Внутренние силы. Метод сечений. Метод сечений и внутренние силовые факторы (ВСФ) Внутренние силы метод сечений сопромат

Задачи и методы сопротивления материалов

Сопротивление материалов – наука об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость конструкций, сооружений, машин и механизмов.

Прочность – способность конструкции, ее частей и деталей выдерживать определенную нагрузку не разрушаясь.

Жесткость - способность конструкции и ее элементов сопротивляться деформации (изменению формы и размеров).

Устойчивость - способность конструкции и ее элементов сохранять определенную начальную форму упругого равновесия.

Для того чтобы конструкции в целом отвечали требованиям прочности, жесткости и устойчивости, необходимо придать их элементам наиболее рациональную форму и определить соответствующие размеры. Сопротивление материалов решает указанные задачи, основываясь на теоретических и опытных данных.

В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики и математического анализа, используются данные из разделов физики, изучающих свойства различных материалов, материаловедения и других наук. К тому же сопротивление материалов является наукой экспериментально-теоретической, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования.

Модели прочностной надежности

Оценка прочностной надежности элемента конструкции начинается с выбора расчетной модели (схемы). Моделью называют совокупность представлений, условий и зависимостей, описывающих объект, явление.

Модели материала.

В расчетах прочностной надежности материал детали представляют однородной сплошной средой, что позволяет рассматривать тело как непрерывную среду и применять методы математического анализа.

Под однородностью материал понимают независимость его свойств от размеров выделенного объема.

Расчетная модель материала наделяется такими физическими свойствами, как упругость, пластичность и ползучесть.

Упругость – свойство тела (детали) восстанавливать свою форму после снятия внешней нагрузки.

Пластичность – свойство тела сохранять после разгрузки полностью или частично деформацию, полученную при нагружении.

Ползучесть – свойство тела увеличивать со временем деформацию при действии внешних сил.

Модели формы.

Конструкции имеют в большинстве случаев сложную форму, отдельные элементы которой можно свести к основным типам:

1. Стержнем или брусом называют тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим.

Стержни могут быть с прямолинейными и криволинейными осями, а также постоянного или переменного сечения.

К прямым стержням относятся балки, оси, валы; к кривым – грузоподъемные крюки, звенья цепей и т.п.

2. Оболочка – тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с прочими размерами.

Оболочки бывают цилиндрические, конические, сферические. К оболочкам относятся тонкостенные резервуары, котлы, купола зданий, корпуса судов, обшивки фюзеляжей, крыльев и т.п.

3. Пластина - тело, ограниченное двумя плоскими или слабоизогнутыми поверхностями, имеющее малую толщину.

Пластинами являются плоские днища и крышки резервуаров, перекрытия инженерных сооружений и т.п.

4. Массив или массивное тело – тело, у которого все три размера одного порядка.

Относятся: фундаменты сооружений, подпорные стенки и т.п.

Модели нагружения.

Силы являются мерой механического взаимодействия элементов конструкций. Силы бывают внешние и внутренние.

Внешние силы – это силы взаимодействия между рассматриваемым элементом конструкции и связанными с ним телами.

Внешние силы бывают объемными и поверхностными.

Объемные силы – это силы инерции и силы тяжести. Они действуют на каждый бесконечно малый элемент объема.

Поверхностные силы обнаруживаются при контактном взаимодействии данного тела с другими телами.

Поверхностные силы бывают сосредоточенными и распределенными.

Р – сосредоточенная сила, Н. Она действует на небольшую часть поверхности тела.

q – интенсивность распределенной нагрузки, Н/м.

Внешние силы могут быть представлены в виде сосредоточенного момента М (Н·м) или распределенного момента m (Н·м/м).

По характеру изменения во времени нагрузки подразделяют на статические и переменные.

Статической называют нагрузку, которая медленно возрастает от нуля до своего номинального значения и остается постоянной в процессе работы детали.

