Колебания с несколькими степенями свободы.

Краткие сведения из теории.

Системами с п степенями свободы принято в динамике называть такие системы, для полной фиксации геометрического состояния которых в любой момент времени требуется задать п параметров, например положение (прогибы) п точек. Положение прочих точек определяется обычными статическими приемами.

Примером системы с п степенями свободы может служить балка или плоская рама, если массы ее отдельных частей или элементов условно (для облегчения динамического расчета) считаются сосредоточенными в п точках, или если она несет п больших масс (двигатели, моторы), по сравнению с которыми возможно пренебречь собственным весом элементов. Если отдельные сосредоточенные («точечные») массы могут при колебаниях совершать перемещения по двум направлениям, то число степеней свободы системы будет равно числу связей, которые следует наложить на систему, чтобы ликвидировать смещения всех масс.

Если вывести из равновесия систему с п степенями свободы, то она будет совершать свободные колебания , причем каждая «точка» (масса) будет совершать сложные полигармонические колебания типа:

Постоянные Аi и Вi зависят от начальных условий движения (отклонений масс от статического уровня и скоростей в момент времени t =0). Лишь в некоторых, особых, случаях возбуждения колебаний полигармоническое движение для отдельных масс может перейти в гармоническое, т.е. как в системе с одной степенью свободы:

Число собственных частот системы равно числу ее степеней свободы.

Для вычисления собственных частот необходимо решить так называемый определитель частот, записываемый в таком виде:

Это условие в развернутом виде дает уравнение п -ой степени для определения п значений ω 2 , которое называется уравнением частот.

Через δ 11 , δ 12 , δ 22 и т.д. обозначены возможные перемещения. Так, δ 12 есть перемещение по первому направлению точки расположения первой массы от единичной силы, приложенной по второму направлению к точке расположения второй массы и т.д.

При двух степенях свободы уравнение частот получает вид:

Откуда для двух частот имеем:

В том случае, когда отдельные массы М i могут совершать в совокупности с линейными перемещениями также вращательные или только вращательные движения, то i -той координатой будет угол вращения, и в определителе частот массу

М i надлежит заменить моментом инерции массы J i ; соответственно возможные перемещения по направлению i -той координаты (δ i 2 , δ i 2 и т.д.) будут являтся угловыми перемещениями.

Если какая-либо масса будет совершать колебания по нескольким направлениям - i -му и k -му (например, по вертикальному и горизонтальному), то такая масса участвует в определителе несколько раз под номерами М i и М k и ей соответствует несколько возможных перемещений (δ ii , δ kk , δ ik , и т.д.).

Заметим, что каждой собственной частоте присуща своя особая форма колебаний(характер изогнутой оси, линии прогибов, перемещений и т.п.), которая отдельных, особых, случаях может оказаться действительной формой колебаний, если только надлежащим образом или возбуждены свободные колебания (надлежащий подбор импульсов, точек их приложения и т.п.). В этом случае колебания системы будут совершаться по законам движения системы с одной степенью свободы.

В общем случае, как это вытекает из выражения (9.1), система совершает полигармонические колебания, но, очевидно, что всякая сложная упругая линия, в которой отражается влияние всех собственных частот, может быть разложена на отдельные составляющие формы, каждая из которых соответствует своей собственной частоте. Процесс такого разложения истинной формы колебаний на составляющие (что необходимо при решении сложных задач строительной динами) носит название разложения по формам собственных колебаний.

Если в каждой массе, точнее – по направлению каждой степени свободы, приложить возмущающую силу, изменяющуюся по времени по гармоническому закону

или , что для дальнейшего безразлично, причем амплитуды сил при каждой масс различны, а частота и фаз одинаковы, то при продолжительном действии таких возмущающих сил система будет совершать установившееся вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы. Амплитуды перемещений по направлению любой i -той степени в этом случае будет:

где определитель D записывается по (9.2) с заменой ω на θ и, следовательно, D≠0; D i определяется выражением:

т.е. i -й столбец определителя D заменяется столбцо, составленным из членом вида: Для случая двух степеней свободы: (9.6)

И соответственно

При расчете на вынужденные колебания балок постоянного сечения, несущих сосредоточенные массы (рис.9.1).

Проще, однако, пользоваться нижеуказанными формулами для амплитуд прогиба, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы в любом сечении балки:

(9.7)

где y 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 – амплитуды прогиба, поворота, момента и поперечной силы начального сечения (начальные параметры); M i и J i - масса и ее момент инерции (сосредоточенные массы); знак ∑ распространяется на все силы и сосредоточенные массы, расположенные от начального сечения до обследуемого.

