§7. Системы линейных уравнений

Равносильные системы. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

Пусть С – поле комплексных чисел. Уравнение вида

где
, называется линейным уравнением с n неизвестными
. Упорядоченный набор
,
называется решением уравнения (1), если .

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:

- коэффициенты системы линейных уравнений, - свободные члены.

Прямоугольная таблица

,

называется матрицей размера
. Введем обозначения: - i -тая строка матрицы,
- k -тый столбец матрицы. Матрицу А еще обозначают
или
.

Следующие преобразования строк матрицы А называются элементарными:
) исключение нулевой строки; ) умножение всех элементов любой строки на число
; ) прибавление к любой строке любой другой строки, умноженной на
. Аналогичные преобразования столбцов матрицы А называются элементарными преобразованиями матрицы А .

Первый ненулевой элемент (считая слева направо) любой строки матрицы А называется ведущим элементом этой строки.

Определение . Матрица
называется ступенчатой, если выполняются следующие условия:

1) нулевые строки матрицы (если они есть)находятся ниже ненулевых;

2) если
ведущие элементы строк матрицы, то

Любую ненулевую матрицу А посредством строчечных элементарных преобразований можно привести к ступенчатой матрице.

Пример . Приведем матрицу
к ступенчатой матрице:
~
~
.

Матрицу , составленную из коэффициентов системы линейных уравнений (2), называют основной матрицей системы. Матрицу
, полученную из присоединением столбца свободных членов, называют расширенной матрицей системы.

Упорядоченный набор , называется решением системы линейных уравнений (2), если он является решением каждого линейного уравнения этой системы.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Следующие преобразования системы линейных уравнений называются элементарными:

) исключение из системы уравнения вида ;

) умножение обеих частей любого уравнения на
,
;

) прибавление к любому уравнению любого другого уравнения, умноженного на ,.

Две системы линейных уравнений от n неизвестных называются равносильными, если они не совместны или множеств их решений совпадают.

Теорема . Если одна система линейных уравнений получена из другой посредством элементарных преобразований типа ), ), ), то она равносильна исходной.

Решение системы линейных уравнений методом исключения неизвестных (методом Гаусса).

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

Если система (1) содержит уравнение вида

то эта система не совместна.

Предположим, что система (1) не содержит уравнение вида (2). Пусть в системе (1) коэффициент при переменной x 1 в первом уравнении
(если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что , так как не все коэффициенты при x 1 равны нулю). Применим к системе линейных уравнений (1) следующую цепочку элементарных преобразований:

, прибавим ко второму уравнению;

Первое уравнение, умноженное на
, прибавим к третьему уравнению и так далее;

Первое уравнение, умноженное на
, прибавим к последнему уравнению системы.

В результате получим систему линейных уравнений (в дальнейшем будем использовать сокращение CЛУ для системы линейных уравнений) равносильную системе (1). Может оказаться, что в полученной системе ни одно уравнение с номером i , i2, не содержит неизвестную x 2 . Пусть k такое наименьшее натуральное число, что неизвестная x k содержится хотя бы в одном уравнении с номером i , i 2. Тогда полученная система уравнений имеет вид:

Система (3) равносильна системе (1). Применим теперь к подсистеме
системы линейных уравнений (3) рассуждения, которые были применены к СЛУ (1) . И так далее. В результате этого процесса приходим к одному из двух исходов.

1. Получим СЛУ, содержащую уравнение вида (2). В этом случае СЛУ (1) несовместна.

2. Элементарные преобразования, примененные к СЛУ (1), не приводят к системе, содержащей уравнение вида (2). В этом случае СЛУ (1) элементарными преобразованиями
приводится к системе уравнений вида:

(4)

где, 1< k < l < . . .< s ,

Система линейных уравнений вида (4) называется ступенчатой. Здесь возможны следующие два случая.

А) r = n , тогда система (4) имеет вид

(5)

Система (5) имеет единственное решение. Следовательно, и система (1) имеет единственное решение.

Б) r < n . В этом случае неизвестные
в системе (4) называются главными неизвестными, а остальные неизвестные в этой системе – свободными (их число равно n - r ). Придадим произвольные числовые значения свободным неизвестным, тогда СЛУ (4) будет иметь такой же вид, что и система (5). Из нее главные неизвестные определяются однозначно. Таким образом, система имеет решение, то есть является совместной. Так как свободным неизвестным придавали произвольные числовые значения из С , то система (4) является неопределенной. Следовательно, и система (1) является неопределенной. Выразив в СЛУ (4) главные неизвестные через свободные неизвестные, получим систему, которая называется общим решением системы (1).