Переменной называют нагрузку, периодически меняющуюся во времени.

Модели разрушения.

Моделям нагружения соответствуют модели разрушения – уравнения (условия), связывающие параметры работоспособности элемента конструкции в момент разрушения с параметрами, обеспечивающими прочность.

В зависимости от условий нагружения рассматривают модели разрушения: статического , малоциклового и усталостного (многоциклового).

Внутренние силы. Метод сечений

Взаимодействие между частями (частицами) внутри элемента конструкции характеризуется внутренними силами.

Внутренние силы представляют собой силы межатомного взаимодействия (связей), возникающие при воздействии на тело внешних нагрузок.

Практика показывает, что внутренние силы определяют прочностную надежность детали (тела).

Для нахождения внутренних сил используют метод сечений . Для этого мысленно рассекают тело на две части, одну часть отбрасывают, другую рассматривают совместно с внешними силами. Внутренние силы распределены по сечению некоторым сложным образом. Поэтому систему внутренних сил приводят к центру тяжести сечения, чтобы можно было определить главный вектор и главный момент М внутренних сил, действующих по сечению. Затем раскладываем главный вектор и главный момент на составляющие по трем осям и получаем внутренние силовые факторы сечения: составляющая N z называется нормальной , или продольной силой в сечении, силы Q x и Q y называются поперечными силами , момент M z (или M к ) называется крутящим моментом , а моменты M х и M y - изгибающими моментами относительно осей х и y , соответственно.

Таким образом, если внешние силы заданы, то внутренние силовые факторы вычисляются как алгебраические суммы проекций сил и моментов, действующих на мысленно отсеченную часть тела.

После определения числовых значений внутренних сил строят эпюры – графики (диаграммы), показывающие как изменяются внутренние силы при переходе от сечения к сечению.

Внутренние силы. Метод сечений

Внешние силы, действующие на реальный объект, чаще всего известны. Обычно необходимо определить внутренние силы (результат взаимодействия между отдельными частями данного тела) которые неизвестны по величине и направлению, но знание которых необходимо для прочностных и деформационных расчетов. Определение внутренних сил осуществляется с помощью так называемого метода сечений , сущность которого заключается в следующем:

Мысленно разрезают тело по интересующему нас сечению.

Отбрасывают одну из частей (независимо какую).

Заменяют действие отброшенной части тела на оставшуюся системой сил, которые в данном случае переходят в разряд внешних. Силы упругости по принципу действия и противодействия всегда взаимны и представляют непрерывно распределенную по сечению систему сил. Их значение и ориентация в каждой точке сечения произвольны, зависят от ориентации сечения относительно тела, величины и направления внешних сил, геометрических размеров тела. Внутренние силы можно привести к главному векторуR и главному моменту М. За точку приведения обычно принимают центр тяжести сечения. Выбрав систему координат Х, У, Z (Z – продольная ось по нормали к поперечному сечению, Х и У – в плоскости этого сечения) и начало системы в центре тяжести, обозначим проекции главного вектора R на координатные оси через N, Q x , Q y , а проекции главного момента М – М х, М у, М k . Эти три силы и три момента называют внутренними силовыми факторами в сечении :

N – продольная сила,

Q x , Q y – поперечные силы,

M k – крутящий момент,

M x , M y – изгибающие моменты.

4. Так как внутренние силы находятся в равновесии с внешними силами, они могут быть определены из уравнений равновесия статики:

Р z =0, P y =0, P x =0,

 M x =0, M y =0, M z =0.

Любой внутренний силовой фактор в сечении равен алгебраической сумме соответствующих внешних силовых факторов, действующих с одной стороны от сечения.

Внутренний силовой фактор в сечении численно равен интегральной сумме соответствующих элементарных внутренних сил или моментов по всей площади сечения:

Классификация основных видов нагружения связана с внутренним силовым фактором, возникающим в сечении. Так, если в поперечных сечениях возникает только продольная сила N, а другие внутренние силовые факторы обращаются в нуль, то на этом участке имеет место растяжение или сжатие, в зависимости от направления силы N. Нагружение, когда в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q, называют сдвигом.

