Рассмотрим еще один важный частный случай общего понятия соответствия - отображения множеств. При соответствии R между множествами Х и Y образ элемента а Х может оказаться пустым, а может содержать и несколько элементов.

Отношение между элементами множеств Х и Y называется отображением Х в Y , если каждому элементу х из множества Х соответствует только один элемент множества Y . Этот элемент называют образом элемента х при данном отображении: f(x). На графе такого отображения из каждой точки множества Х будет выходить только одна стрелка (рис. 29).

Рассмотрим следующий пример. Пусть Х - множество студентов в аудитории, а Y - множество стульев в той же аудитории. Соответствие «студент х сидит на стуле у » задает отображение Х в Y . Образом студента х является стул.

Пусть Х = Y = N - множество натуральных чисел. Соответствие «десятичная запись числа х состоит из у цифр» определяет отображение N в N . При этом отображении числу 39 соответствует число 2, а числу 45981 - число 5(39 - двузначное число, 45981 - пятизначное).

Пусть Х - множество четырехугольников, Y - множество окружностей. Соответствие «четырехугольник х вписан в окружность у » не является отображением Х в Y , так как есть четырехугольники, которые нельзя вписать в окружность. Но в этом случае говорят, что получилось отображение из множества Х в множество Y .

Если отображение Х в Y таково, что каждый элемент y из множества
Y соответствует одному или нескольким элементам х из множества Х , то такое отображение называют отображением множества Х на множество Y .

Множество Х называют областью определения отображения f: XY, а множество Y - областью прибытия этого отображения. Часть области прибытия, состоящая из всех образов y из множества Y, называется множеством значений отображения f.

Если y=f(x), то х называют прообразом элемента у при отображении f . Множество всех прообразов элемента у называют его полным прообразом: f (y).

Отображения бывают следующих видов: инъективными, сюръективными и биективными.

Если полный прообраз каждого элемента yY содержит не более одного элемента (может быть и пустым), то такие отображения называют инъективными.

Отображения XY такие, что f(X)=Y , называют отображениями Х на все множество Y или сюръективными (из каждой точки множества Х выходит стрелка, а после изменения направления в каждой точке множества Х заканчивается) (рис. 31).

Если отображение инъективно и сюръективно, то его называют взаимно однозначным или биективным.

Отображение множества Х на множество называется биективным , если каждому элементу х Х соответствует единственный элемент yY, а каждый элемент yY соответствует только одному элементу х Х (рис. 32).

Биективные отображения порождают равномощные (эквивалентные) множества: X~Y.

Пример . Пусть - Х множество пальто в гардеробе, Y - множество крючков там же. Поставим в соответствие каждому пальто крючок, на котором оно висит. Это соответствие является отображением Х в Y. Оно инъективно, если ни на одном крючке не висит более одного пальто или некоторые крючки свободны. Данное отображение сюръективно, если все крючки заняты или на некоторых висят несколько пальто. Оно будет биективным, если на каждом крючке висит только одно пальто.

Отображение - одно из основных понятий математики. Отображение есть какое-либо правило или закон соответствия множеств. Пусть и - произвольные непустые множества. Говорят, что задано отображение множества на множество (запись: или) если каждому элементу множества (поставлен соответствие единственный, однозначно определенный элемент множества (.

Элемент называется образом элемента при отображении, а элемент называется прообразом элемента при этом отображении. Образом множества элементов при отображении называется множество всех элементов вида, принадлежащих области значений. Множество всех элементов (), образы которых составляют область значений называется прообразом множества элементов (). Множество называется областью определения отображения.

Отображение называется сюръективным , когда каждый элемент множества (имеет хотя бы один прообраз множества (, т.е. , или.

Отображение называется инъективным , когда каждый элемент множества (является образом лишь одного элемента множества (, т.е. образы любых двух различных элементов множества различны, т.е. из следует.

Отображение называется биективным или взаимно однозначным , когда оно одновременно инъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества является образом одного и только одного элемента множества.

Равенство двух отображений и означает по определению, что их соответствующие области совпадают (и), причем.

Произведение двух отображений и можно определить как отображение, которое каждому элементу множества ставит в соответствие элемент множества.

Отображение множества на множество иначе называется функцией на множестве со значениями во множестве. Если множества и совпадают, то биективное отображение множества на себя называется преобразованием множества. Простейшее преобразование множества - тождественное - определяется так: . Тождественное отображение, переводящее каждый элемент в себя, также называют единичным преобразованием. Если заданы преобразования и, то преобразование, являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования, а затем и преобразования, называется произведением преобразований и: .

