Замечательные линии четвертого и высших порядков. Практическое применение свойств замечательных кривых Астроида уравнение

Линией (кривой) четвертого порядка называют линию, определяемую алгебраическим уравнением четвертой степени относительно декартовых прямоугольных координат. Аналогично определяются линии (кривые) пятого, шестого и других порядков.

Множество линий (кривых) четвертого порядка содержат уже не десятки, а тысячи линий частного вида. Еще более разнообразными являются множества линий пятого и шестого порядка. Здесь рассматриваются отдельные виды линий четвертого и высших порядков, имеющие интересные свойства и практические применения.

Лемниската Бернулли

Обратимся к кривой, описываемой точкой М на плоскости так, что остается неизменным произведение р расстояний этой точки до двух определенных точек F 1 и F 2 той же плоскости. Такая кривая называется лемнискатой (лемниската по-гречески значит «ленточная»). Если длина отрезка F 1 F 2 есть с, то расстояния от середины О отрезка F 1 F 2 до F1 и F2 равны с/2 и произведение этих расстояний равно - с 2 /4. Потребуем сначала, чтобы величина р неизменного произведения равнялась как раз с 2 /4; тогда

линия порядок трансцендентный спираль

Рис. 8

точка О будет лежать на лемнискате, а сама лемниската будет иметь вид «лежащей восьмерки» (рис. 8). Если продолжить отрезок F 1 F 2 в обе стороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки А 1 и А 2 . Выразим расстояние между А 1 А 2 = х через известное расстояние с:

Фокусы лемнискаты - F1 (? c; 0) и F2 (c; 0). Возьмём произвольную точку M (x; y). Произведение расстояний от фокусов до точки M есть

И по определению оно равно c2:

Возводим в квадрат обе части равенства:

Раскрываем скобки в левой части:

Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:

Выносим общий множитель и переносим:

В данном случае a - радиус окружности, описывающей лемнискату. Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

Приводим к виду

Это квадратное уравнение относительно y". Решив его, получим

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный - нижнюю.

Если величину неизменного произведения р взять не равной с 2 /4, то лемниската изменит свой вид. И при р меньше с 2 /4, лемниската состоит из двух овалов, каждый из которых содержит точки F 1 и F 2 , соответственно (рис. 9).

Рис. 9

Т.о. задавая различные условия для р и с 2 /4 будем получать лемнискаты различного вида (рис. 10).

Рис. 10

Возьмем теперь на плоскости любое количеств точек. F 1 , F 2 ,…, F n и заставим точку М двигаться так, чтобы для нее оставалось неизменным произведение расстояний до каждой из взятых точек. Получим Кривую, форма которой будет зависеть от того, как расположены точки F 1 , F 2 ,…, F n друг относительно друга и какова величина неизменного произведения. Кривая эта называется лемнискатой с n фокусами.

Выше мы рассматривали лемнискаты с двумя фокусами. Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний. Будем вести острие карандаша из некоторой точки А, не отрывая от бумаги, так, чтобы оно в конце вернулось в исходную точку А. Тогда оно опишет некоторую кривую; мы потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала

Рис. 11

самое себя. Очевидно, что таким путем могут получиться кривые, имеющие, например, очертания человеческой головы или птицы (рис. 11). Оказывается, что, имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число п и расположение фокусов

F 1 , F 2 ,…, F n

и назначить такую величину для неизменного произведения расстояний

МF 1 МF 2 … МF n = p

что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, возможные отклонения точки М, описывающей лемнискату, от нарисованной кривой - не будут превосходить ширину карандашного штриха (карандаш можно заранее отточить как угодно хорошо так, что штрих будет очень узким). Этот замечательный факт, говорящий о необычайном разнообразии н богатстве форм лемнискат с многими фокусами, доказывается совершенно строго, нo очень сложно, при помощи высшей математики.

Улитка Паскаля

Геометрическое место точек М и M", расположенных на прямых пучка (центр которого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., PM = PM" = а. уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 - 2Rx)2 - а2(х2 + y2) = 0, в полярных координатах: r = 2R cos j + а. При а = 2R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Название по имени французского учёного Б. Паскаля (1588-1651), впервые изучавшего её.

