μ(n ) определена для всех натуральных чисел n и принимает значения в зависимости от характера разложения числа n на простые сомножители:

• μ(n ) = 1 если n свободно от квадратов (т.е. не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение n чётного числа сомножителей;
• μ(n ) = − 1 если n свободно от квадратов и разложение n на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
• μ(n ) = 0 если n не свободно от квадратов.

По определению также полагают μ(1) = 1 .

Свойства и приложения

Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел a и b выполняется равенство μ(a b ) = μ(a )μ(b ) .

Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n , не равного единице, равна нулю

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

Отсюда, в частности, следует, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств состоящих из нечётного числа элементов равно количеству различных подмножеств состоящих из чётного числа элементов - факт, применяемый в доказательстве .

Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением

Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана , см. статью гипотеза Мертенса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса

Для арифметических функций f и g ,

g (n ) =	∑	f (d )
	d | n

тогда и только тогда, когда

.

Вторая формула обращения Мёбиуса

Для вещественнозначных функций f (x ) и g (x ) , определеных при ,

тогда и только тогда, когда

.

Здесь сумма интерпретируется как .

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Функция Мебиуса" в других словарях:

Функция Мёбиуса μ(n) мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г. Содержание 1 Определение 2 Свойства и приложения … Википедия

Функция Мёбиуса μ(n) мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г. Содержание 1 Определение 2 Свойства и приложения … Википедия

Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и сфере Римана (чёрная) Содержание 1 Определение 2 Алгебраические свойства … Википедия

Дробно линейная функция функция вида где z = (z1,...,zn) комплексные или вещественные переменные, ai,b,ci,d комплексные или вещественные коэффициенты. Часто термин «дробно линейная функция» используется для её частного случая преобразования… … Википедия

Ряд Мёбиуса функциональный ряд вида Этот ряд был исследован Мёбиусом, который нашел для этого ряда формулу обращения: где μ(s) функция Мёбиуса … Википедия

МЕТОДЫ ВРАЧЕБНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ - І. Общие принципы врачебного исследования. Рост и углубление наших знаний, все большее, и большее техническое оснащение клиники, основанное на использовании новейших достижений физики, химии и техники, связанное с этим усложнение методов… … Большая медицинская энциклопедия

Патологическое состояние, развившееся во время родов и характеризующееся повреждениями тканей и органов ребенка, сопровождающимися, как правило, расстройством их функций. Факторами, предрасполагающими к развитию Р. т.н., являются неправильное… … Медицинская энциклопедия

Лемма.

Доказательство . Для утверждение очевидно. Пусть и − каноническое разложение числа . Тогда, учитывая, что делители имеют вид , где , ,…, ; , получаем

поскольку

Теорема. (Аддитивная формула обращения Мёбиуса .) Пусть и − функции натурального аргумента . Тогда, если

Доказательство . Имеем

Пусть . Тогда прификсированном пробегает все значения делителей числа . Это означает, что знаки суммирования в последней двойной сумме можно поменять местами, т.е.

Теперь, учитывая, что

получаем

Имеется другая форма доказанной теоремы:

Теорема . (Мультипликативная формула обращения Мёбиуса .) Пусть

где символ обозначает произведение, распространенное на все делители числа .

Доказательство :

Примеры использования формулы обращения Мёбиуса :

Задача о числе кольцевых последовательностей. См.: Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, , § .

Число неприводимых многочленов заданной степени над конечным полем из элементов. См.: Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. − М.: Мир, 1970, Гл. 3.

Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. В -х т. М.: Гелиос, . Т. , § .

Для самостоятельного изучения :

Обращение Мёбиуса на частично упорядоченных множествах. Принцип включения-исключения как частный случай формулы обращения Мёбиуса. См.: Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, , § ; Бендер Э., Гольдман Дж. О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе. В кн.: Перечислительные задачи комбинаторного анализа. М.: Мир, 1971. С. - .

Сравнения для чисел сочетаний

Пусть − простое число.

Лемма.

Доказательство . При числитель в формуле

Следствие.

Доказательство .

Лемма. Пусть , , , − неотрицательные целые числа, причем , . Тогда

Доказательство . Имеем

С другой стороны,

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем требуемый результат. ∎

− представления неотрицательных целых чисел и по основанию . (Здесь любое целое, при котором , ). На множестве неотрицательных целых чисел определим отношение частичного порядка (отношение предшествования ) , полагая , тогда и только тогда, когда

Теорема Лукаса ( ).

Доказательство . Согласно предыдущей лемме,

где , . Применяя лемму повторно к надлежащее число раз, получаем требуемый результат. ∎

Замечание. Теорема не верна для непростых . Например (см. Берлекэмп, с. ),

Следствие .

II. Алгебраические структуры

II. 1. Множества с бинарными операциями. Группоиды, полугруппы, моноиды

Бинарной алгебраической операцией (или законом композиции ) на непустом множестве S называется отображение : , сопоставляющее паре , элементов , однозначно определённый элемент , . На множестве может быть задано много операций . (Если, например, конечно, то число способов равно , где − число элементов в .) Желая выделить одну их них, например, , пишут , . Такой объект называют бинарной алгеброй , или группоидом . Вместо , часто пишут , а саму операцию обозначают каким-либо символом ( , , , и т.п.).