Если в поперечном сечении возникает только крутящий момент М к, то стержень работает на кручение. В случае, когда от внешних сил, приложенных к стержню возникает только изгибающий момент М х (или М у), то такой вид нагружения называют чистым изгибом в плоскости уz (или xz). Если в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом (например, М х) возникает поперечная сила Q y , то такой вид нагружения называют плоским поперечным изгибом (в плоскости yz). Вид нагружения, когда в поперечном сечении стержня возникают только изгибающие моменты М х и М у, называют косым изгибом (плоским или пространственным). При действии в поперечном сечении нормальной силы N и изгибающих моментов М х и М у возникает нагружение, называемое сложным изгибом с растяжением сжатием или внецентренным растяжением (сжатием). При действии в сечении изгибающего момента и крутящего момента возникает изгиб с кручением.

Общим случаем нагружения называют случай, когда в поперечном сечении возникают все шесть внутренних силовых факторов.

К особым видам нагружения следует отнести смятие, когда деформация носит местный характер, не распространяясь на всё тело и продольный изгиб (частный случай общего явления потери устойчивости).

Понятие о напряжениях

Величина внутренних силовых факторов не отражает интенсивности
напряженного состояния тела, близости к опасному состоянию (разрушению). Для оценки интенсивности внутренних сил вводится критерий (числовая мера), называемый напряжением. Если в поперечном сечении F некоторо-го тела выделим элементарную пло-щадку F, рис.1.1, в пределах которой выявлена внутрен-няя сила R, то за среднее напряжение на площадке F может быть принято отношение:

Истинное напряжение в точке можно определить, уменьшая площадку:

Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке. Размерность напряжения принима-ется в Па (Паскаль) или МПа (Мегапас-каль). Полное напря-жение обычно в расчетах не применя-ется, а определяется его нормальная к сечению составля-ющая  - нормальное напряжение, и каса-тельные   ,   – касательные напряжения (рис.1.2). Полные напряжения, приходящиеся на единицу площади, можно выразить через нормальные и касательные напряжения:

Между действующими напряжениями и внутренними силовыми факторами существует следующая связь:

;

Нормальные и касательные напряжения являются функцией внутренних силовых факторов и геометрических характеристик сечения. Эти напряжения, вычисленные по соответствующим формулам, можно назвать фактическими или рабочими.

Наибольшее значение фактических напряжений ограничено предельным напряжением, при котором материал разрушается или появляются недопустимые пластические деформации. Первая из этих границ существует у любого хрупкого материала и называется пределом прочности ( в,  в), вторая имеет место только у пластичных материалов и называется пределом текучести ( т,  т). При действии циклически изменяющихся напряжениях разрушение происходит при достижении так называемого предела выносливости ( R ,  R), значительно меньшего, чем соответствующие пределы прочности.

Основными понятиями науки о сопротивлении материалов являются понятия реального объекта и расчетной схемы, внешних и внутренних силовых факторов, геометрических характеристик, напряжений (полное, нормальное, касательное), деформаций и перемещений (линейные, угловые). Сюда относятся также основные физические законы, общие гипотезы и методы, при помощи которых устанавливаются зависимости между этими понятиями.

При выборе расчетной схемы в геометрию реального объекта вводятся упрощения.

Основным упрощающим приемом в сопротивлении материалов является приведение геометрической формы тела к схеме стержня, оболочки, пластины, массива.

Под стержнем понимается тело, одно из измерений которого (длина) значительно больше двух других. Геометрия стержня может быть образована путем перемещения плоской фигуры вдоль некоторой кривой. Эта кривая называется осью стержня, а плоская фигура, имеющая свой центр тяжести на оси и нормальная к ней, называется поперечным сечением. Для стержня обозначим продольную ось – z , в поперечном сечении главные оси – x и y .

Оболочка – такое геометрическое тело, у которого одно из измерений (толщина) значительно меньше других (радиусов кривизны и габаритных размеров). К оболочкам могут быть отнесены стенки баков, купола и др.

Как и всякая наука, сопротивление материалов идет от простого к сложному, решая сначала элементарные задачи растяжения-сжатия, сдвига, изгиба и кручения, а затем используя эти решения для более сложных задач.

Внешние силы, действующие на реальный объект, чаще всего известны. Обычно необходимо определить внутренние силы (результат взаимодействия между отдельными частями данного тела), которые неизвестны по величине и направлению, но знание которых необходимо для прочностных и деформационных расчетов. Определение внутренних сил осуществляется с помощью так называемого метода сечений , сущность которого заключается в следующем:

4. Внутренние силы находятся в равновесии с внешними силами, они могут быть определены из уравнений равновесия статики:

(1.1)

Любой внутренний силовой фактор в сечении равен алгебраической сумме соответствующих внешних сил, действующих с одной стороны от сечения.

(1.1)

Классификация основных видов нагружения связана с внутренним силовым фактором, возникающим в сечении. Так, если в поперечных сечениях возникает только продольная сила N , а другие внутренние силовые факторы обращаются в нуль, то на этом участке имеет место растяжение или сжатие, в зависимости от направления силы N . Нагружение, когда в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q , называют сдвигом.

Если в поперечном сечении возникает только крутящий момент М к (М z ), то стержень работает на кручение. В случае, когда от внешних сил, приложенных к стержню, возникает только изгибающий момент М х (или М у ), то такой вид нагружения называют чистым изгибом. Если в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом (например, М х ) возникает поперечная сила Q y , то такой вид нагружения называют плоским поперечным изгибом (в плоскости yz ). Вид нагружения, когда в поперечном сечении стержня возникают только изгибающие моменты М х и М у , называют косым изгибом (плоским или пространственным). При действии в поперечном сечении нормальной силы N и изгибающих моментов М х и М у возникает нагружение, называемое сложным изгибом с растяжением (сжатием) или внецентренным растяжением (сжатием). При действии в сечении изгибающего момента и крутящего момента возникает изгиб с кручением.

Общим случаем нагружения называют случай, когда в поперечном сечении возникают все шесть внутренних силовых факторов.

К особым видам нагружения следует отнести смятие, когда деформация носит местный характер, не распространяясь на все тело, и продольный изгиб (частный случай общего явления потери устойчивости).

Находящемся в равновесии под действием .

Рассмотрим идеально упругий призматический стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.2, а).

Выделим внутри стержня какие-либо две частицы K и L, расположенные на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Для большей наглядности предположим, что между этими частицами имеется некоторая пружинка, удерживающая их на определенном расстоянии друг от друга. Пусть натяжение пружинки равно нулю.

Приложим теперь к стержню растягивающую силу (рис. 1.2, б ). Пусть в результате деформации стержня, частица K перейдет в положение , а частица L – в положение . Соединяющая эти частицы пружинка при этом растянется. После снятия внешней нагрузки частицы вернутся в первоначальное положение K и L благодаря усилию, которое возникло в пружинке. Сила, которая возникла между частицами (в пружинке) в результате деформации идеально упругого стержня, называются силой или внутренней силой. Она может быть найдена методом сечений .

Этапы метода сечений

Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить .

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.

Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.

Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами, заменим действие отброшенной части (рис. 1.3, б).

Внутренние силы в методе сечений

Полученную бесконечную систему сил по правилам теоретической механики можно привести к центру тяжести поперечного сечения. В результате получим главный вектор R и главный момент M (рис. 1.3, в).

Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов , возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы (рис. 1.3, г) и три момента (рис. 1.3, д).