Циклоидальные кривые

Представим, что некоторая кривая катится без скольжения по другой кривой; какая либо точка, неизменно связанная с первой кривой, будет описывать при этом новую кривую. Так можно представить себе эллипс, катящийся по другому эллипсу, и исследовать линию, по которой будет перемещаться его центр, или определить траекторию фокуса параболы, катящейся по прямой, и т.д.

Среди кривых, образуемых указанным способом, выделяются кривые, являющиеся траекториями точки, неизменно связанной скругом, который катится без скольжения по другому кругу. Получаемые при этом линии называются циклоидальными.

При образовании циклоидальных кривых вычерчивающая точка отстоит от центра производящего (подвижного) круга на определенном расстоянии. В частном случае она находится на окружности производящего круга. При этом условии получаемые кривые подразделяются на эпициклоиды и гипоциклоиды в зависимости от того, располагается ли производящий круг с наружной или с внутренней стороны неподвижного круга.

К алгебраическим кривым относятся такие известные кривые, как кардиоида, астроида, рассмотрим эти кривые.

Кардиоида

1. Уравнение . Кардиоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по окружности неподвижного круга с таким же радиусом. Она будет представлять собой, таким образом, эпициклоиду с модулем m, равным 1.

Это обстоятельство позволяет сразу же записать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенных параметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:

Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис. 13), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как четырехугольник AOO 1 M будет равнобедренной трапецией, то полярный угол точки М окажется равным углу поворота производящего круга, т.е. параметру t. Учитывая это обстоятельство, заменим во втором уравнении системы (1) у через sin t. Сокращая полученное таким образом равенство на sin t, получим полярное уравнение кардиоиды

Рис. 13

По виду этого уравнения

можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Паскаля. Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.

Переводя уравнение (2) в прямоугольную систему координат, получим:

Из этого уравнения следует, что кардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка.

2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоида является эпициклоидой с m=1, на нее можно перенести все свойства рассмотренных нами в предыдущем параграфе эпициклоид.

Вот эти свойства и характеристики.

1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противоположную точке касания кругов, а нормаль - через точку их касания.

2. Угол, составляемый касательной к кардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиусом-вектором с полярной осью. Действительно

Из этого соотношения непосредственно вытекает, что угол, составляемый касательной к кардиоиде с осью абсцисс, равняется (как внешний угол треугольника AMN Рис. 14). Располагая формулой можно доказать, что касательные к кардиоиде, проведенные в концах хорды, проходящей через полюс, взаимно перпендикулярны.

Действительно, так как

Рис. 14

Заметим еще, что геометрическое место точек пересечения этих касательных есть окружность Действительно, уравнение первой касательной на основании уравнений (1) кардиоиды, будет иметь вид

а второй касательной Исключая из этих уравнений параметр, получим уравнение указанной окружности.

3. Радиус кривизны в произвольной точке кардиоиды определится по формуле

Можно показать также, что радиус кривизны равняется 2/3 полярной нормали N в заданной точке.

Действительно, откуда на основании (4) получаем Соотношение это может быть использовано для построения центра кривизны кардиоиды.

4. Эволюта кардиоиды, согласно общему свойству эволют эпициклоид, будет также кардиоидой, подобной данной, с коэффициентом подобия, равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол 180°.

5. Длина дуги кардиоиды от точки А до произвольной точки М определится по формуле

Если длину дуги отсчитывать от точки А 1 , диаметрально противоположной точке А, то формула для определения длины дуги может быть записана в виде

6. Натуральное уравнение кардиоиды получится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид

7. Площадь, ограниченная кардиоидой, определится по формуле

и, как видно, равна ушестеренной площади производящего круга.

Длина всей кардиоиды определится по формуле

и, как видно, равна восьми диаметрам производящего круга. Объем тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равен

Поверхность тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равняется

Мы видели, что кардиоида органически связана с окружностью. Она является конхоидой круга и эпициклоидой. Она имеет с окружностью и иной характер родства - кардиоида является подэрой окружности относительно точки, принадлежащей этой окружности.