Пример . Решить систему линейных уравнений методом Г аусса

Выпишем расширенную матрицу системы линейных уравнений и посредством элементарных строчечных преобразований приведем ее к ступенчатой матрице:

~

~
~
~

~ . По полученной матрице восстановим систему линейных уравнений:
Эта система равносильна исходной системе. В качестве главных неизвестных возьмем тогда
свободные неизвестные. Выразим главные неизвестные только через свободные неизвестные:

Получили общее решение СЛУ. Пустьтогда

(5, 0, -5, 0, 1) – частное решение СЛУ.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти обще решение и одно частное решение системы уравнений методом исключения неизвестных:

1)
2)

4)
6)

2. Найти при различных значений параметра а общее решение системы уравнений:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§8. Векторные пространства

Понятие векторного пространства. Простейшие свойства.

Пусть V ≠ Ø, (F , +,∙) – поле. Элементы поля будем называть скалярами.

Отображение φ : F × V –> V называется операцией умножения элементов множества V на скаляры из поля F . Обозначим φ (λ,а ) через λа произведение элемента а на скаляр λ .

Определение. Множество V с заданной алгебраической операцией сложения элементов множества V и умножения элементов множества V на скаляры из поля F называется векторным пространством над полем F, если выполняются аксиомы:

Пример . Пусть F поле, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n ) | a i F (i =)}. Каждый элемент множества F n называется n -мерным арифметическим вектором. Введем операцию сложения n -мерных векторов и умножения n -мерного вектора на скаляр из поля F . Пусть
. Положим = (a 1 + b 1 , … , a n + b n ), = (λa 1 , λa 2 , … , λa n ). Множество F n относительно введенных операций является векторным пространством, и оно называется n -мерным арифметическим векторным пространством над полем F .

Пусть V - векторное пространство над полем F , ,
. Имеют место следующие свойства:

1)
;

3)
;

4)
;

Доказательство свойства 3.

Из равенства по закону сокращения в группе (V ,+) имеем
.

Линейная зависимость, независимость систем векторов.

Пусть V – векторное пространство над полем F ,

. Вектор называется линейной комбинацией системы векторов
. Множество всех линейных комбинаций системы векторов называется линейной оболочкой этой системы векторов и обозначается .

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие скаляры
не все равные нулю, что

Если равенство (1) выполняется тогда и только тогда, когда λ 1 = λ 2 = … = =λ m =0, то система векторов называется линейно независимой.

Пример. Выяснить является ли система векторов = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) пространства R 3 линейно зависимой или независимой.

Решение. Пусть λ 1 , λ 2 , λ 3
и

 |=> (0,0,0) – решение системы. Следовательно, система векторов линейно независимая.

Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.

1. Система векторов , содержащая хотя бы один нулевой вектор, является линейно зависимой.

2.Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

3. Система векторов , где
является линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор этой системы отличный от вектора является линейной комбинацией предшествующих ему векторов.

4. Если система векторов линейно независимая, а система векторов
линейно зависимая, то вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов и притом единственным образом.

Доказательство. Так как система векторов линейно зависимая, то
не все равные нулю, что

В векторном равенстве (2) λ m +1 ≠ 0. Если предположить, что λ m +1 =0, то из (2) => Отсюда следует, что система векторов линейно зависимая, так как λ 1 , λ 2 , … , λ m не все равны нулю. Пришли к противоречию с условием. Из (1) => где
.

Пусть вектор можно представить также в виде: Тогда из векторного равенства
в силу линейной независимости системы векторов следует, что
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Пусть даны две системы векторов и
, m >k . Если каждый вектор системы векторов можно представить как линейную комбинацию системы векторов , то система векторов линейно зависимая.

Базис, ранг системы векторов .

Конечную систему векторов пространства V над полем F обозначим через S .

Определение. Любая линейно независимая подсистема системы векторов S называется базисом системы векторов S , если любой вектор системы S можно представить в виде линейной комбинации системы векторов .

Пример. Найти базис системы векторов = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R 3 . Система векторов , линейно независимая, так как, то согласно свойству 5 система векторов получена из системы векторов Так какучебное пособие основам электромеханотроники: учебное пособие основы электротехники" ; ...

Учебная литература 2000-2008 (1)

Литература

Математика Математика Лобкова Н.И. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии: учебное пособие / Н.И.Лобкова, М.В.Лагунова... проектированию по основам электромеханотроники: учебное пособие / ПГУПС. Каф. "Теоретические основы электротехники" ; ...