Для преобразований, и одного и того же множества справедливы следующие законы:

Коммутативный закон для произведения преобразований в общем случае не выполняется, т.е. .

Если между двумя множествами можно задать биективное отображение (установить взаимно однозначное соответствие между их элементами), то такие множества называются эквивалентными или равномощными . Конечные множества равномощны только в том случае, когда число их элементов одинаково.

Бесконечные множества также можно сравнивать между собой.

Два множества имеют одинаковую мощность или называются эквивалентными (обозначение), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если можно указать некоторое правило, в соответствии с которым каждому элементу одного из множеств соотносится один и только один элемент другого множества.

Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы не пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которому приписывается более высокое значение кардинального числа или говорят, что это множество имеет б?льшую мощность . Бесконечное множество и некоторое его подмножество могут быть эквивалентными. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством. Для того чтобы множество было счетным, необходимо и достаточно, чтобы каждому элементу множества был поставлен в соответствие его порядковый номер. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Всякое подмножество счетного множества является счетным или конечным. Счетное множество является наиболее примитивно организованным бесконечным множеством. Декартово произведение двух счетных множеств является счетным. Объединение конечного или бесконечного числа конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством.

Введение в теорию множеств и комбинаторику

Практическая работа № 8. Отображения. Виды отображений

Вопросы к работе

1. Что такое «отображение множества в множество»?
2. Что такое «образ», что такое «прообраз» при данном отображении?
3. Что такое полный f - образ, что такое полный f - прообраз, при отображении f ?
4. Назовите типы отображений, дайте их определения и приведите примеры.
5. Какие два множества называются эквивалентными? Приведите примеры.
6. Какое множество называется счетным? Приведите примеры.

Образцы решения заданий

Пример 1. Пусть А = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} N и В ={0; 1} Z Поставим в соответствие каждому числу x A его остаток при делении на 2.

Является ли это соответствие отображением? Какой тип у этого отображения? Какой элемент является образом элемента 6, 7? Найдем полный прообраз элемента 1.

Решение. Изобразим заданное соответствие с помощью графа:

Видим, что:

1) каждый элемент множества А , является точкой исхода;

2) у каждой точки исхода, имеется только по одной точке прибытия. (Значит, указанное соответствие является отображением множества А в множество В);

3) Каждый элемент множества В является точкой прибытия. (Значит, это отображение «на»).

Так как в множестве В есть элемент (например, 0), для которого прообразом является ни один элемент из А , то это отображение не является взаимооднозначным.

Образом числа 6 является число 0 В , образом числа 7 – число 1 В . Полный прообраз числа 1 В есть множество чисел {1; 3; 5; 7; 9} А .

Пример 2. Пусть Х – множество треугольников плоскости, Y = R. Выберем единицу измерения длин и сопоставим каждому треугольнику число – периметр этого треугольника. Будет ли это соответствие отображением? Какой тип у заданного отображения? Каков полный прообраз числа у R ?

Решение. Каждый треугольник на плоскости имеет однозначно определенный периметр. Поэтому каждому треугольнику из множества Х сопоставляется единственное число из R , т. е. это соответствие является отображение Х в R . При этом у двух разных треугольников может быть одинаковый периметр. Другими словами, отображение не является взаимооднозначным. Кроме того, не существует треугольника, периметр которого равен отрицательному числу, т.е. отображение не является отображением «на». Пусть у R . Тогда:

1. у > 0, полный образ – множество всех треугольников плоскости, периметр которых равняется числу у , это множество бесконечное.
2. у ≤ 0, полный образ – пустое множество.

Пример 3. Х = {0; 1; 2; 3; 4} N , Y = Z. Отображение f множества Х в множество Y задано следующим образом:

Определим тип этого отображения и построим его график.

Решение. Для каждого x X найдем образ y Y. Соответствующие результаты запишем в таблицу:

y=f(x)	–2

Множество значений отображения f есть множество

A = {–2; 1; 4; 7; 10} Y и В ≠ Y . У каждого элемента y В в Х имеется только по одному прообразу. Мы имеем, следовательно, отображение взаимооднозначное множества Х в множество Y .

Пары значений (x ; у ) из таблицы образует график данного отображения f: Х→Y . В прямоугольной системе координат этот график имеет вид:

Пример 4. Даны два множества слов: Х = {красный; синий; зеленый; желтый} и Y = {галстук; свет; платок; лист}. Эквивалентны ли эти множества?

Решение. Эти множества эквивалентны, т. к. для них можно установить взаимооднозначное отображение "на".

Например:

Пример 5. Даны множества: А = { x | x = 2 n , n N } и

В = { x | x = , n N }. Эквивалентны ли эти множества?

Решение. Эти множества эквивалентны, т. к. можно подобрать взаимооднозначное отображение множества A на множество В .

Например: f: А В

x = 2 n y = .

Упражнения

1. Между множеством имя Х = {Андрей; Борис; Михаил; Алексей; Константин; Василий; Валентина; Клара; Семен; Мария; Софья; Олег; Трофим4 Юрий; Яков} и множеством Y (букв русского алфавита) установлено соответствие, при котором каждому имени сопоставляется его первая буква. Будет ли это соответствие отображением Х в Y ? Если "да", то какого типа? Найдите образ множества Х . Найдите полные прообразы букв А , Б, К, Л. Постройте граф указанного соответствия.

2. Каждой точке М отрезка АВ поставим в соответствие ее проекцию М на данную прямую L . Будет ли это соответствие отображением? Каким? Опишите область определения, область значений этого отображения.

3. Множество Х состоит из всех квадратов на плоскости, а множество Y из всех окружностей на той же плоскости. Поставим в соответствие каждому квадрату вписанную в него окружность. Является ли это соответствие отображением Х на Y ?

4. Можно ли задать отображение следующим образом: множество А из отрезков, на Y – из треугольников; каждому отрезку ставится в соответствие треугольник, для которого этот отрезок является средней линией?

5. Верно ли, что соответствие f: Z Z

X у = –5 х + 2

есть отображение "на"?

6. Пусть Х – множество вещественных чисел. Каждому числу х Х поставим в соответствие его квадрат. Можно ли это соответствие назвать обратимым отображением?

7. Покажите, что следующие множества счетны:

а) множество нечетных натуральных чисел;

б) множество неотрицательных целых чисел;

в) множество квадратов натуральных чисел;

г) множество натуральных чисел, кратных 5;

д) множество кубов натуральных чисел.

8. Даны два множества: A = {Париж; Москва; Варшава; Краков; Лондон; Саранск; Владимир; Марсель} и B = {Франция; Россия; Англия; Польша; Швеция; Австрия}. Зададим соответствие между ними: «город x A находится в стране ». Построим графики этого соответствия. Будет ли это соответствие отображением? Какого типа?

9. Эквивалентны ли множества А изображений населенных пунктов на карте и множество B населенных пунктов местности, изображенной на карте?

Индивидуальное задание

1. Среди указанных соответствий выбрать отображения. Указать их тип, построить график.

2. Изобразите в прямоугольной декартовой системе координат графики следующих отношений в Z . Для каждого отношения выясните, является ли оно отображением Z в Z , отображением Z на Z , взаимооднозначным отображением, наложением:

1) х + у = 3; 7) у < х + 2;

2) х – у ≤ 5; 8) у ≤ х + 2;

3) х + у = 4, x > 0; 9) у = 4;

4) x = y , – 4 ≤ х ≤ 6; 10) ху = 24, –6 ≤ х ≤ 6.

5) = у , – 4 ≤ х ≤ 6;

6) x > у ;

Задания для самоконтроля

Соедините следующие пары множеств знаком «=», если они равны, и знаком «~», если они эквивалентны:

1) А – множество сторон треугольника,

В - множество углов треугольника;

2) А - множество букв в слове «колос»,

В = {о; к; с; л};

3) А – множество колец на пне дерева,

В – множество лет, прожитым деревом;

4) множество материков на Земле и множество государств

Сюръекция, инъекция и биекция

Правило, задающее отображение f: X (или функцию /), можно условно изобразить стрелками (рис. 2.1). Бели в множестве У есть хотя бы один элемент) на который не указывает ни одна из стрелок, то это свидетельствует о том, что область значений функции f не заполняет все множество У, т.е. f(X) С У.