Замечание. Наряду с бинарными операциями рассматривают более общие -арные операции (унарные при , тернарные при и т.д.). Связанные с ними алгебраические структуры (системы) составляют предмет исследования т.н. универсальных алгебр.

Бинарная операция на множестве называется ассоциативной , если

, для любых , , .

Группоид с ассоциативной операцией называют полугруппой .

Пример неассоциативного группоида. На множестве определим операцию как . Операция неассоциативна: , но .

Теорема. Если бинарная операция на множестве ассоциативна, то значение выражения не зависит от расстановки в нём скобок.

Доказательство. При , или утверждение очевидно. Для достаточно, применяя индукцию, показать, что

для любых , . По предположению индукции расстановка скобок в

Не существенна; в частности, .

Если , то .

Если , то

К такому же виду приводится и правая часть доказываемого равенства (1). ∎

Элемент называется нейтральным относительно операции , если

для любого .

Полугруппу , с элементом называют моноидом (или полугруппой с единицей ) и обозначают , , .

В полугруппе (группоиде) может быть не более одного нейтрального элемента: если

, − нейтральные элементы, то

Группоид (полугруппу) , называют подгруппоидом (подполугруппой ) группоида (полугруппы) , , если

И для любых , .

В этом случае говорят, что подмножество замкнуто относительно операции . Моноид , , называют подмоноидом моноида , , , если выполняется и .

Элемент моноида , , называется обратимым , если найдётся элемент такой, что (очевидно, что тогда и обратим). Если таким же свойством обладает и элемент , т.е. , то из равенств следует, что элемент является на самом деле единственным (по отношению к ). Это позволяет говорить об обратном элементе , к(обратимому) элементу , со свойствами: , .

Если , − обратимые элементы моноида , , , то их произведение − также обратимый элемент, поскольку , . Очевидно, что − обратимый элемент. Следовательно, имеет место

Теорема. Множество всех обратимых элементов моноида , , замкнуто относительно операции ∗ и образует подмоноид в , , .

Группы

Определение группы. Моноид , , , все элементы которого обратимы, называется группой.

Другими словами, группа − это множество с бинарной операцией , для которых выполняются следующие аксиомы:

. (Замкнутость операции .) , .

. (Ассоциативность операции .) ,

. (Существование нейтрального элемента .) ∃ .

. (Существование обратного элемента .) .

Замечание. Возвращаясь к введённым выше алгебраическим структурам, мы наблюдаем среди них следующую иерархию: пара , является группоидом , если выполняется аксиома ; полугруппой , если выполняются аксиомы и ; моноидом , если выполняются аксиомы , и ; группой , если выполняются аксиомы , , и .

Естественным образом определяются степени элементов с очевидными свойствами:

( раз),

; , ( , , .

Переставлять элементы в выражении , вообще говоря, нельзя (т.е. ). Если , то элементы называются перестановочными , или коммутирующими . Если любые два элемента группы коммутируют, то группа называется коммутативной , или абелевой (в честь норвежского математика Риль Хенрика Абеля ( - )).

Операция в группе чаще всего обозначается либо символом (сложение), либо символом (умножение). При этом группа называется соответственно аддитивной или мультипликативной , её нейтральный элемент − соответственно нулём () или единицей (). В аддитивной группе элемент, элемент, обратный к элементу , называется противоположным и обозначается , а вместо пишут . В мультипликативной группе вместо обычно пишут , опуская символ операции.

Примеры аддитивных групп. 1) , , , , , , , – аддитивные группы кольца и полей , , . Пишут просто , , , . 2) Любое кольцо по сложению − абелева группа. В частности, кольцо многочленов ,…, ] и кольцо матриц , порядка над полем − абелевы группы. 3) Любое векторное пространство над полем относительно сложения − абелева группа. 4) , 1,…, − полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю с операцией сложения по модулю .

Примеры мультипликативных групп. 1) , , − мультипликативные группы полей , , . 2) − множество обратимых элементов любого кольца с единицей относительно умножения. В частности, = ; , − множество обратимых матриц из . 3) − всех (вещественных и комплексных) корней

, , 1,…, , − мнимая единица,

уравнения − мультипликативная абелева группа. 4) − множество вращений правильного -угольника в плоскости и в пространстве − некоммутативная группа (при ).

Далее чаще используется мультипликативная форма записи операции. Группа обычно обозначается одной буквой без указания операции. Множество всех элементов группы называется основным множеством группы и обозначается той же буквой . Если основное множество конечно, то группа называется конечной ; в противном случае она называется бесконечной . Число элемент конечной группы называется её порядком . Группа порядка 1 называется единичной , или тривиальной . О бесконечной группе говорят, что она имеет бесконечный порядок . Для обозначения порядка группы (мощности основного множества) используются равноправные символы Card (кардинальное число), и ().

Если , − подмножества (основного множества) группы, то полагаем

, , .

