Формулы для расчета температурного поля и теплового потока в частных задачах стационарной и нестационарной теплопроводности получают исходя из математического описания (математической модели) процесса. Основу модели составляет дифференциальное уравнение теплопроводности, которое выводится с привлечением первого закона термодинамики для тел, не совершающих работы, и закона теплопроводности Фурье. Дифференциальное уравнение физического процесса обычно выводится при тех или иных допущениях, упрощающих процесс. Поэтому получаемое уравнение описывает класс процессов только в пределах принятых допущений. Каждая конкретная задача описывается соответствующими условиями однозначности. Таким образом, математическое описание процесса теплопроводности включает дифференциальное уравнение теплопроводности и условия однозначности.

Рассмотрим вывод дифференциального уравнения теплопроводности при следующих допущениях:

• а) тело однородно и анизотропно;
• б) коэффициент теплопроводности зависит от температуры;
• в) деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, очень мала по сравнению с самим объемом;
• г) внутри тела имеются равномерно распределенные внутренние источники теплоты q v = f(x, у, z, т) = const;
• д) перемещение макрочастиц тела относительно друг друга (конвекция) отсутствует.

В теле с принятыми характеристиками выделяем элементарный объем в форме параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, определенно ориентированный в ортогональной системе координат (рис. 14.1). В соответствии с первым законом термодинамики для тел, не совершающих работы, изменение внутренней энергии dU вещества в выделенном объеме за время dx равно сумме теплоты, поступающей

Рис. 14.1.

в объем вследствие теплопроводности dQ x , и теплоты, выделенной внутренними источниками dQ 2 ".

Из термодинамики известно, что изменение внутренней энергии вещества в объеме dV за время dx равно

где dG = рdV - масса вещества; р - плотность; с - удельная массовая теплоемкость (для сжимаемых жидкостей c = c v (изохорной теплоемкости)).

Количество энергии, выделенное внутренними источниками,

где q v - объемная плотность внутренних источников теплоты, Вт/м 3 .

Тепловой поток, поступающий в объем теплопроводностью, разделим на три составляющих соответственно направлению осей координат: Через противоположные грани теплота будет

отводиться в количестве соответственно Разница между количеством подведенной и отведенной теплоты эквивалентна изменению внутренней энергии вследствие теплопроводности dQ v Представим эту величину как сумму составляющих по осям координат:

Тогда в направлении оси х имеем

Поскольку -

плотности тепловых потоков на поотивоположных гоанях.

Функция q x+dx является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора:

Ограничиваясь двумя первыми членами ряда и подставляя в (14.6), получаем

Аналогичным образом получаем:

После подстановки (14.8)-(14.10) в (14.4) имеем

Подставляя (14.2), (14.3) и (14.11) в (14.1), получаем дифференциальное уравнение переноса теплоты теплопроводностью с учетом внутренних источников:

Согласно закону теплопроводности Фурье записываем выражения для проекций на оси координат плотности теплового потока:

где Х х, Х у, X z - коэффициенты теплопроводности в направлении координатных осей (тело анизотропное).

Подставляя эти выражения в (14.12), получаем

Уравнение (14.13) называют дифференциальным уравнением теплопроводности для анизотропных тел с независимыми от температуры физическими свойствами.

Если принять X = const, а тело изотропным, уравнение теплопроводности принимает вид

Здесь а = Х/(ср), м 2 /с, - коэффициент температуропроводности,

который является физическим параметром вещества, характеризующим скорость изменения температуры в процессах нагревания или охлаждения. Тела, выполненные из вещества с большим коэффициентом температуропроводности, при прочих равных условиях нагреваются и охлаждаются быстрее.

В цилиндрической системе координат дифференциальное уравнение теплопроводности для изотропного тела с постоянными физическими свойствами имеет вид

где г, z, Ф - соответственно радиальная, осевая и угловая координаты.

Уравнения (14.13), (14.14) и (14.15) описывают процесс теплопроводности в самом общем виде. Конкретные задачи отличаются условиями однозначности , т.е. описанием особенностей протекания рассматриваемого процесса.