Если же область значений / совпадает с У, т.е. f{X) = У, то такую функцию называют сюръективной} или короче - сюръекцией, и говорят, что функция / отображает множество X на множество У (в отличие от общего случая отображения множества X в множество У согласно определению 2.1). Итак, / : X есть сюръекция, если Vy 6 У Зх € X: /(х) = у. На рисунке в таком случае к каждому элементу множества У ведет хотя бы одна стрелка (рис. 2.2). При этом к некоторым элементам из У могут вести несколько стрелок. Если к любому элементу у € У ведет не более одной стрелки, то / называют инъективной функцией, или инъекцией. Эта функция не обязательно сюръективна, т.е. стрелки ведут не ко всем элементам множества У (рис. 2.3).

• Итак, функция /: X -У У представляет собой инъекцию, если два любых различных элемента из X имеют своими образами при отображении / два различных элемента из У, или Vy £ f{X) С У 3хеХ: f{x) = y. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Отображение /: X->У именуют биективным, или би-екцией, если каждый элемент у 6 У является образом некоторого и призом единственного элемента из X, т.е. Vy € f(X) = У Э!х € X: f(x) = у.

По сути, функция / в этом случае устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами X и У, и потому ее часто называют взаимно однозначной функцией. Очевидно, что функция / биективна тогда и только тогда, когда она одновременно инъективна и сюръективна. В этом случае стрелки (рис. 2.4) соединяют попарно каждый элемент из X с каждым элементом из У. При этом никакие два элемента из X не могут быть соединены стрелкой с одним и тем же элементом из У, ибо / инъективна, и никакие два элемента из У не могут быть соединены стрелками с одним и тем же элементом из X из-за требования единственности образа в определении 2.1 отображения. Каждый элемент из X участвует в попарном соединении, поскольку X - область определения функции /. Наконец, каждый элемент из У тоже участвует в одной из пар, ибо / сюръективна. Роли X и У в этом случае как бы совершенно одинаковы, и если повернуть все стрелки вспять (рис. 2.5), то получим иное отображение или иную функцию д), которое тоже и инъективно, в сюръективно. Отображения (функции), допускающие такое обращение, будут играть большую роль в дальнейшем.

В частном случае множества X и У могут совпадать (X = У). Тогда биективная функция будет осуществлять отображение множества X на себл. Биекцию множества на себя называют также пре-образов анием. 2.3. Обратное отображение Пусть /: X -? У - некоторая биекция и пусть у € У. Обозначим через /_1(у) единственный элемент х€Х, такой, что /(г) = у. Тем самым мы определим некоторое отображение 9: Y Xу которое является снова биекцией. Ее называют обратным отображением, или обратной биекцией к /. Часто ее также называют просто обратной функцией и обозначают /"*. На рис. 2.5 функция д как раз и является обратной к /, т.е. д = f"1.

Примеры решения в задачах

Отображения (функции) / и являются взаимно обратными. Ясно, что>если функция не является биекцией, то обратной к ней функции не существует. Действительно, если / не инъек-тивна, то некоторому элементу у € У могут соответствовать несколько элементов х из множества X, что противоречит определению функции. Если же / не сюръективна, то в У найдутся элементы, для которых в X нет прообразов, т.е. для этих элементов обратная функция не определена. Пример 2.1. а. Пусть X = У = R - ^комсество действительных чисел. Функция /, определяемая формулой у = За - 2, я,у € R, является биекцией. Обратной функцией будет х = (у + 2)/3. б. Действительная функция f(x) = х2 действительного переменного х не является сюръективной, поскольку отрицаг тельные числа из У = R не являются образами элементов из Х=К при /: ЛГ->У. Пример 2.2. Пусть Л" = R, а У = R+ - множество положительных действительных чисел. Функция f(x) = ах, а > 0, аф 1, является биекцией. Обратной функцией будет Z"1 (У) = 1°8а У

• Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. 2.4. Композиция отображений Если f:X-*Y и g:Y-*Zy то отображение (р:Х -+Z, заданное для каждого а: 6 А" формулой =, именуют композицией (суперпозицией) отображений (функций) / и д> или сложной функцией, и обозначают ро/ (рис. 2.6).
• Таким образом, сложная функция до f реализует правило: я Применяй сначала /, а затем ди, т.е. в композиции операций «до/ надо начинать с операции /, расположенной справа. Отметим, что композиция Рис. 2.6 отображений ассоциативна, т.е.если /: X -+Y , д: Y Z и h: Z-*H> то тогда (hog)of = = ho(gof)i что проще записывают в виде ho до /. Проверим это следующим образом: На любом wK«oaicecmee X определено отображение 1х -X X, называемое тождественным, обозначаемое часто также idx и задаваемое формулой Ix(x) = x Vx € А". Его -действие состоит в том, что оно оставляет все на своих местах.