Подгруппой группы называется подмножество в само являющееся группой относительно той же операции, что и в . Другими словами, подмножество является подгруппой тогда и только тогда, когда ( единица в ) и замкнуто относительно умножения и взятия обратного, т.е. , (на самом деле здесь даже равенства). Если − подгруппа в , то пишут ; если при этом , то называется собственной подгруппой и это обозначается как .

Практически все знают, как выглядит символ бесконечности, напоминающий перевернутую восьмерку. Этот знак называют еще «лемниската», что с древнегреческого означает лента. Представьте себе, что символ бесконечности очень похож на реально существующую математическую фигуру. Знакомьтесь, Лента Мебиуса!

Что такое Лента Мебиуса?

Лента Мебиуса (или ее еще называют петля Мебиуса, лист Мебиуса и даже кольцо Мебиуса) - одна из наиболее известных в математике поверхностей. Петля Мебиуса - это петля с одной поверхностью и одним краем.

Чтобы понять, о чем идет речь, и как такое может быть, возьмите лист бумаги , вырежьте полоску прямоугольной формы и в момент соединения ее концов перекрутите на 180 градусов один из них, после чего соедините. Разобраться в том, как сделать ленту Мебиуса поможет картинка ниже.

Что же такого примечательного в ленте Мебиуса?

Лента Мебиуса - пример неориентируемой односторонней поверхности с одним краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве. Большинство предметов являются ориентируемыми, имеющими две стороны, например, лист бумаги.

Как тогда лента Мёбиуса может быть неориентируемой, односторонней поверхностью - скажете вы, ведь бумага, из которой она сделана имеет две стороны. А вы попробуйте взять маркер и заполнить цветом одну из сторон ленты, в конечном итоге вы упретесь в начальную позицию, причем вся лента окажется целиком закрашенной, что подтверждает наличие у нее всего одной стороны.

Чтобы поверить в то, что у петли Мебиуса всего один край - проведите пальцем по одному из граней ленты не прерываясь, и Вы точно так же, как и в случае с раскрашиванием, упретесь в точку, с которой начали движение. Удивительно, не правда ли?

Изучением ленты Мёбиуса и множества других интересных объектов занимается - топология , раздел математики, который исследует неизменные свойства объекта при его непрерывной деформации - растяжении, сжатии, изгибе, без нарушения целостности.

Открытие Августа Мебиуса

«Отцом» открывателем этой необычной ленты признан немецкий математик Август Фердинанд Мебиус , ученик Гаусса, написавший не одну работу по геометрии, но прославившийся преимущественно открытием односторонней поверхности в 1858 году.

Удивительным является тот факт, что ленту с одной поверхностью в тот же самый 1858 год открыл другой ученик Гаусса - талантливый математик Иоганн Листинг , придумавший термин «топология» и написавший серию основополагающих трудов по этому разделу математики. Однако свое название необычная лента все же получила по фамилии Мебиуса.

Есть расхожее мнение, что прообразом модели «бесконечной петли» стала неверно сшитая лента служанкой профессора Августа Мебиуса.

На самом деле , лента была открыта давным-давно еще в древнем мире. Одним из подтверждений служит находящаяся во Франции, в музее города Арль древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой. На ней нарисован Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На фоне неоднократно изображен орнамент с перекрученной лентой.

«Магия» ленты Мебиуса

1. Несмотря на кажущееся наличие у листа Мебиуса двух сторон, на самом деле сторона всего одна, и раскрасить в два цвета ленту не получится.
2. Если ручкой или карандашом начертить по всей длине петли линию, не отрывая руку от листа, то грифель в конечном итоге остановится в точке, с которой Вы начали чертить линию;
3. Примечательные опыты получаются при разрезании ленты, способные удивить, как взрослого, так и ребенка в особенности.

• Для начала склеим ленту Мебиуса, как было рассказано ранее. Затем разрежем ее вдоль по всей длине ровно посередине, как показано ниже:

Вас порядком удивит результат, ведь вопреки ожиданиям в руках останется не два отрезка ленты, и даже не два отдельных круга, но другая, еще более длинная лента. Это уже будет не лента Мебиуса, перекрученная на 180 градусов, а лента с поворотом на 360 градусов.

• Теперь проведем другой эксперимент - сделаем еще одну петлю Мебиуса, после чего отмерим 1/3 ширины ленты и отрежем по этой линии. Результат поразит вас еще больше - в руках останутся две отдельные ленты разных размеров, соединенные вместе, как в цепочке: одна маленькая лента, и более длинная вторая.

У меньшей ленты Мёбиуса будет 1/3 от изначальной ширины ленты, длина L и поворот на 180 градусов. У второй более длинной ленты будет также ширина 1/3 от начальной, но длина 2L, а поворот на 360 градусов.

• Можно и дальше продолжать эксперимент, разрезая получившиеся ленты на еще более узкие, результат увидите сами.

Зачем нужна петля Мебиуса? Применение

Лента Мебиуса - вовсе не абстрактная фигура, нужная лишь для целей математики, она нашла применение и в реальной повседневной жизни. По принципу этой ленты функционирует в аэропорту лента, передвигающая чемоданы из багажного отделения. