Основные сведения о координатной плоскости
Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.
Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью .
Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые , на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.
Определение 1
Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.
Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную , или декартовую , систему координат , которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.
Координатная плоскость
Координаты точки
Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.
Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.
Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.
Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.
Построение точки по заданным координатам
Пример 1
На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$
Решение .
Построение точки $A$:
- отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
- на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.
Построение точки $B$:
- отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
- на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.
Пример 2
Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.
Решение .
Построение точки $C$:
- отложим число $3$ на оси $x$;
- координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.
Построение точки $D$:
- отложим число $2$ на оси $y$;
- координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.
Замечание 1
Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.
Пример 3
Определить координаты точек A, B, C, D.$
Решение .
Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$
Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Получаем, что точка $B (–2; 4).$
Определим координаты точки $C$. Т.к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.
Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$
Пример 4
Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$
Решение .
Построение точки $E$:
- отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
- на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
- на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$
Построение точки $F$:
- координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
- отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$
Построение точки $G$:
- отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
- на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
- на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$
Построение точки $H$:
- координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
- отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$
Построение точки $O$:
- обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).
Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.
Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость . В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости .
Упорядоченная пара
Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую - перпендикулярно оси у.
Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости
Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.
В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке
Определение графика
Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения
Пример: нарисовать график y = x 2
Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0
Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x
Пусть y = 0, тогда 3x = 6 or x = 2
является искомой точкой пересечения оси x.
Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.
Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже
x-пересечение
Пусть y = 0
1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у
Пусть x = 0
y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y
На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.
График симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.
График симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.
График симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.
Определение:
График функции на координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)
Постройте график f(x) = x + 2
Пример 2. Постройте график f(x) = |x|
График совпадает с линией y = x для x> 0 и с линией y = -x
для x < 0 .
graph of f(x) = -x
Соединяя эти два графика, мы получаем
график f(x) = |x|
Пример 3. Постройте график
t(x) = (x 2 - 4)/(x - 2) =
= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =
= (x + 2) x ≠ 2
Следовательно, эта функция может быть записана в виде
y = x + 2 x ≠ 2
График h(x)= x 2 - 4 Or x - 2
график y = x + 2 x ≠ 2
Пример 4. Постройте график
Графики функций с перемещением
Предположим, что график функции f(x) известен
Тогда мы можем найти графики
y = f(x) + c - график функции f(x), перемещённый
ВВЕРХ на c значений
y = f(x) - c - график функции f(x), перемещённый
ВНИЗ на c значений
y = f(x + c) - график функции f(x), перемещённый
ВЛЕВО на c значений
y = f(x - c) - график функции f(x), перемещённый
Вправо на c значений
Пример 5. Постройте
график y = f(x) = |x - 3| + 2
Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график
Переместим график y = |x - 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x - 3| + 2
Постройте график
y = x 2 - 4x + 5
Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:
y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4
y = (x - 2) 2 + 1
Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x 2 вправо на 2 значения, потому что x - 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.
y = x 2 - 4x + 5
Отражения
(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y
(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x
Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y
Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x
График может быть получен отражением и перемещением:
Нарисуйте график
Найдём его отражение относительно оси y, и получим график
Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график
Вот искомый график
Если f(x) умножена на положительною постояную c, то
график f(x) сжимается по вертикали, если 0 < c < 1
график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1
Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f
Что такое координатная плоскость?
Термин «координаты» в переводе с латинского языка значит слово «упорядоченный».
Допустим, нам нужно обозначить положение точки на плоскости. Для этого мы берем 2 перпендикулярные прямые, которые называются осями координат, где Х будет осью абсцисс, У- осью ординат, а началом координат будет точка О. Образованные с помощью осей координат прямые углы, будут называться координатными углами.
Так мы подошли к определению и теперь знаем, что координатной плоскостью является плоскость с заданной системой координат.
А теперь давайте посмотрим, нумерацию координатных углов:
Теперь давайте с вами отобразим прямоугольную систему координат и отметим в ней точку M.
Далее нам нужно прочертить через точку М прямую, которая будет параллельна оси У. Теперь, смотрим, что у нас вышло. Как видим, что прямая пересекает ось Х в той точке, в которой координата будет равна −2. Данная координата является абсциссой точки M.
Теперь нам нужно прочертить через точку М прямую, которая будет параллельна оси Х.
Мы с вами видим, что эта прямая пересекает ось Х в той точке, координата которой равняется трем. Вот эта координата будет ординатой точки М.
Запись координат токи М будет выглядеть так:
В такой записи всегда на первое место ставят абсциссу, а на второе – ординату. Если рассмотреть на примере координат точки М(-2;3), то -2 выступает в роли абсциссы точки М, а ординатой этой точки будет число 3.
Из этого следует, что на координатной плоскости каждой точке М соответствует такая пара чисел, как ее абсцисса и ордината. Верным будет и утверждение наоборот, то есть, каждой такой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.
Задание:
Координатная плоскость в жизни
Как по вашему, может ли пригодиться в повседневной жизни знания о координатной плоскости? И доводилось ли вам слышать такую фразу, как «оставьте свои координаты» или «по каким координатам вас можно найти»? И задумывались ли вы над тем, что может обозначать эти выражения?
Оказывается все очень просто и банально и это значит местонахождение того или иного объекта, по которому легко найти человека или какое-то определенное место. Можно уверенно утверждать, что системы координат необходимы в практической жизни человека повсеместно.
Такой системой координат может быть как домашний адрес, так и номер телефона, место работы и т.д.
Ведь даже при покупке билетов на поезд, вы знаете не только его номер и место назначения, но и обязательно должен быть указан номер вагона и места.
Чтобы пойти в гости к однокласснику, недостаточно знать только дом, в котором он живет, а нужно еще и знать номер квартиры.
Задание
1. Какими сведениями вы должны владеть, чтобы занять место в театре?
2. Какие данные нужно иметь, чтобы определить точки на земной поверхности?
3. По каким координатам можно определить место в кинотеатре?
4. Что необходимо знать, чтобы определелить положения фигуры на шахматной доске?
5. Какими координатами вы пользуетесь при игре в морской бой?
Историческая справка
Идея использования координат появилась еще в глубокой древности. Первоначально их применять начали астрономы, для определения небесных светил и географы – для определения местонахождения и объектов на поверхности Земли.
Благодаря трудам древнегреческого астронома Клавдия Плотомея уже во втором веке ученые научились определять долготу и широту.
А известно ли вам, почему в математике существует такое понятие, как «Декартова система координат»? Оказывается метод координат, который имеет общематематическое значение, был открыт французскими математиками Пьером Ферма и Рене Декартом в XVII в., а в 1637 году Рене Декарт впервые описал его в книге по геометрии.
А вот термины «абсцисса», «ордината» и «координаты» были впервые введены Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке.
Домашнее задание:
Если построить на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси : OX и OY , то они будут называться осями координат . Горизонтальная ось OX называется осью абсцисс (осью x ), вертикальная ось OY - осью ординат (осью y ).
Точка O , стоящая на пересечении осей, называется началом координат . Она является нулевой точкой для обеих осей. Положительные числа изображаются на оси абсцисс точками вправо, а на оси ординат - точками вверх от нулевой точки. Отрицательные числа изображаются точками влево и вниз от начала координат (точки O ). Плоскость, на которой лежат оси координат, называется координатной плоскостью .
Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами . Принято эти четверти нумеровать римскими цифрами в том порядке, в котором они пронумерованы на чертеже.
Координаты точки на плоскости
Если взять на координатной плоскости произвольную точку A и провести от неё перпендикуляры к осям координат, то основания перпендикуляров лягут на два числа. Число, на которое указывает вертикальный перпендикуляр, называется абсциссой точки A . Число, на которое указывает горизонтальный перпендикуляр, - ординатой точки A .
На чертеже абсцисса точки A равна 3, а ордината 5.
Абсцисса и ордината называются координатами данной точки на плоскости.
Координаты точки записываются в скобках справа от обозначения точки. Первой записывается абсцисса, а за ней ордината. Так запись A (3; 5) обозначает, что абсцисса точки A равна трём, а ордината - пяти.
Координаты точки - это числа, определяющие её положение на плоскости.
Если точка лежит на оси абсцисс, то её ордината равна нулю (например, точка B с координатами -2 и 0). Если точка лежит на оси ординат, то её абсцисса равна нулю (например, точка C с координатами 0 и -4).
Начало координат - точка O - имеет и абсциссу и ординату равные нулю: O (0; 0).
Данная система координат называется прямоугольной или декартовой .