Рис. 15

Действительно, пусть ОМ есть перпендикуляр, опущенный на касательную к окружности с радиусом, равным 2r, проведенную в точке N.

Так как ОМ = OB + ВМ, или == 2r cos + 2r, то геометрическим местом точек М будет кардиоида с уравнением = 2r (1 + cos)

Заметим в заключение, что кардиоида относится также к семейству синусоидальных спиралей, и отдельные свойства ее повторяют общие свойства этих кривых. Из этих свойств следует, в частности, что инверсия кардиоиды, относительно точки возврата дает параболу.

Астроида

1. Свойства. Астроида является частным случаем гипоциклоид, а именно, гипоциклоидой с модулем m, равным 1/4. Она представляет собой, следовательно, траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по внутренней стороне другого, неподвижного круга, радиус R которого в четыре раза больше.

Параметрические уравнения астроиды можно получить, полагая в уравнениях гипоциклоиды, m=1/4. Вот эти уравнения:

Рис. 16

где t, как и ранее, угол поворота производящего круга (рис. 16)

Исключая из уравнений (1) параметр t, получим:

Из уравнения (2) следует, что астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.

Параметрические уравнения (1) астроиды можно привести к виду

Исключая из этих уравнений параметр t, получим часто употребляемый вид уравнения астроиды

Полагая в ранее выведенных общих соотношениях для циклоидальных кривых модуль

m = -1/4, получим соответствующие соотношения для астроиды:

1) радиус кривизны в произвольной точке астроиды определяется по формуле

2) длина дуги астроиды от точки А до произвольной точки M(t) определится по формуле

длина одной ветви равна а длина всей кривой 6R;

3) для получения натурального уравнения астроиды заметим предварительно, что если началом отсчета длины дуги полагать не точку А, для которой t = 0, а точку, для которой t = , то длина дуги определится формулой

исключая параметр t из уравнений (5) и (6), получим натуральное уравнение астроиды

4) эволюта астроиды есть также астроида, подобная данной, с коэффициентом подобия, равным 2, повернутая относительно данной на угол /4 (рис. 16)

5) площадь, ограниченная всей астроидой, равна объем тела, полученного от вращения астроиды, равняется 32/105 R 3

поверхность тела, образованного вращением астроиды, равна

Обратимся теперь к рассмотрению некоторых частных свойств астроиды.

Астроида является огибающей отрезка постоянной длины, концы. которого скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым.

Принимаем эти прямые за оси координат и, обозначая угол наклона скользящего отрезка ND=R через (рис. 4), будем иметь уравнение прямой ND в виде

Дифференцируя это уравнение по параметру, получим:

Исключая из последнего уравнения и уравнения (7) параметр, будем иметь уравнение огибающей в виде т.е. астроиду.

Практически перемещение отрезка ND можно осуществить с помощью так называемых кардановых кругов. Один из этих кругов с радиусом R неподвижен, а другой, с радиусом r, в два раза меньшим, катится по внутренней стороне неподвижного круга. Любые две диаметрально противоположные точки N и D катящегося круга будут перемещаться по двум взаимно перпендикулярным диаметрам Ох и Оу неподвижного круга. Ясно, что огибающей диаметра катящегося круга и будет астроида.

Рис. 17

Рис. 18

Рассмотренный способ образования астроиды можно истолковать также следующим образом. Прямоугольник ODCN, две стороны которого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, деформируется так, что диагональ его сохраняет длину, равную R, огибающая диагонали и будет астроидой. Так как при этом перпендикуляр, опущенный из вершины С на диагональ DN, служит нормалью к огибающей, то астроида представляет собой геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из вершины С прямоугольника на его диагональ.

При эти уравнения выражают рассмотренную ранее прямую астроиду.

Ответ траектория точки В - астроида s t)

К циклоидным кривым относятся не только циклоида, эпи- и гипоциклоида, но также трохоида, кардиоида, астроида, описанные ниже.

Координаты X, у удовлетворяют в этом случае уравнению астроиды (фиг. 91)

Исключение дает (астроида)

При р = г = (т = 3) гипоциклоида называется астроидой (фиг. 64), и уравнения принимают вид x=R os i y=R sin"i или x -y =R .

При р=г=- (т = 3) гипоциклоида называется астроидой (фиг. 64), и уравнения принимают вид

На рис. 72 отрезок АВ = I закреплен на звене АВ = I под углом 0 = 180°. Поэтому астроида, вычерчиваемая точкой Bi, повернута относительно астроиды, вычерчиваемой точкой В, на угол т6,

Разберем вопрос о проведении касательных к этой кривой с помощью рассматриваемого механизма. В соответствии с правилом, сформулированным выше, касательная к астроиде отсечет на линии кривошипа ОА отрезок, равный знаменателю дроби в правой части выражения (160). Применительно к механизму, представленному на рис. 72, размер отсекаемого отрезка определится по формуле (172)

Практически для построения астроид в условиях производства оказывается пригодным каждое прямило, в котором движущаяся

На рис. 72 мы показали механизм, обеспечивающий концам S и Si звена 10 движение по двум астроидам, повернутым одна относительно другой на 45°.

Кривая, описываемая уравнениями (57) и (58), будет кривой типа астроиды. Оси симметрии этой кривой образуют с осями Ах

Отобразим, как это сделано в , внешность астроиды па полуплоскость Re5>0

Приняв а = р = 1, построим контур, в котором деформировалась астроида (рис. 24).

Ползуны / и 2 скользят в неподвижных направляющих р и q, оси которых взаимно перпендикулярны. Отростки а и 6 ползунов 1 к 2 скользят в крестообразном ползуне 3, оси которого также взаимно перпендикулярны. Звено 4 входит во вращательную пару С с ползуном 3 и скользит в крестообразном ползуне 5, который скользит вдоль оси звена 6, входящего во вращательные пары Л и В с ползунами / и 2. При движении ползунов I к 2 вдоль направляющих и точка К описывает дугу астроиды, уравнение которой = где 1 - АВ. Прямая ЛВ при этом огибает

Гипоциклоида имеет л - -1 точку возврата , каждая из которых с точки зрения концентрации напряжений эквивалентна концу трещины (на рис. ПЗО изображена астроида с п = 3). Дефекты такого типа могут определять прочность хрупких по-

Найти уравнение касательной к астроиде.

На рис. 72 изображен десятизвенный механизм, предназначенный для воспроизведения астроид. Астроида представляет собой обыкновенную гипоциклоиду, имеющую модуль т = и является алгебраической кривой 6-го порядка. Название астроида

Таким образом, касательная к одной из-изображенных на чертеже астроид пройдет через точки С и 5 , а касательная к другой - через точки С и S. Но точки В а В являются концами шатуна В В ламбдообразной группы в прямиле Гарта. Поэтому конец В будет всегда скользить вдоль звена DDj, а конец В - вдоль перпендикуляра, восстановленного к DDj из точки С. Отсюда следует, что астроида, вычерчиваемая точкой В, является огибающей всех положений звена DD . Сказанное можно распространить также на астроиды, воспроизведенные точкой В или любой точкой окружности, описанной из А радиусом I.

Как известно, подерой астроиды, если в качестве полюса выбран центр симметрии последней, является четырехлепестковая роза. Таким образом, достаточно удлинить отрезки ABi = АВ нарис. 72 (или на рис. 73) до размера АВ = ABi = L, чтобы получить с помощью этого

КУЛ ИСИО-РЫ Ч АЖНЫ й МЕХАНИЗМ ВЯТКИНА ДЛЯ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ АСТРОИДЫ

Чтобы покончить с работами, связанными непосредственно с теорией крыла , отметим работу Г.Н. Бабаева О роторах Флеттнера (Учен. зап. Сарат. гос. университета, педагогич. факультет. Т. VH. Вып. 11, 1929), в которой автор применяет обычный метод изучения крыльев к случаю двух роторов Флеттнера. Между прочим, автор показал, что линия моментов в этом случае представляет собою астроиду. Что касается

Почему наш мир прекрасен? Потому что формы и цвета живой природы во многом следуют общим закономерностям гармонии, выявляющимся путем строгого математического анализа. При изучении природы мы находим в ней все больше эстетических признаков, которые выявляются, как правило, не сразу, но после детального математического анализа.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

При использовании законов геометрии природы в новой ситуации, для изучения курсов предметов, связанных с геометрическими построениями, мы заново переосмысливаем изученные геометрические законы, развиваем геометрическую интуицию.