Указанными формулами (9.7) можно пользоваться и при вычислении собственных частот, для чего необходимо считать возмущающие силы ∑ Р i и моменты ∑ М i равными нулю, заменить частоту вынужденных колебаний θ частотой собственных колебаний ω и, предполагая существование колебаний (свободных колебаний), написать выражения (9.7) применительно к сечениям, где расположены сосредоточенные массы и уже известны амплитуды (опорные сечения, ось симметрии и т.д.). Получим систему однородных линейных уравнений. Приравнивая к нулю определитель этой системы, получим возможность вычислить собственные частоты.

Целесообразным, оказывается использовать выражения (9.4) и (9.5) для определения амплитуд (y 0 , φ 0 , и т.п.) при х =0, а затем с помощью (9.7) вычислить все остальные элементы прогиба.

Более сложной является задача расчета движений системы с несколькими степенями свободы на действие произвольной нагрузки, изменяющейся во времени и приложенной к различным массам.

При решении такой задачи надлежит поступать следующим образом:

а) определить собственные частоты и формы собственных колебаний;

б) заданную нагрузку перегруппировать между массами или, как принято говорить, разложить по формам собственных колебаний. Число групп нагрузок равняется числу собственных частот системы;

в) после выполнения указанных выше двух вспомогательных операций сделать расчет для каждой группы нагрузок по известным формулам из теории колебаний системы с одной степенью свободы, причем частота собственных колебаний в этих формулах принимается та, которой соответствует данная группа нагрузки;

г) частные решения от каждой категории нагрузок суммируют, чем и определяется окончательное решение задачи.

Определение собственных частот выполняется согласно (9.2). Что касается выявления форм собственных колебаний, то здесь необходимо руководствоваться тем основным свойством любой формы собственных колебаний, что она представляет собой линию влияния прогиба от сил (число которых равно числу степеней свободы), пропорциональных произведению масс на ординаты прогибов точек прикрепления масс. При равных массах форма собственных колебаний представляет линию прогиба от сил, пропорциональных ординатам прогиба; эпюра нагрузки подобна эпюре прогиба.

Низшей частоте соответствует наиболее простая форма колебаний. Для балок чаще всего эта форма близко отвечает изогнутой оси системы под влиянием собственного веса. Если данная конструкция оказывается менее жесткой в каком-либо направлении, например в горизонтальном, то для выявления характера искомой изогнутой оси надлежит условно собственный вес приложить в этом направлении.

Колебания системы с несколькими степенями свободы, имеющие важные практические приложения, отличаются от колебаний системы с одной степенью свободы рядом существенных особенностей. Чтобы дать представление об этих особенностях, рассмотрим случай свободных колебаний системы с двумя степенями свободы.

Пусть положение системы определяется обобщенными координатами и при система находится в устойчивом равновесии. Тогда кинетическую и потенциальную энергии системы с точностью до квадратов малых величин можно найти так же, как были найдены равенства (132), (133), и представить в виде:

где инерционные коэффициенты и квазиупругие коэффициенты - величины постоянные. Если воспользоваться двумя уравнениями Лагранжа вида (131) и подставить в них эти значения Т и П, то получим следующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы

Будем искать решение уравнений (145) в виде:

где A, B, k, a - постоянные величины. Подставив эти значения в уравнения (145) и сократив на получим

Чтобы уравнения (147) давали для А и В решения, отличные от иуля, определитель этой системы должен быть равен нулю или, иначе, коэффициенты при A и В в уравнениях должны быть пропорциональны, т. е.

Отсюда для определения получаем следующее уравнение, называемое уравнением частот.

Корни этого уравнения вещественны и положительны; это доказывается математически, но может быть обосновано и тем, что иначе не будут вещественны уравнения (145) не будут иметь решений вида (146), чего для системы, находящейся в устойчивом равновесии, быть не может (после возмущений она должна двигаться вблизи положения

Определив нз (149) , найдем две совокупности частных решений вида (146). Если учесть, что согласно эти решения будут:

где и - значения, которые я получает из (148) при и соответственно.

Колебания, определяемые уравнениями (150) и (151), называются главными колебаниями, а их частоты и кг - собственными частотами системы. При этом, колебание с частотой (всегда меныией) называют первым главным колебанием, а с частотой - вторым главным колебанием. Числа определяющие отношения амплитуд (или самих координат, т. е. ) в каждом из этих колебаний, называют коэффициентами формы.

Так как уравнения (145) являются линейными, то суммы частных решений (150) и (151) тоже будут решениями этих уравнений:

Равенства (152), содержащие четыре произвольных постоянных определяемых по начальным условиям, дают общее решение уравнений (145) и определяют закон малых колебаний системы. колебания слагаются из двух главных колебаний с частотами и не являются гармоническими. В частных случаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одно из главных колебаний (например, первое, если ) и колебание будет гармоническим.

Собственные частоты и коэффициенты формы не зависят от начальных условий и являются основными характеристиками малых колебаний системы; решение конкретных задач обычно сводится к определению этих характеристик.

Сопоставляя результаты этого и предыдущего параграфов, можно получить представление о том, к чему сведется исследование затухающих и вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы. Мы этого рассматривать не будем, отметим лишь, что при вынужденных колебаниях резонанс у такой системы может возникать дважды: при и при ( - частота возмущающей силы). Наконец, отметим, что колебания системы с s степенями свободы будут слагаться из s колебаний с частотами которые должны определяться из уравнения степени s относительно Это связано со значительными математическими трудностями, преодолеть которые можно с помощью электронных вычислительных (или аналоговых) машин.

Задача 185. Определить собственные частоты и коэффициенты формы малых колебаний двойного физического маятника, образованного стержнями и 2 одинаковой массы и длины l (рис. 374, а).

Решение. Выберем в качестве обобщенных координат малые углы . Тогда , где и, при требуемой точности подсчетов, . В итоге

Пусть дана система с двумя степенями свободы и - обобщенные координаты. Кинетическая и потенциальная энергия системы дается формулами (10.2):

Функции Т и П определенно положительны, а потому:

Подставив (10.2) в (10.12), получим дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы:

Система имеет нулевое решение A=B=0, соответствующее устойчивому положению равновесия. Для ненулевых решений составим из (10.15) отношение:

Квадратное (относительно ) уравнение (10.18) в силу неравенств устойчивости имеет два вещественных положительных корня. Расположим их в порядке возрастания:

Для второго главного колебания:

(10.21)

Главные колебания являются колебаниями гармоническими.

Подставив поочередно и в (10.16), найдем связи между амплитудами A и B в главных колебаниях: . Множители и называют коэффициентами собственных форм (коэффициентами распределения амплитуд). Они могут быть как положительными, так и отрицательными. При обе координаты в главном колебании находятся в одной фазе; при - в противофазе.

Результирующее движение по каждой координате будет суммой двух главных колебаний:

(10.22)

где - зависят от начальных условий, - от начальных условий не зависят и определяются параметрами самой колебательной системы. В общем случае частоты и несоизмеримы, а потому результирующее движение не будет периодическим.

1. Определить собственные частоты и собственные формы колебаний (малых) двойного математического маятника, образованного двумя материальными точками равной массы m и двумя стержнями длиной каждый.

Подобная система в общем виде была рассмотрена в примере 2 (§34). Воспользуемся полученными там формулами (2) и (3).

При , получим:

Так как колебания малые, то с точностью до малых второго порядка включительно:

(3)

С учетом (3) из (1), замечаем:

(4)

Сравнивая (4) и (2), замечаем:

Раскрывая уравнение (7.52) частот, получим:

Из (9.50) находим коэффициенты распределения: .

Первое главное колебание:

Движение в фазе - в каждое мгновение стержни вращаются в одном направлении.

Второе главное колебание:

Движение в противофазе – в каждое мгновение стержни вращаются в прямо противоположных направлениях.

Формы колебаний показаны на рис. 50. Во втором главном колебании имеется особенная точка F, которая остается неподвижной. Такие точки называют узлами. Концевая точка O к узлам не относится.

2. Два твердых тела с массами и и две пружины, жесткостью и , объединены в систему, которая располагается на гладкой горизонтальной плоскости и может совершать малые прямолинейные колебания.

Первое главное колебание:

Тела движутся в фазе, либо вправо либо влево. Амплитуда колебаний второго тела в 1,62 раза больше.

Второе главное колебание:

Тела движутся в противофазе: либо навстречу друг другу, к узлу, либо расходятся от узла. Амплитуда колебаний второго тела составляет 0,62 амплитуды первого.