Место урока в общей теме:
Общая тема "Положительные и отрицательные числа"
Это 1 урок по теме "Координаты"
- учащиеся знают определения положительных и отрицательных чисел
- учащиеся знают понятие координатной прямой
- умеют определять координаты точек координатной прямой
- умеют отмечать точки на координатной прямой по заданным координатам
Цели урока:
1) образовательные:
- ввести понятие координат
- ввести понятие системы координат, координатных осей и координатной плоскости
- ввести понятие координат точки: абсциссы и ординаты
- научить определять координаты точек
- научить отмечать точки на координатной плоскости по заданным ее координатам
- закрепить полученные знания в ходе выполнения упражнений
2) развивающие:
- создать у учащихся положительную мотивацию к выполнению умственных и практических действий
- развитие коммуникативной и информационной компетентностей учащихся
- помочь развитию интереса у учащихся не только к содержанию, но и к процессу овладения знаниями
- развивать умение применять полученные знания в конкретной ситуации
- развивать логическое мышление, память, самостоятельность
3) воспитывающие:
- воспитывать у учащихся чувство удовлетворения от возможности показать на уроке свои знания не только по математике, но и в других областях школьных знаний
- развитие интереса к изучению математики
- расширить умственный кругозор учащихся, помочь школьникам лучше понять роль математики в истории общества
- воспитание дисциплинированности, организованности
Тип урока: урок усвоения новых знаний
В соответствие с типом урока выбраны следующие этапы урока
- организационный момент
- актуализация
- подготовка к активному и сознательному усвоению нового материала
- усвоение нового материала
- упражнения на понимание
- обобщение и систематизация знаний
- подведение итогов урока
- оглашение домашнего задания
Ход урока
I. Организационный момент.
Приветствие. Постановка пред учащимися долговременных целей по теме и задач по уроку.
II. Устная работа
Направлена на подготовку учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.
Координаты в жизненных ситуациях используются очень широко.
1. Привести примеры того, как в жизни используются координаты.
2. Предложить учащимся на основе рассмотренных примеров дать понятие координат.
III. Изучение нового материала.
1. Ввести понятие системы координат и координатной плоскости.
Учащимся предлагается рассмотреть рисунок и рассказать, что на нем изображено или ответить на вопросы.
Можно ли утверждать, что на рисунке изображены координатные прямые? Почему?
Под каким углом расположены эти прямые к друг другу?
Охарактеризовать точку пересечения этих прямых.
Что напоминает запись ? Чем она отличается от записи координаты точки на координатной прямой?
Под каким углом из точки А проведены стрелки к координатным прямым и ?
Какая связь между точками координатных прямых, на которые указывают стрелки, и записью ?
Выслушать ответы учащихся. Сделать выводы и ввести понятие системы координат, координатных осей, координатной плоскости, координат точки.
Координаты точки – пара чисел, по которым определяется положение точки на плоскости, где на первом месте стоит абсцисса, а на втором - ордината этой точки.
2. Ввести правило позволяющее определять координаты указанных точек.
Учащимся предлагается рассмотреть рисунок и определить координаты отмеченных точек.
Попросить учащихся сформулировать правило, позволяющее определить координаты точки. Повторить его.
Чтобы определить координаты точки - надо из точки опустить перпендикуляры на координатные оси и определить, какому числу координатной оси соответствует основание перпендикуляра.
Для закрепления этого правила учащимся предлагается самостоятельно определить координаты отмеченных точек координатной плоскости, изображенных на экране. А затем проверить свое решение с тем, что на экране.
3. Определение положения точки на координатной плоскости по известным координатам.
Учащимся дается точка с заданными координатами. Задание – по известным координатам определить положение точки на координатной плоскости.
Сформулировать правило, позволяющее определять положение точки на координатной плоскости.
Чтобы определить положение точки на координатной плоскости – надо провести прямые, перпендикулярные осям, и найти точку их пересечения.
IV. Закрепление изученного материала.
1. Учащимся предлагается построить координатную плоскость в тетрадях и отметить точки с указанными координатами, с последующей проверкой.
2. Резервное задание. Найти площадь прямоугольника, если известны координаты его вершин.
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
Что нового узнали сегодня на уроке? Чему научились?
С какими понятиями познакомились?
Какие правила сегодня изучили?
VI. Домашнее задание.
Практическое задание: начертить на листе бумаги в клетку систему координат, взяв единичные отрезок длиной 1 см (две тетрадные клетки). Отметить произвольно десять точек, не указывая их координаты.