В процессе выполнения творческих заданий различного содержания, мы познакомились с возможными сферами применения геометрических знаний (художниками, архитекторами, дизайнерами и т. д.).

Графические средства отображения информации используются во всех сферах жизни общества. Они имеют законченный образ, характеризуются символичностью, компактностью, относительной легкостью прочтения. Именно эти качества графических изображений обуславливают их расширенное использование. В недалеком будущем более половины представляемой информации будет иметь графическую форму предъявления. Развитие теоретических основ начертательной геометрии, инженерной графики и других смежных наук расширило способы получения графических изображений. Наряду с ручными способами формирования графических изображений, составления проектной документации все более широкое применение находят компьютерные способы. Использование новых информационных технологий обеспечивает создание, редактирование, хранение, тиражирование графических изображений с помощью различных программных средств.

I. Начальные сведения об алгебраических кривых

1. Астроида

Астроида (от греч. >-звезда) - это кривая, описываемая точкой подвижной окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Площадь, ограниченная астроидой, составляет /8 площади неподвижного круга, а полная длина астроиды равна ушестеренному радиусу этого круга.

Уравнение астроиды в декартовых прямоугольных координатах:

x + y = R.

Построение графика астроиды выполнили в > следующим образом:

:: Построили график функции при у > 0 (радиус R = 5);

:: Построили график функции.

2. Кардиоида

Кардиоида (от греч. >-сердце и eidos-вид)- плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, которая извне касается неподвижной окружности того же радиуса и катится по ней без скольжения. Кривая получила своё название из-за сходства с сердцем.

Построение графиков кардиоид также выполнили в >.

3. Нефроида

Нефроида (от греч. hephros-почка, eidos-вид) - кривая которую описывает фиксированная точка окружности, катящейся снаружи по большей в два раза окружности. Впервые свойства нефроиды изучил в 17 веке саксонский дворянин Э. В. Чирнгауз. Нефроида состоит из двух кардиоид.

4. Улитка Паскаля.

Улитка Паскаля - плоская алгебраическая кривая. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её. Уравнение в полярных координатах. При l = 2a получается кардиоида.

II. Применение математического моделирования.

1. История создания нитяной графики

Нитяная графика (или изонить) - это графическое изображение, особым способом выполненное нитками на картоне или другом твердом основании. Нитяную графику также иногда называют изографика или вышивка по картону.

Термин > (нитяная графика или изонить) используется в России, в англоязычных странах используется словосочетание - вышивка на бумаге, в немецкоязычных странах - термин.

Нитяная графика, как вид декоративно-прикладного искусства, впервые появилась в Англии в XVII веке. Английские ткачи придумали особый способ переплетения ниток. Они забивали в дощечки гвозди и в определенной последовательности натягивали на них нити. В результате получались ажурные кружевные изделия, которые использовались для украшения жилища. (Возникла версия, что эти работы были своего рода эскизами для узоров на ткани). Современные расходные материалы позволяют получать очень эффектные изделия.

Наряду с оригинальной техникой исполнения нитяной графики, существует другое направление ниточного дизайна - вышивка на картоне (изонить) теми же приемами (прием заполнения угла и окружности).

Интерес к нитяной графике то появлялся, то исчезал. Один из пиков популярности был в конце ХIХ века. Издавались книги по рукоделию, в которых описывался необычный способ вышивки на бумаге, простой и легкий, доступный детям. В работе использовались перфорированные карты (готовые шаблоны) и прием заполнения угла, стежки >, > (для вышивания кривых). Используя минимум средств, любой человек (а главное дети) смог бы изготовить причудливые сувениры к праздникам.

Сейчас этим искусством занимаются во многих странах мира.

В нашей стране информации по изонити имеется в небольшом количестве, в основном ознакомительного характера: отдельные публикации в журналах >, В 1995 году вышла книга минского профессора Г. А. Браницкого > и книга Нагибиной М. И. > с небольшой главой об изонити.

Проанализировав доступную информацию, удалось узнать, что по этому виду рукоделия издаётся множество книг в виде пошаговых инструкций и альбомов идей, в которых везде используется только репродуктивный метод работы.

Достоинство изонити в том, что выполняется она быстро и придумать можно много интересных узоров. Этот вид творчества развивает воображение, глазомер, мелкую моторику пальцев, художественные способности и эстетический вкус. В технике нитяной графики можно изготовить не только декоративное панно, но и поздравительные открытки, сувенирные обложки, закладки для книг.

А направлений у изонити (нитяной графики или ниточного дизайна) может быть несколько:

1) репродуктивный способ: работа по шаблону, пошаговая инструкция, раздача готовых схем и наборов вышивания

2) частично-поисковый (проектный): обучение расчету на картоне (т. е. создание собственных шедевров), поиск своих приемов и комбинаций, "игра" с фоном, нитками - с материалом исполнения

3) комбинированный - когда начинается всё с "азбуки", работаем с готовыми схемами, но изменяем вид материала (цвет) и доходим до "шедевра".

2. Основные приемы нитяной графики

Нитяная графика известна и под другими названиями: изонить (т. е. изображение нитью), графическая вышивка. Для освоения техники достаточно знать, как заполняются угол, окружность и дуга.

Прием 1. Заполнение угла.

На изнанке картона начертим угол, разделим каждую сторону на равное количество частей. Проколем точки булавкой или тонким шилом, вдеваем нить в иглу и заполним по схеме.

Прием 2. Заполнение окружности.

Начертим циркулем окружность. Поделим ее на 12 равных частей и заполним по схеме.

Прием 3. Заполнение дуги.

Начертим дугу, разделим ее на равные части и сделаем проколы в точках деления. Вдеваем нитку в иглу и заполним по схеме

III. Исследовательская работа.

Построения в программе >.

Задача 1. Деление отрезка на n равных частей.

Решение 1. Деление на 2, 4, 8, 16 и т. д. частей выполняли в > путем построения середин отрезка.

Решение 2. Деление отрезка на произвольное количество частей мы выполнили также в > с применением теоремы Фалеса.

Задача 2. Деление окружности на 6, 12, 24 части.

Решение 1. Мы искали различные способы деления окружности на части. В программе > мы чертили окружность, в произвольном порядке расставляли точки, измеряли полученные углы, а затем > двигали точки по окружности до получения нужной величины. Это была монотонная и неинтересная работа. Погрешность первого деления на 12 частей составила + 0,15 см в длине хорд. Мы стали анализировать ситуацию и искать оптимальные способы решения поставленных задач. В итоге мы нашли несколько решений деления окружности на 6, 12, 24 частей.

Решение 2. На окружности отметили 6 точек, измерили все углы, выровняли точки так, чтобы каждый угол был равен 60 [о]. Затем с помощью программы провели биссектрисы каждого угла. Получилось деление на 12 частей. А для деления на 24 части провели еще раз биссектрисы полученных углов. Погрешность такого построения оказалась равной + 0,01 градуса.

Решение 3. С помощью программы построили 3 окружности одинакового радиуса (применение копирования), совместили их, как показано на рисунке. Отметили точки пересечения окружностей. Измерили получившиеся углы, они оказались равными по 60 [о]. Далее построили биссектрисы углов для деления на 12 и 24 части. Погрешность такого решения равна нулю.

Задача 3. Деление окружности на 9, 18, 36 частей.

Найдя оптимальный способ решения предыдущей задачи, мы аналогично стали искать способы деления окружности на 9, 18 и 36 частей. Деление на 18 и 36 частей можно выполнить только после построения 9 точек, применив построение биссектрис.