Пусть – система векторов m из . Основными элементарными преобразованиями системы векторов являются

1. - добавление к одному из векторов (вектору ) линейной комбинации остальных.

2. - умножение одного из векторов (вектора ) на число не равное нулю.

3. перестановка двух векторов () местами. Системы векторов , будем называть эквивалентными (обозначение ), если существует цепочка элементарных преобразований переводящая первую систему во вторую.

Отметим свойства введенного понятия эквивалентности векторов

(рефлексивность)

Из следует, что (симметричность)

Если и , то (транзитивность) Теорема. Если система векторов линейно независима, а ей эквивалентна, то система – линейно независима. Доказательство. Очевидно, что теорему достаточно доказать для системы полученной из с помощью одного элементарного преобразования.. Предположим что система векторов линейно независима. Тогда из вытекает, что . Пусть система получена из с помощью одного элементарного преобразования. Очевидно, что перестановка векторов или умножение одного из векторов на число не равное нулю не меняет линейной независимости системы векторов. Допустим теперь, что система векторов получена из системы прибавлением к вектору линейной комбинации остальных, . Нужно установить, что (1) вытекает что Поскольку , то из (1) получаем . (2)

Т.к. система – линейно независима, то из (2) следует, что для всех .

Отсюда получаем . Что и требовалось доказать.

57. Матрицы. сложение матриц умножение матрицы на скляр матрицы как векторное пространство его размерность.

Вид матрицы: квадратная

Сложение матриц

Свойства сложения матриц:

1.коммутативность: A+B = B+A;

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы А на число ¥ (обозначение: ¥A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен: Bij=¥Aij

Свойства умножения матриц на число:

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

Вектор-строка и вектор-столбец

Матрицы размера m x 1 и 1 x n являются элементами пространств K^n и K^m соответственно:

матрица размера m x1 называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:

Матрица размера 1 x n называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:

58. Матрицы. Сложение умножение матриц. Матрицы как кольцо, свойства кольца матриц .

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины стробцов.

aij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.

Вид матрицы: квадратная

Квадратная матрица - это матрица с равным числом столбцов и строк.

Сложение матриц

Сложение матриц А+В есть операция нахождения матрицы С, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц А и В, то есть каждый элемент матрицы равен Сij=Aij + Bij

Свойства сложения матриц:

1.коммутативность: A+B = B+A;

2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);

3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образует линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства).

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: АВ, реже со знаком умножения А х В) - есть операция вычисления матрицы С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице А должно совпадать с количеством строк в матрице В, иными словами, матрица А обязана быть согласованной с матрицей В. Если матрица А имеет размерность m x n , B - n x k , то размерность их произведения AB=C есть m x k .

Свойства умножения матриц:

1.ассоциативность (AB)C = A(BC);

2.некоммутативность (в общем случае): AB BA;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

59.*Обратимые матрицы. Особенные и неособенные элементарные преобразования строк матрицы. Элементарные матрицы. Умножение на элементарные матрицы.

Обратная матрица - такая матрица A −1 , при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E :

Элементарными преобразованиями строк называют:

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .

Элементарные преобразования обратимы .

Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).

Две системы линейных уравнений от одного набора x 1 ,..., x n неизвестных и соответственно из m и p уравнений

Называются эквивалентными, если их множества решений и совпадают (т. е. подмножества и в K n совпадают, ). Это означает, что: либо они одновременно являются пустыми подмножествами (т. е. обе системы (I) и (II) несовместны), либо они одновременно непустые , и (т. е. каждое решение системы I является решением системы II и каждое решение системы II является решением системы I).

Пример 3.2.1 .

Метод Гаусса

План алгоритма, предложенного Гауссом, был весьма прост:

1. применять к системе линейных уравнений последовательно преобразования, не меняющие множество решений (таким образом мы сохраняем множество решений исходной системы), и перейти к эквивалентной системе, имеющей "простой вид" (так называемую ступенчатую форму);
2. для "простого вида" системы (со ступенчатой матрицей) описать множество решений, которое совпадает с множеством решений исходной системы.

Отметим, что близкий метод "фан-чен" был известен уже в древнекитайской математике.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений (строк матриц)

Определение 3.4.1 (элементарное преобразование 1-го типа) . При к i -му уравнению системы прибавляется k -е уравнение, умноженное на число (обозначение: (i)"=(i)+c(k) ; т. е. лишь одно i -е уравнение (i) заменяется на новое уравнение (i)"=(i)+c(k) ). Новое i -е уравнение имеет вид (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k , или, кратко,

Т. е. в новом i -м уравнении a ij "=a ij +ca kj , b i "=b i +cb k .

Определение 3.4.2 (элементарное преобразование 2-го типа) . При i -е и k -е уравнение меняются местами, остальные уравнения не изменяются (обозначение: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; для коэффициентов это означает следующее: для j=1,...,n

Замечание 3.4.3 . Для удобства в конкретных вычислениях можно применять элементарное преобразование 3-го типа: i -е уравнение умножается на ненулевое число , (i)"=c(i) .

Предложение 3.4.4 . Если от системы I мы перешли к системе II при помощи конечного числа элементарных преобразований 1-го и 2-го типа, то от системы II можно вернуться к системе I также элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа.

Доказательство.

Замечание 3.4.5 . Утверждение верно и с включением в число элементарных преобразований элементарного преобразования 3-го типа. Если и (i)"=c(i) , то и (i)=c -1 (i)" .

Теорема 3.4.6 .После последовательного применения конечного числа элементарных преобразований 1-го или 2-го типа к системе линейных уравнений получается система линейных уравнений, эквивалентная первоначальной.

Доказательство. Заметим, что достаточно рассмотреть случай перехода от системы I к системе II при помощи одного элементарного преобразования и доказать для множеств решений включение (поскольку в силу доказанного предложения от системы II можно вернуться к системе I и поэтому будем иметь включение , т. е. будет доказано равенство ).

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ

(условие совместности системы)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x 1 + x 2 + … + x n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А * не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA * , то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

~ . RgA = 2.

A* = RgA* = 3.

Система несовместна.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

А = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система совместна. Решения: x 1 = 1; x 2 =1/2.

2.6 МЕТОД ГАУССА

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a 11 ¹ 0, затем:

1) умножим на а 21 и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а 31 и вычтем из третьего уравнения

, где d 1 j = a 1 j /a 11 , j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij – a i1 d 1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

, откуда получаем: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

Для самостоятельного решения:

Ответ: {1, 2, 3, 4}.

ТЕМА 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Определение. Векторы называются коллинеарными , если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор -

Произведение - , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором ( ­¯ ), если a < 0.

СВОЙСТВА ВЕКТОРОВ

1) + = + - коммутативность.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b ) – ассоциативность

6) (a+b) = a + b - дистрибутивность

7) a( + ) = a + a

Определение.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Ниже рассматриваются системы линейных уравнений над полем переменными ДООПРЕДЕЛЕНИЕ. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение любой из этих систем является решением другой системы.

Следующие предложения выражают свойства равносильности, вытекающие из определения равносильности и отмеченных выше свойств следования систем.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Две системы линейных уравнений равносильны тогда и только тогда, когда каждая из этих систем является следствием другой системы.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Две системы линейных уравнений равносильны тогда и только тогда, когда множество всех решений одной системы совпадает с множеством всех решений другой системы.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Две системы линейных уравнений равносильны в том и только в том случае, если равносильны предикаты, определяемые этими системами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

(а) умножение обеих частей какого-нибудь уравнения системы на отличный от нуля скаляр;

(Р) прибавление (вычитание) к обеим частям какого-либо уравнения системы соответствующих частей другого уравнения системы, умноженных на скаляр;

Исключение из системы или присоединение к системе линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом.

ТЕОРЕМА 2.5. Если одна система линейных уравнений получается из другой системы линейных уравнений в результате цепочки элементарных преобразований, то эти две системы равносильны.

Доказательство. Пусть дана система

Если умножить одно из ее уравнений, например первое на отличный от нуля скаляр X, то получим систему

Каждое решение системы (1) есть также решение системы (2).

Обратно: если - любое решение системы (2),

то, умножив первое равенство на и не изменяя последующих равенств, получим равенства, показывающие, что вектор является решением системы (1). Следовательно, система (2) равносильна исходной системе (1). Так же легко проверить, что однократное применение к системе (1) элементарного преобразования (Р) или приводит к системе, равносильной исходной системе (1). Так как отношение равносильности транзитивно, то многократное применение элементарных преобразований приводит к системе уравнений, равносильной исходной системе (1).

СЛЕДСТВИЕ 2.6. Если к одному из уравнений системы линейных уравнений прибавить линейную комбинацию других уравнений системы, то получится система уравнений, равносильная исходной.

СЛЕДСТВИЕ 2.7. Если исключить из системы линейных уравнений или присоединить к ней уравнение, являющееся линейной комбинацией других уравнений системы, то получится система уравнений, равносильная исходной системе.