Согласно (3.7), система уравнений при II =2 имеет вид:

Поскольку речь идет о свободных колебаниях, правая часть системы (3.7) принята равной нулю.

Решение ищем в виде

После подстановки (4.23) в (4.22) получим:

Эта система уравнений справедлива при произвольном t, поэтому выражения, заключенные в квадратные скобки, равны нулю. Тем самым получаем линейную систему алгебраических уравнений относительно Л и В.

Очевидное тривиальное решение этой системы Л = О, В = О согласно (4.23) отвечает отсутствию колебаний. Однако наряду с этим решением существует и нетривиальное решение Л * О, В Ф 0 при условии, что определитель системы А (к 2) равен нулю:

Этот определитель называют частотным , а уравнение относительно k - частотным уравнением. В раскрытом виде функция A(k 2) может быть представлена как

Рис. 4.5

При ЯцЯд - ^2 > ® и с п ^-4>0 график A (k 2) имеет вид параболы, пересекающей ось абсцисс (рис. 4.5).

Покажем, что для колебаний около устойчивого положения равновесия приведенные выше неравенства соблюдаются. П реобразусм выражение для кинетической энергии следующим образом:

При q , = 0 имеем Т = 0,5a .

Далее докажем, что корнями частотного уравнения (4.25) служат два положительных значения к 2 и к 2 (в теории колебаний меньшему индексу отвечает меньшая частота, т. е. k { С этой целью введем сначала понятие парциальной частоты. Под этим термином понимают собственную частоту системы с одной степенью свободы, полученной из исходной системы закреплением всех обобщенных координат, кроме одной. Так, например, если в первом из уравнений системы (4.22) принять q 2 = 0, то парциальной частотой будет p { =yjc u /a n . Аналогичным образом, закрепляя р 2 ~^с п /а 21 .

Чтобы частотное уравнение (4.25) имело два действительных корня к х и k 2 , необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, график функции А (к 2) при к = 0 имел бы положительную ординату, а во-вторых, чтобы он пересекал ось абсцисс. Случай кратных частот к { = к . } , а также обращение низшей частоты в нуль, здесь не рассматривается. Первое из этих условий соблюдается, поскольку д (0) = с„с 22 - с и > 0 В справедливости второго условия легко убедиться, подставив в зависимость (4.25) к = к = р 2 ; при этом А(р, 2) Информация такого рода при инженерном расчете облегчает прогнозы и оценки.

Полученным двум значениям частот к , и к 2 соответствуют частные решения вида (4.23), поэтому общее решение имеет следующую форму:

Таким образом, каждая из обобщенных координат участвует в сложном колебательном процессе, представляющем собой сложение гармонических движений с разными частотами, амплитудами и фазами (рис. 4.6). Частоты k t и к 2 в общем случае несоизмеримы, поэтому q v ц, не являются периодическими функциями.

Рис. 4.6

Отношение амплитуд свободных колебаний при фиксированной собственной частоте называют коэффициентом формы. Для системы с двумя степенями свободы коэффициенты формы (3.= BJA." определяются непосредственно из уравнений (4.24):

Таким образом, коэффициенты формы р,= В 1 /А [ и р.,= В.,/А., зависят только от параметров системы и не зависят от начальных условий. Коэффициенты формы характеризуют для рассматриваемой собственной частоты к. распределение амплитуд по колебательной цепи. Совокупность этих амплитуд образует так называемую форму колебаний.

Отрицательное значение коэффициента формы означает, что колебания находятся в противофазах.

При использовании стандартных программ на ЭВМ иногда используют нормированные коэффициенты формы. Под этим термином понимают

В коэффициенте р‘ г индекс i отвечает номеру координаты, а индекс г- номеру частоты. Очевидно, что или Легко заметить, что р*

В системе уравнений (4.28) оставшиеся четыре неизвестных А г А 2 , ос, сх 2 определяются с помощью начальных условий:

Наличие линейной силы сопротивления так же, как и в системе с одной степенью свободы, приводит к затуханию свободных колебаний.

Рис. 4.7

Пример. Определим собственные частоты, парциальные частоты и коэффициенты формы для колебательной системы, показанной на рис. 4.7,а. Принимая в качестве обобщенных координат абсолютные перемещения масс.г, = q v x 2 = q. r запишем выражения для кинетической и потен циальной энергий:

Таким образом,

После подстановки в частотные уравнения (4.25) получаем

При этом Согласно (4.29)

На рис. 4.7, б приведены формы колебаний. При первой форме колебаний массы перемещаются синхронно в одном направлении, а при второй - встречно. Кроме того, в последнем случае появилось сечение N, не участвующее в колебательном процессе с собственной частотой k r Это так называемый узел колебаний.