Так, если является биекцией, обратной к биекции /: Х-+У, то /"1о/ = /х, а /о/-1 = /у, где и /у - тождественные отображения множеств X и У соответственно. Обратно, если отображения f: X ->Y и р: У Л" таковы, что gof = Ix и fog = /у, то функция / является биекцией, а у - ее обратной биекцией. Очевидно, что если / - биекция Л" на У, а $ - биекция У на Z, то gof является биекцией X на Z, а будет по отношению к ней обратной биекцией. 2.5. Произведение множеств. График отображения Напомним, что две взаимно перпендикулярные координатные оси с масштабом, одинаковым для обеих осей, задают на плоскости прямоугольную декартову систему координат (рис. 2.7). Точку О пересечения координатных осей называют начало* координат.

Каждой точке М можно поставить в соответствие пару (я, у) действительных чисел где х - координата точки Мх на ко-ординатной оси Ох, а у - координата точки Му на координатной оси Оу. Точки Мх и Му являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки М соответственно на оси Ох и Оу. Числа х и у называют координатами точки М (в выбранной системе координат), причем х называют абсциссой точки М, а у - ординатой этой точки. Очевидно, что каждой паре (а, Ь) действительных чисел а, 6 6R соответствует на плоскости точка М, имеющая эти числа своими координатами. И обратно, каждой точке М плоскости соответствует пара (а, 6) действительных чисел а и 6. В общем случае пары (а, Ь) и (6, а) определяют разные точки, т.е. существенно, какое из двух чисел а и b стоит в обозначении пары на первом месте. Таким образом, речь идет об упорядоченной паре. В связи с этим пары (а, 6) и (6, а) считают равными между собой, и они определяют одну и ту же точку на плоскости, если только а = 6. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение.

Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Множество всех пар действительных чисел, а также множество точек плоскости обозначают R2. Это обозначение связано с важным в теории множеств понятием прямого (или дек ар-това) произведения множеств (часто говорят просто о произведении множеств). Определение 2.2. Произведением множеств А и В называют множество Ах В возможных упорядоченных пар (ж, у), где первый элемент взят из А, а второй - из В, так что Равенство двух пар (х, у) и (&", у") определяют условиями х = х" и у = у7. Пары (я, у) и (у, х) считают различными, если хфу. Это особенно важно иметь в виду, когда множества А и В совпадают. Поэтому в общем случае А х В ф В х Л, т.е. произведение произвольных множеств не коммутативно, но оно дистрибутивно по отношению к объединению, пересечению и разности множеств: где обозначает одну из трех названных операций. Произведение множеств существенно отличается от указанных операций над двумя множествами. Результатом выполнения этих операций является множество, элементы которого (если оно не пустое) принадлежат одному или обоим исходным множествам. Элементы же произведения множеств принадлежат новому множеству и представляют собой объекты иного рода по сравнению с элементами исходных множеств. Аналогично определению 2.2

Можно ввести понятие произведения более чем двух множеств. Множества (А х В) х С и А*х (В х С) отождествляют и обозначают просто А х В х С, так что. Произведения Ах Ау Ах Ах А и т.д. обозначают, как правило, через А2 , А3 и т.д. Очевидно, плоскость R2 можно рассматривать как произведение R х R двух экземпляров множества действительных чисел (отсюда и происходит обозначение множества точек плоскости как произведения двух множеств точек числовой прямой). Множеству точек геометрического (трехмерного) пространства соответствует произведение R х R х R трех экземпляров множества точек числовой прямой, обозначаемое R3.

• Произведение п множеств действительных чисел обозначают Rn. Это множество представляет собой всевозможные наборы (xj, Х2, хп) из п действительных чисел Х2) хп £ R, а любая точка х* из Rn есть такой набор (xj, х, х*) действительных чисел хп € К*
• Произведение п произвольных множеств есть множество упорядоченных наборов из п (в общем случае разнородных) элементов. Для таких наборов употребляют названия кортеж или n-ка (произносят „энка"). Пример 2.3. Пусть А = { 1, 2} и В = {1, 2}. Тогда, и множество А х В можно отождествить с четырьмя точками плоскости R2, координаты которых указаны при перечислении элементов этого множества. Если С={ 1,2} и D={3,4}, то. Пример 2.4. Пусть Тогда Геометрическая интерпретация множеств Е х F и F х Е представлена на рис. 2.8. # Для отображения /: X можно составить множество упорядоченных пар (г, у), которое является подмножеством прямого произведения X х У.
• Такое множество называют графиком отображения f (или графиком функции я*»- Пример 2.5. В случае XCR и Y = К каждая упорядоченная пара задает координаты точки на плоскости R2. Если при этом X является промежутком числовой прямой R, то график функции может представлять некоторую линию (рис. 2.9). Пример 2.6. Ясно, что при XCR2 и У = R график функции есть некоторое множество точек в R3, которое может представлять некоторую поверхность (рис. 2.10).

Если же X С R, а У = R2, то график функции также есть множество точек в R3, которое может представлять некоторую линию, пересекаемую плоскостью х = const лишь в одной точке М с тремя координатами х} yi, у2 (рис. 2.11). # Все упомянутые примеры графиков функции являются важнейшими объектами математического анализа, и в дальнейшем они будут подробно рассмотрены.

Пусть заданы два множества X и У. Определение 2.1. Отображением f множества X в множество У, или функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве У, называют соответствие, которое каждому элементу х£Х соотносит некоторый единственный элемент у € У. Множество X называют областью определенил функции / и обозначают D(f), элемент хбХ - аргументом функции, а элемент у £ У - зависшим* перелсенныл. При этом элемент у £ У, соответствующий элементу z £ X, именуют образом элемента х при отображении / или значением функции f в точке х и обозначают f(x). Областью значений функции / (или образом множества X при отображении /) называют множество обозначаемое Д(/). Множество X = D(f) является прообразом множества f(X) = R(f) при отображении /. При заданном элементе у £ У совокупность всех таких элементов х 6 Xу что f(x) = у, называют прообразом элемента у и обозначают /-1(у), т.е. Факту задания отображения (или функции) соответствует запись / : X У, или /: х у, или просто у = /(я). Таким образом, Часто функцию / обозначают /(ж). Обозначение функции и ее значения в точке х € X одним и тем же символом f(x) обычно не вызывает недоразумений, поскольку в каждом конкретном случае, как правило, ясно, что имеют в виду. Обозначение f(x) часто удобнее, чем f:x-+y. Например, -при аналитических преобразованиях запись f(x) = х2 удобнее по сравнению с / : х -> х2. Чтобы отличать обозначение конкретного значения f(x) функции при конкретном значении ее аргумента х от обозначения самой функции, в последнем случае иногда пишут /(я), х еХ. Итак, понятие функции состоит из трех неотъемлемых частей: 1) области определения Х\ 2) множества У, содержащего значения функции; 3) правила /, которое для каждого элемента х £ X задает единственный элемент у = f(x) £ У. На множества X и Y определение 2.1 не накладывает никаких ограничений. В зависимости от того, какими являются эти множества, получим тот или иной класс функций. Так, если Y С R, то f(x) называют действительной (или скалярной) функцией, а если У С Rn, то f(x) называют векторной функцией. Когда область определения X функции f(x) есть множество R или некоторое его подмножество, f(x) именуют функцией действительного (или вещественного) переменного. Когда и XCR.h У CR, f(x) называют действительной функцией действительного переменного. Если областью определения функции является множество натуральных чисел N= {1, 2, ...}, то ее называют последовательностью элементов множества У и обозначают Уп] или {уп}, имея в виду, что уп = /п = /(п)€У при n€ N, а при У С R - числовой последовательностью (или просто последовательностью). Подмножество является образом подмножества А С X при отображении / : X У. Для образов подмножеств Л С X и В С X справедливы соотношения а в случае Л С В Подмножество будет прообразом подмножества S С У при отображении f:X->Y. Итак, прообраз множества 5 состоит из всех тех элементов х € Xу которые функция / отображает в элементы из S, или, что то же самое, прообраз множества 5 состоит из всех прообразов элементов у G 5, т.е. Для прообразов множеств 5 С У и Г С У справедливы соотношения, и при условии S СТ /-1(S) С /-1(Г). В случае А С X отображение / : X порождает отображение /д: А Y) определяемое формулой /а(«) = f(x) для х € А. Это отображение называют сужением отображения (функции) f на множество А. Говорят также, что f является продолжением отображения (функции) fA множества А в множество Y на множество X, но обычно продолжают писать / вместо