Решение. 360 [о] : 9 = 40 [о]. Мы на > разделили полуокружность на 4 дуги примерно по 40 [о] и дугу в 20 [о]. С помощью программы выполнили все необходимые измерения углов, двигая точки. Далее выделили построенные точки и с помощью команды > отразили точки на 180 градусов относительно центра окружности на вторую полуокружность. Погрешность такого построения составила + 0,04 градуса..

Задача 4. Построение алгебраических кривых

Астроида

Решение 1. Астроида строится на координатной плоскости по следующему алгоритму:

:: Нужно соединить точки оси ординат с точками оси абсцисс так, чтобы в сумме цифры делений давали 10 (например:1 и 9, 2 и 8, 3 и 7 и т. Д.).

:: Соединяем точки в такой же последовательности в остальных четвертях координатной плоскости.

Решение 2. Начертили окружность, построили перпендикулярные диаметры, разделили каждый радиус на четное количество частей. Соединили точки отрезками по предыдущему алгоритму.

Решение 3. Освоив оптимальный прием деления окружности на 6 частей, мы выполнили построение 6-звездочной астроиды.

Решение 4. Построение 8-зведочной астроиды выполнили с построением биссектрис прямых углов.

Кардиоида

Решение. Для построения кардиоиды основанием будет являться окружность. Кардиоиду построили по следующему плану:

:: начертили окружность и поделили её на 36 частей (по 10 градусов);

:: пронумеровали внешние точки от 1 до 36 против часовой стрелки;

:: внутренние точки пронумеровали в соответствие со схемой 1;

:: соединили точки с одинаковыми внутренними и внешними номерами;

:: огибающей и будет кардиоида.

Схема 1 Схема 2

IV. Наше творчество.

Освоив основные приемы конструирования и моделирования в >, мы попробовали себя реализовать в роли дизайнеров и художников. Нами разработаны и воплощены в практику следующие работы:

Заключение, выводы

>, - заметил 2500 лет назад Аристотель. Наш современник Сухомлинский считал, что >. А математика замечательный предмет для удивления.

Углубленно изучив доступный материал, мы познакомилась с новым методом конструирования кривых - математическим вышиванием, используя знакомые приемы построения геометрических фигур (построение угла, деление отрезка на равные части, соединение точек в определенной последовательности, деление окружности на равные части в программе >). Мы нашли удивительное сходство математического вышивания с давно известным видом декоративно-прикладного искусства - изонитью.

В Интернете, специальной литературе много фотографий с вышивкой изонитью, но к ним не прилагаются схемы. Мы пришли к выводу, что математическое вышивание - это творческий процесс. Зная основы математического моделирования, которые изложены в нашей работе, применяя творческое мышление, логику, терпение, можно изготавливать индивидуальные > прикладного искусства.

Математическое вышивание заинтересовало не только нас, но и многих учеников школы (как девочек, так и мальчиков). Мы считаем, что современные информационные технологии позволят соединить воедино математику и искусство.

- (от греч. astron звезда и eidos вид) плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Принадлежит к гипоциклоидам. Астроида алгебраическая… … Большой Энциклопедический словарь

Сущ., кол во синонимов: 1 кривая (56) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

- (от греч. ástron звезда и éidos вид), плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Принадлежит к гипоциклоидам. Астроида … … Энциклопедический словарь

- (астро... гр. eidos вид) мат. плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по внутренней стороне другой, неподвижной окружности с радиусом, вчетверо большим, чем у первой; имеет вид четырехконечной звезды. Новый словарь … Словарь иностранных слов русского языка

Плоская алгебраич. кривая ti ro порядка, к рая описывается точкой Мокружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R=4r; гипоциклоида с модулем r=4. Уравнение в декартовых прямоугольных координатах: параметрич. уравнения … Математическая энциклопедия

Астроида (греч. астрон - звезда) - кривая, которая внешне напоминает стилизованное изображение звезды.