Из уравнений движения консервативной механической системы около устойчивого положения равновесия

в случае двух степеней свободы имеем:

(1)

(Согласно критерию Сильвестра:

(1) система дифференциальных уравнений малых свободных колебаний механической системы с двумя степенями свободы около устойчивого положения равновесия . Ее решение ищется в виде:

(2)

Подстановка этого решения в систему дифференциальных уравнений малых колебаний дает:

(3)

Относительно A и B это система однородных алгебраических уравнений. Она имеет нетривиальное решение, когда определитель системы равен нулю:

(4)

Это биквадратное уравнение называется уравнением частот, оно имеет два положительных корня , которым соответствуют два решения системы дифференциальных уравнений малых колебаний:

Таким образом, каждая обобщенная координата находится как сумма двух колебаний разной частоты, которые называются главными колебанииями . При этом, как следует из системы (3), амплитуды главных колебаний связаны между собой следующим образом:

(5)

где - коэффициенты формы главных колебаний.

В итоге решение уравнений свободных колебаний (1) окончательно принимает вид:

(6)

Входящие в(6) амплитуды , и начальные фазы , колебаний определяются из начальных условий.

Вынужденные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Динамический гаситель колебаний

Исключение нежелательных колебаний в механических системах называется виброзащитой (демпфированием). Используемые при этом технические устройства называются виброгасителями (демпферами).

Принцип работы динамического гасителя основан на использовании явления антирезонанса, когда действие периодически изменяющейся возмущающей обобщенной силы соответствующей одной координате, нейтрализуется действием потенциальной обобщенной силы, соответствующей другой координате.

Пусть к механической системе помимо консервативных сил приложена возмущающая сила, которая изменяется с течением времени по гармоническому закону

Дифференциальные уравнения движения механической системы в этом случае имеют вид:

Общее решение системы линейных дифференциальных неоднородных(в данном случае) уравнений ищем как сумму двух решений: ,- общее решение системы однородных дифференциальных уравнений; -частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений.

С учетом зависимости возмущающей силы от времени частное решение ищется в виде

Подстановка его в систему дифференциальных уравнений дает:

Решая эту систему по правилу Крамера, получим

Поскольку совпадает с левой частью уравнения частот и обращается в ноль

при совпадении частоты возмущающей силы с одной из частот собственных

колебаний или Коэффициенты A и B при этом обращаются в бесконечность. Таким образом, в случае колебаний системы с двумя степенями свободы существуют две резонансные частоты

Общее решение системы дифференциальных уравнений вынужденных

колебаний при имеет вид:

Как видно, за счет выбора параметров колеблющейся системы можно добиться, например, выполнения условия А =0, т. е. амплитуда вынужденных колебаний, соответствующих первой обобщенной координате, обращается в ноль.

Такое явление и называется антирезонансом.

В рассматриваемом случае это имеет место, если

Основные понятия и гипотезы теории удара. Основное уравнение теории удара

Явление, при котором за малый промежуток времени, т.е. почти мгновенно, скорости точек материальных объектов изменяются на конечные величины, называется ударом .

Так как при ударе конечное изменение скоростей происходит за весьма малый промежуток времени, то при этом возникают очень большие ускорения, а, следовательно, и очень большие силы. Эти силы действуют в течение весьма малого промежутка времени, но их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами.

Силы, возникающие при ударе в течение малого промежутка времени, но достигающие при этом большой величины, так что их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами, называются ударными силами .

Малый промежуток времени, в течение которого длится удар, называется временем удара. Импульсы ударных сил за время удара называются ударными импульсами .

Пусть дана МТ массы m, которая движется под действием обычной (неударной) силы . В момент , когда рассматриваемая МТ имеет скорость – скорость до удара, на нее начинает действовать ударная сила , действие которой прекращается в момент . Определим движение МТ под действием сил и за время удара .

Применяя теорему об изменении количества движения точки, получим:

,

где – скорость точки в момент после удара.

По теореме о среднем значении определенного интеграла можно написать:

,

где и есть средние значения сил и в некоторый промежуток времени. При этом является конечной величиной; ударная сила за время удара достигает весьма большой величины (порядка ). Поэтому произведение будет пренебрежимо мало по сравнению с произведением , являющимся величиной конечной.