Условия однозначности. Исходя из физических представлений о теплопроводности можно выделить факторы, влияющие на процесс: физические свойства вещества; размеры и форма тела; начальное распределение температуры; условия теплообмена на поверхности (границе) тела. Таким образом, условия однозначности подразделяются на физические, геометрические, начальные и граничные (краевые).

Физическими условиями задаются физические параметры вещества X, с, р и распределение внутренних источников.

Геометрическими условиями задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс.

Начальными условиями задается распределение температуры в теле в начальный момент времени t = /(х, у, z ) при т = 0. Начальные условия имеют значение при рассмотрении нестационарных процессов.

В зависимости от характера теплообмена на границе тела граничные (краевые) условия подразделяются на четыре рода.

Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности t n в течение процесса

В частном случае температура поверхности может оставаться постоянной (/ п = const).

Граничные условия первого рода имеют место, например, при контактном нагреве в процессах склеивания фанеры, прессования древесно-стружечных и древесно-волокнистых плит и т.п.

Граничные условия второго рода. Задается распределение значений плотности теплового потока на поверхности тела в течение процесса

В частном случае тепловой поток на поверхности может оставаться постоянным (

Граничные условия третьего рода соответствуют конвективному теплообмену на поверхности. При этих условиях должна задаваться температура жидкости, в которой находится тело, Г ж = /(т), и коэффициент теплоотдачи ос. В общем случае коэффициент теплоотдачи - переменная величина, поэтому должен задаваться закон его изменения а =/(т). Возможен частный случай: / ж = const; а = const.

Граничные условия четвертого рода характеризуют условия теплообмена тел с различными коэффициентами теплопроводности при их идеальном контакте, когда теплота передается теплопроводностью и тепловые потоки по разные стороны поверхности контакта равны:

Принятые физические допущения, уравнение, выведенное при этих допущениях, и условия однозначности составляют аналитическое описание (математическую модель) процессов теплопроводности. Успех использования полученной модели для решения конкретной задачи будет зависеть от того, насколько принятые допущения и условия однозначности адекватны реальным условиям.

Уравнения (14.14) и (14.15) решаются достаточно просто аналитически для одномерного стационарного теплового режима. Решения рассмотрены ниже. Для двумерных и трехмерных стационарных процессов применяются приближенные численные методы

Для решения уравнений (14.13)-(14.15) в условиях нестационарного теплового режима используется ряд методов, рассмотренных подробно в специальной литературе . Известны точные и приближенные аналитические методы, численные методы и др.

Численное решение уравнения теплопроводности осуществляется в основном методом конечных разностей . Выбор того или иного метода решения зависит от условий задачи. В результате решения аналитическими методами получают формулы, применимые для решения круга инженерных задач в соответствующих условиях. Численные методы дают возможность получить температурное поле t=f(x, у, z, т) в виде набора дискретных значений температуры в различных точках в фиксированные моменты времени для конкретной задачи. Поэтому использование аналитических методов предпочтительно, однако это не всегда возможно для многомерных задач и сложных граничных условий.

Вывод уравнения теплопроводности

Представим однородное тело и вычленим из него элементарный объем со сторонами, (рисунок 1).

Рисунок 1. Контрольный объем в прямоугольной системе координат

Входящие потоки тепла, расположенные перпендикулярно к поверхностям обозначим как, . Потоки на противоположных поверхностях выразим из рядов Тейлора:

Внутри тела так же могут быть внутренние источники тепла, если и стоки, если:

Изменение внутренней энергии:

Подставим уравнения (1.1.1) в получившееся уравнение (1.1.5):

Подставив их в уравнение (1.1.6), получим уравнение теплопроводности в общем виде для трехмерного пространства:

Введем коэффициент температуропроводности:

и опустим внутренние источники тепла. Получим уравнение теплопроводности в трехмерном пространстве без внутренних источников тепла:

Условия однозначности

Уравнение (1.1) описывает процесс в общем виде. Для ее применения к конкретной задаче необходимы дополнительные условия, называемые условиями однозначности. Данные условия включают в себя геометрические(форма и размеры тела), физические (физические свойства тела), временные(начальное распределение температуры) и граничные условия(описывают процесс теплообмена с окружающей средой).

Граничные условия можно разделить на три основных рода :

1. Граничные условия Дирихле: задано значение функции на границе.

В случае задачи теплопроводности задают значения температуры на поверхности тела.

2. Граничные условия Неймана: задана нормальная производная функции на границе.

Задают плотность теплового потока на поверхности тела.

3. Граничные условия Робена: задана линейная комбинация значения функции и ее производной на границе.

Описывают теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой по закону Ньютона-Рихмана.

В данной работе будут использованы только граничные условия Дирихле, в силу сложности реализации остальных граничных условий.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при действии мгновенного сосредоточенного источника в неограниченной среде называется фундаментальным решением.

Мгновенный точечный источник

Для бесконечного тела, в начале координат которого действует мгновенный точечный источник, решение дифференциального уравнения теплопроводности следующее:

где T - температура точки с координатами x,y,z; Q - количество тепла, выделившееся в момент t = 0 в начале координат; t - время, прошедшее с момента введения тепла; R - расстояние от начала координат, где действует источник, до рассматриваемой точки (радиус - вектор). У равнение (4) является фундаментальным решением уравнения теплопроводности при действии мгновенного точечного источника в бесконечном теле.

В любой момент t ? 0 температура самого источника (R = 0) отлична от нуля и с течением времени уменьшается по закону t -3/2 , оставаясь выше температур других точек тела. Вместе с удалением от источника температура понижается по закону нормального распределения exp(-R 2 /4at). Изотермическими поверхностями являются сферы с центром в источнике, и температурное поле в данный момент времени зависит лишь от радиуса. В начальный момент времени (t = 0) температура не определена (T = ?), что связано со схемой сосредоточенного источника, в котором в бесконечно малом объеме в начальный момент времени содержится конечное количество тепла Q.

На основе решения для бесконечного тела (4) можно вывести уравнение температурного поля для схемы полубесконечного тела, которая применяется для описания тепловых процессов в массивных изделиях. Пусть в полубесконечном теле, ограниченном поверхность S - S действует мгновенный точечный источник Д (рис. 4). Для массивных тел тепловые потоки внутри значительно больше потока теплоотдачи с поверхности. Поэтому поверхность полубесконечного тела можно считать адиабатической границей, для которой (см.п. 1.4)

Дополним полубесконечную область z > 0 до бесконечной, дбавив область z < 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела

По такой же схеме моделируется и изотермическая граница (граничное условие 1-го рода) T S =0, но в этом случае T = T Д - T Ф. Следует подчеркнуть, что источник нагрева не может действовать на изотермической поверхности.

Графическое изображение температурного поля (6) требует четкого понимания пространственного положения поверхности, на которой строится распределение температуры. В декартовой системе координат (x, y, z) контрольными сечениями полубесконечного тела при действии точечного источника являются плоскости xy, xz и yz (рис. 5, а). Для полубесконечного тела изотермические поверхности являются полусферами (температура зависит от радиуса - вектора R). В плоскости xy изотермы, как сечение поверхности плоскостью

z=const, являются окружностями, а в других плоскостях - полуокружностями (рис. 5, б). Температурное поле мгновенного точечного источника в разные моменты времени представлено на рис. (6) (см. П 1.1.). На рисунке температура графически ограничена значением T=1000K|.

Температура в любой точке вне источника сначала возрастает, а затем убывает (рис.1.3). Момент достижения максимального значения температуры в данной точке найдется из условия

Дифференцируя выражение (6) по времени, получаем формулу для определения времени, когда температура максимальна

Максимальные темперы точек полубесконечного тела при действии точечного источника уменьшаются с расстоянием как R 3 .

Ниже будут рассмотрены несколько задач на определение температурных полей для относительно простых геометрических и физических условий, которые допускают несложные по форме аналитические решения и вместе с тем дают полезную иллюстрацию характерных физических процессов, связанных с теплопередачей в твердом теле.

Рассмотрим стержень с термоизолированной боковой поверхностью (рис. 38). В этом случае теплопередача может осуществляться вдоль стержня. Если совместить стержень с осью декартовой системы координат, то стационарное уравнение теплопроводности будет иметь вид

При постоянных значениях коэффициента теплопроводности объемной мощности тепловыделения последнее уравнение можно дважды проинтегрировать

(75)

Постоянные интегрирования можно найти из граничных условий. Например, если на концах стержня задана температура , . Тогда из (75) имеем

Отсюда найдем постоянные интегрирования и . Решение при указанных граничных условиях получит вид

Из последней формулы видно, что при отсутствии источников тепловыделения . Температура в стержне меняется по линейному закону от одного граничного значения до другого

Рассмотрим теперь другое сочетание граничных условий. Пусть на левом конце стержня внешний источник создает тепловой поток . На правом конце стержня сохраним прежнее условие, таким образом, имеем

Выражая эти условия с помощью общего интеграла (75), получим систему относительно постоянных интегрирования

Найдя из полученной системы неизвестные постоянные, получим решение в виде

Как и в предыдущем примере при отсутствии внутренних источников тепловыделения распределение температуры вдоль стержня будет линейным

При этом температура на левом конце стержня, где расположен внешний источник тепла, будет равна .

В качестве следующего примера найдем стационарное распределение температуры по радиусу в сплошном длинном круговом цилиндре (рис. 39). Существенно упростит задачу в этом случае применение цилиндрической системы координат. В случае цилиндра с большим отношением длины к радиусу и постоянным распределени

ем внутреннего источника тепловыделения, температуру вдали от концов цилиндра можно считать независящей от осевой координаты цилиндрической системы . Тогда стационарное уравнение теплопроводности (71) получит вид

Двукратное интегрирование последнего уравнения (при постоянной ) дает

Условие симметрии распределения температуры на оси цилиндра () дает

Откуда имеем

Последнее условие будет выполнено при . Пусть на поверхности цилиндра () задана температура . Тогда можно найти вторую постоянную интегрирования из уравнения

Отсюда найдем и запишем решение в окончательном виде

В качестве численного примера применения полученного результата рассмотрим распределение температуры в плазме цилиндрического дугового разряда радиусом мм. Граница разрядного канала формируется как область, где прекращаются ионизационные процессы. Выше мы видели, что заметная ионизация газа при нагреве прекращается при K. Поэтому приведенное значение можно принять в качестве граничного K. Объемную плотность мощности тепловыделения в плазме разряда найдем из закона Джоуля–Ленца , где σ - электропроводность плазмы, E - напряженность электрического поля в канале разряда. Характерные для дугового разряда значения составляют 1/Ом м, В/м. Теплопроводность дуговой плазмы выше, чем в нейтральном газе, при температурах порядка 10000 К ее значение может принято равным . Таким образом, параметр . Распределение температуры по радиусу показано на рис. 39. При этом температура на оси разряда () составит 8000 K.

В следующем примере мы рассмотрим тепловое поле, обладающее сферической симметрией. Такие условия возникают, в частности, если источник тепловыделения малого размера размещен в крупном массиве, например межвитковое дуговое замыкание в обмотке крупной электрической машины. В этом случае совмещая центр сферической системы координат с источником тепловыделения мы можем привести стационарное уравнение теплопроводности (64) к виду:

Дважды интегрируя это уравнение, найдем

Возвращаясь к нашему примеру, предположим, что дуговое замыкание имеет место внутри сферической полости радиуса (рис. 40). Примем сопротивление дугового разряда равным Ом, ток разряда А. Тогда мощность, выделяемая в полости составит . Рассмотрим решение вне области действия источника тепловыделения .

Тогда интеграл уравнения теплопроводности упростится

Для вычисления постоянных интегрирования воспользуемся во-первых условием в бесконечно удаленных от места разряда точках , где C - температура окружающей среды. Из последнего выражения находим . Для определения постоянной примем, что выделяющаяся в разряде тепловая энергия равномерно распределяется по поверхности сферической полости радиуса . Поэтому тепловой поток на границе полости составит

Поскольку , то из двух последних уравнений имеем

а решение в окончательном виде

При этом температура на границе полости ( мм) при Вт/мК составит K (рис. 40).

В качестве первого примера этой группы рассмотрим тепловое поле в сечении провода круглого сечения, имеющего канал охлаждения (рис. 41, а ). Провода с каналами охлаждения применяют в обмотках мощных электрических машин и катушек для получения сильных магнитных полей. Для данных устройств характерно длительное протекание токов с амплитудой в сотни и даже тысячи Ампер. Например, прокачивается жидкость, например вода, или газ (водород, воздух), что обеспечивает отбор тепловой энергии с внутренней поверхности канала и охлаждение провода в целом. В данном случае мы имеем дело с принудительным конвективным охлаждением поверхности канала, для которой можно использовать обоснованное выше граничное условие третьего рода (67). Если совместить ось цилиндрической системы координат с осью провода, то температура будет зависеть только от радиальной координаты. Общий интеграл стационарного уравнения теплопроводности для этого случая был получен нами ранее

Объемная плотность мощности тепловыделения находится из закона Джоуля-Ленца: , j - плотность тока, σ - электропроводность,

где R - радиус сечения провода, a - радиус охлаждающего канала. Провод снаружи окружен слоями изоляции, обладающей, по сравнению с проводником, относительно низкой теплопроводностью. Поэтому в первом приближении примем внешнюю поверхность провода теплоизолированной, т. е. тепловой поток на ней

На поверхности охлаждающего канала тепловой поток определяется условием третьего рода

где - коэффициент теплоотдачи, - температура охлаждающего потока. Знак минус в правой части взят вследствие того, что нормаль к внутренней поверхности канала направлена в противоположном к оси направлении.

Подставляя в первое из выписанных граничных условий выражение для температуры (76), получим

откуда . Второе граничное условие дает

откуда находим

Вместе с тем из (76)

Сравнивая последние два выражения, найдем

После подстановки найденных постоянных в общее решение (76) и преобразований получим

Температура на границах сечения провода из полученного решения будет рассчитываться по формулам

Распределение температуры по радиусу сечения для провода с каналом охлаждения с параметрами: A, Вт/мК, 1/Ом м, о С, мм, см показано на рис. 41, б .

Из рис. 41, б следует, что в пределах сечения провода изменение температуры относительно мало по сравнению с ее средней величиной, что объясняется высокой теплопроводностью λ и относительно малыми размерами сечения провода.

Иная ситуация возникает в распределении температуры вдоль провода, состоящего из отдельных участков, контактирующих друг с другом. Ухудшение качества контактов между соединяемыми проводниками приводит к повышению тепловыделения в месте соединения двух проводов по сравнению с самим проводом. Дистанционное измерение температуры провода с помощью тепловизоров или пирометров позволяет диагностировать качество контактных соединений.

Рассчитаем распределение температуры вдоль провода при наличии дефектного контакта. Предыдущий пример показал, что даже в самых жестких условиях изменение температуры в пределах сечения провода весьма мало. Поэтому для нашего расчета можно в первом приближении принять распределение температуры в пределах сечения провода однородным. Распределение тепловыделения вдоль провода зависит от распределения электрического сопротивления вдоль провода, которое однородно вдали от контакта и возрастает при приближении к нему. Совместим ось декартовой системы координат с осью провода, а начало координат - с центром контактной области (рис. 42). В качестве модели распределения сопротивления вдоль провода возьмем следующее распределение погонного сопротивления

где , - параметр, характеризующий линейный размер контактной области . Мощность тепловыделения на единицу длины провода составляет . В расчете на единицу объема мощность тепловыделения равна

где S - сечение провода. Охлаждение провода осуществляется естественной конвекцией с его поверхности. Конвективный тепловой поток с единицы длины провода есть

где α - коэффициент теплоотдачи, - температура окружающего воздуха, p - периметр сечения провода. Теплоотдача в окружающую среду в расчете на единицу объема проводника составит

Стационарное распределение температуры вдоль провода будет подчиняться уравнению теплопроводности

Для дальнейших преобразований полученного уравнения примем постоянным вдоль провода коэффициент теплопроводности , подставим полученные выше выражения для и , а также в качестве искомой функции вместо T возьмем :

придем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

Решение полученного уравнения будем искать в виде суммы общего решения однородного уравнения

и частного решения в форме правой части

.

Механика сплошных сред

Сплошная среда

См. также: Портал:Физика

Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоёмкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

• В задачах диффузии или теплопроводности в жидкостях и газах, находящихся в движении, вместо уравнения диффузии применяется уравнение переноса , расширяющее уравнение диффузии на тот случай, когда пренебрежением макроскопическим движением недопустимо.

• Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера , отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Общий вид

Уравнение обычно записывается так:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∇ ⋅ [ D (φ , r) ∇ φ (r , t) ] , {\displaystyle {\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\varphi ,\mathbf {r})\ \nabla \varphi (\mathbf {r} ,t){\big ]},}

где φ(r , t ) - плотность диффундирующего вещества в точке r и во время t и D (φ, r ) - обобщённый коэффициент диффузии для плотности φ в точке r ; ∇ - оператор набла . Если коэффициент диффузии зависит от плотности - уравнение нелинейно, в противном случае - линейно.

Если D - симметричный положительно определённый оператор , уравнение описывает анизотропную диффузию:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x i [ D i j (φ , r) ∂ φ (r , t) ∂ x j ] . {\displaystyle {\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left.}

Если D постоянное, то уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению:

∂ ϕ (r , t) ∂ t = D ∇ 2 ϕ (r , t) , {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),}

История происхождения

Нестационарное уравнение

Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение . Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности .

Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) D {\displaystyle D} уравнение имеет вид:

∂ ∂ t c (x , t) = ∂ ∂ x D ∂ ∂ x c (x , t) + f (x , t) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)={\frac {\partial }{\partial x}}D{\frac {\partial }{\partial x}}{c(x,\;t)}+f(x,\;t).}

При постоянном D {\displaystyle D} приобретает вид:

∂ ∂ t c (x , t) = D ∂ 2 ∂ x 2 c (x , t) + f (x , t) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)=D{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{c(x,\;t)}+f(x,\;t),}

где c (x , t) {\displaystyle c(x,\;t)} - концентрация диффундирующего вещества, a f (x , t) {\displaystyle f(x,\;t)} - функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

∂ ∂ t c (r → , t) = (∇ , D ∇ c (r → , t)) + f (r → , t) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}c({\vec {r}},\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r}},\;t))+f({\vec {r}},\;t),}

где ∇ = (∂ x , ∂ y , ∂ z) {\displaystyle \nabla =(\partial _{x},\;\partial _{y},\;\partial _{z})} - оператор набла , а (,) {\displaystyle (\;,\;)} - скалярное произведение. Оно также может быть записано как

∂ t c = d i v (D g r a d c) + f , {\displaystyle \partial _{t}c=\mathbf {div} \,(D\,\mathbf {grad} \,c)+f,}

а при постоянном D {\displaystyle D} приобретает вид:

∂ ∂ t c (r → , t) = D Δ c (r → , t) + f (r → , t) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}c({\vec {r}},\;t)=D\Delta c({\vec {r}},\;t)+f({\vec {r}},\;t),}

где Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}} - оператор Лапласа .

n -мерный случай

N {\displaystyle n} -мерный случай - прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать n {\displaystyle n} -мерные версии соответствующих операторов:

∇ = (∂ 1 , ∂ 2 , … , ∂ n) , {\displaystyle \nabla =(\partial _{1},\;\partial _{2},\;\ldots ,\;\partial _{n}),} Δ = ∇ 2 = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + … + ∂ n 2 . {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\partial _{1}^{2}+\partial _{2}^{2}+\ldots +\partial _{n}^{2}.}

Это касается и двумерного случая n = 2 {\displaystyle n=2} .

Мотивация

A.

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

Φ = − ϰ ∂ c ∂ x {\displaystyle \Phi =-\varkappa {\frac {\partial c}{\partial x}}} (одномерный случай), j = − ϰ ∇ c {\displaystyle \mathbf {j} =-\varkappa \nabla c} (для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

∂ c ∂ t + ∂ Φ ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}=0} (одномерный случай), ∂ c ∂ t + d i v j = 0 {\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathrm {div} \,\mathbf {j} =0} (для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).

• Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).
• Также предполагается, что на поток диффундирующего вещества (примеси) не действуют никакие внешние силы, в том числе сила тяжести (пассивная примесь).

B.

Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или n {\displaystyle n} -мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции c {\displaystyle c} в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае - с ограниченной по времени памятью).

Решение

c (x , t) = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) c f (x − x ′ , t) d x ′ = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) 1 4 π D t exp ⁡ (− (x − x ′) 2 4 D t) d x ′ . {\displaystyle c(x,\;t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }c(x",\;0)c_{f}(x-x",\;t)\,dx"=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }c(x",\;0){\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {(x-x")^{2}}{4Dt}}\right)\,dx".}

Физические замечания

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше - и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнение

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности , относящееся к классу эллиптических уравнений . Его общий вид:

− (∇ , D ∇ c (r →)) = f (r →) . {\displaystyle -(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r}}))=f({\vec {r}}).} Δ c (r →) = − f (r →) D , {\displaystyle \Delta c({\vec {r}})=-{\frac {f({\vec {r}})}{D}},} Δ c (r →) = 0. {\displaystyle \Delta c({\vec {r}})=0.}

Постановка краевых задач

• Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

и , удовлетворяющее условию u (x , t 0) = φ (x) (− ∞ < x < + ∞) {\displaystyle u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty , где - заданная функция.

• Первая краевая задача для полубесконечного стержня

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области − ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ {\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty } и t ⩾ t 0 {\displaystyle t\geqslant t_{0}} , удовлетворяющее условиям

{ u (x , t 0) = φ (x) , (0 < x < ∞) u (0 , t) = μ (t) , (t ⩾ t 0) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0

где φ (x) {\displaystyle \varphi (x)} и μ (t) {\displaystyle \mu (t)} - заданные функции.

• Краевая задача без начальных условий

Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области 0 ⩽ x ⩽ l {\displaystyle 0\leqslant x\leqslant l} и − ∞ < t {\displaystyle -\infty , удовлетворяющее условиям

{ u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t),\end{array}}\right.}

где и - заданные функции.

• Краевые задачи для ограниченного стержня

Рассмотрим следующую краевую задачу:

u t = a 2 u x x + f (x , t) , 0 < x < l , 0 < t ⩽ T {\displaystyle u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0 - уравнение теплопроводности.

Если f (x , t) = 0 {\displaystyle f(x,\;t)=0} , то такое уравнение называют однородным , в противном случае - неоднородным .

u (x , 0) = φ (x) , 0 ⩽ x ⩽ l {\displaystyle u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l} - начальное условие в момент времени t = 0 {\displaystyle t=0} , температура в точке x {\displaystyle x} задается функцией φ (x) {\displaystyle \varphi (x)} . u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , } 0 ⩽ t ⩽ T {\displaystyle \left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t),\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T} - краевые условия. Функции μ 1 (t) {\displaystyle \mu _{1}(t)} и μ 2 (t) {\displaystyle \mu _{2}(t)} задают значение температуры в граничных точках 0 и l {\displaystyle l} в любой момент времени t {\displaystyle t} .

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай ( α i 2 + β i 2 ≠ 0 , (i = 1 , 2) {\displaystyle \alpha _{i}^{2}+\beta _{i}^{2}\neq 0,\;(i=1,\;2)} ).

α 1 u x (0 , t) + β 1 u (0 , t) = μ 1 (t) , α 2 u x (l , t) + β 2 u (l , t) = μ 2 (t) . {\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}u_{x}(0,\;t)+\beta _{1}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\\alpha _{2}u_{x}(l,\;t)+\beta _{2}u(l,\;t)=\mu _{2}(t).\end{array}}}

Если α i = 0 , (i = 1 , 2) {\displaystyle \alpha _{i}=0,\;(i=1,\;2)} , то такое условие называют условием первого рода , если β i = 0 , (i = 1 , 2) {\displaystyle \beta _{i}=0,\;(i=1,\;2)} - второго рода , а если α i {\displaystyle \alpha _{i}} и β i {\displaystyle \beta _{i}} отличны от нуля, то условием третьего рода . Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности - первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимума

Пусть функция в пространстве D × [ 0 , T ] , D ∈ R n {\displaystyle D\times ,\;D\in \mathbb {R} ^{n}} , удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности ∂ u ∂ t − a 2 Δ u = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0} , причем D {\displaystyle D} - ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция u (x , t) {\displaystyle u(x,\;t)} может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области D {\displaystyle D} .

Примечания