Формула x = a* cos(t)^3, y = a* sin(t)^3 рисует астроиду, где коэффициент a влияет на вытянутость фигуры.

Эпициклоиды

Рассмотрим другой случай. Будем вращать окружность не внутри другой (опорной) окружности, а по ее внешней стороне. Теперь, все получаемые кривые будут относиться к семейству эпициклоиды (греч.эпи - на, над). К таким фигурам относятся кардиодида и улитка Паскаля

Кардиоида и улитка Паскаля

Кардиоида (Cardioid)

Если использовать две окружности с одинаковыми радиусами и вращать одну вокруг другой, то получится кардиоида (греч.кардиа - сердце) - по мнению математиков, получаемая кривая отдаленно напоминает сердце

Формула r = 2a(1 + cos(theta)) рисует кардиоиду

Лимакона или Улитка Паскаля (Limacon of Pascal)

А как поведут себя кривые, если брать точку не самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра? Тогда мы получим кривую, получившуюся название Улитка Паскаля или лимакона .

Лимакона была открыта французским математиком Этьеном Паскалем (отцом знаменитого ученого Блеза Паскаля)

Формула r = b + 2a cos(theta) рисует лимакону (улитку Паскаля)

При b = 2a лимакона становится кардиодидом .

Эффекты с кривыми

Итак, мы знаем формулы окружности, кардиоиды и улитки Паскаля. Видно, что формулы весьма схожи, осталось объединить их в один цикл для получения первого эффекта

Dim x As Single, y As Single, b As Single

Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single

twoPi = Atn(1) * 8

Scale (-25, 25)-(25, -25)

For b = 0 To 8 Step 2

For I = 0 To twoPi Step 0.01

R = b + 6 * Cos(I)

col = RGB(255 - 30 * b, 128 + (-1) ^ (b * 1) * b * 60, b * 110)

Line (x, y)-Step(0, 0), col, BF

В нашем примере a - величина постоянная, а b меняется в цикле от b=0 до b=8. Вы видите, как меньшая петля вырождается в точку, а большая удваивает свой радиус, превращаясь в кардиоиду.

Доработаем рисунок. Изменим чуточку программу и получим красивый узор

For l = 0 To 200 Step 13

For t = 0 To 360 Step 0.25

tt = t * pi / 180

x = a * Cos(tt) * Cos(tt) + l * Cos(tt)

y = a * Cos(tt) * Sin(tt) + l * Sin(tt)

red = 255 - 250 * Sin(0.31 * l)

green = 255 - 250 * Sin(0.3 * l)

blue = 255 - 250 * Sin(0.29 * l)

Col = RGB(red, green, blue)

If l Mod 2 = 0 Then

Col = RGB(0, 0, 0)

Col = RGB(255, l, 255 - l)

Line (x + 190, y + 250)-Step(ss, ss), Col, BF

PSet (x + 190, y + 250), Col

Конхоида

Представим Улитку Паскаля как конхоиду. Не углубляясь в теорию кривых, дадим такое нестрогое определение: конхоида - это геометрическое место точек, полученное перемещением каждой точки первоначальной кривой вдоль определенным образом заданных поверхностей. Для Улитки Паскаля первоначальной кривой служит самая обычная окружность, а переносятся точки вдоль линий, проходящих через точку, лежащую на этой окружности. Поясним графически. На рисунке мы выбираем на окружности неподвижную точку Р и переменную точку М , которую мы сдвигаем вдоль линии, соединяющей точки Р и М на какое-то фиксированное расстояние а .

Полученные семейства точек и есть конхоида окружности относительно фиксированной точки. Программа позволяет получить ожидаемые картинки. Сначала назначим а=0.25R. (Постепенно увеличивайте эту величину). Обратите внимание на необходимость сделать два оборота (центральный угол, он же переменная f от 0 до 720 градусов) - один сдвигает точки наружу, а второй оборот - внутрь окружности. Основная тонкость переход от центрального угла окружности, по которому мы проходим в цикле (переменные f в градусах или t в радианах), к углу линии, соединяющей постоянную точку с текущей на окружности c горизонтальной осью (переменная alfa)