение) её судьба это последовательность $\backslash omega$, у которой k является наименьшим периодом, поэтому k является наименьшим периодом и для построенной точки.

История

Исследуя унимодальные отображения, в частности, квадратичное отображение , украинский математик А. Н. Шарковский в 1964 году обнаружил, что в области «хаоса» на соответствующей бифуркационной диаграмме имеются так называемые «окна периодичности» - узкие интервалы значений параметра $r$ (см. квадратичное отображение), в которых существуют периодические движения; им и соответствуют переходы в порядке Шарковского. В частности, двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума .

Напишите отзыв о статье "Порядок Шарковского"

Примечания

Литература

• А. Н. Шарковский, С. Ф. Коляда, А. Г. Спивак, В. В. Федоренко. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
• Ю. А. Данилов. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Москва: Постмаркет, 2001. 184 с.

Отрывок, характеризующий Порядок Шарковского

В третьих, и самое непонятное, состоит в том, что люди, изучающие историю, умышленно не хотят видеть того, что фланговый марш нельзя приписывать никакому одному человеку, что никто никогда его не предвидел, что маневр этот, точно так же как и отступление в Филях, в настоящем никогда никому не представлялся в его цельности, а шаг за шагом, событие за событием, мгновение за мгновением вытекал из бесчисленного количества самых разнообразных условий, и только тогда представился во всей своей цельности, когда он совершился и стал прошедшим.
На совете в Филях у русского начальства преобладающею мыслью было само собой разумевшееся отступление по прямому направлению назад, то есть по Нижегородской дороге. Доказательствами тому служит то, что большинство голосов на совете было подано в этом смысле, и, главное, известный разговор после совета главнокомандующего с Ланским, заведовавшим провиантскою частью. Ланской донес главнокомандующему, что продовольствие для армии собрано преимущественно по Оке, в Тульской и Калужской губерниях и что в случае отступления на Нижний запасы провианта будут отделены от армии большою рекою Окой, через которую перевоз в первозимье бывает невозможен. Это был первый признак необходимости уклонения от прежде представлявшегося самым естественным прямого направления на Нижний. Армия подержалась южнее, по Рязанской дороге, и ближе к запасам. Впоследствии бездействие французов, потерявших даже из виду русскую армию, заботы о защите Тульского завода и, главное, выгоды приближения к своим запасам заставили армию отклониться еще южнее, на Тульскую дорогу. Перейдя отчаянным движением за Пахрой на Тульскую дорогу, военачальники русской армии думали оставаться у Подольска, и не было мысли о Тарутинской позиции; но бесчисленное количество обстоятельств и появление опять французских войск, прежде потерявших из виду русских, и проекты сражения, и, главное, обилие провианта в Калуге заставили нашу армию еще более отклониться к югу и перейти в середину путей своего продовольствия, с Тульской на Калужскую дорогу, к Тарутину. Точно так же, как нельзя отвечать на тот вопрос, когда оставлена была Москва, нельзя отвечать и на то, когда именно и кем решено было перейти к Тарутину. Только тогда, когда войска пришли уже к Тарутину вследствие бесчисленных дифференциальных сил, тогда только стали люди уверять себя, что они этого хотели и давно предвидели.

Знаменитый фланговый марш состоял только в том, что русское войско, отступая все прямо назад по обратному направлению наступления, после того как наступление французов прекратилось, отклонилось от принятого сначала прямого направления и, не видя за собой преследования, естественно подалось в ту сторону, куда его влекло обилие продовольствия.
Если бы представить себе не гениальных полководцев во главе русской армии, но просто одну армию без начальников, то и эта армия не могла бы сделать ничего другого, кроме обратного движения к Москве, описывая дугу с той стороны, с которой было больше продовольствия и край был обильнее.
Передвижение это с Нижегородской на Рязанскую, Тульскую и Калужскую дороги было до такой степени естественно, что в этом самом направлении отбегали мародеры русской армии и что в этом самом направлении требовалось из Петербурга, чтобы Кутузов перевел свою армию. В Тарутине Кутузов получил почти выговор от государя за то, что он отвел армию на Рязанскую дорогу, и ему указывалось то самое положение против Калуги, в котором он уже находился в то время, как получил письмо государя.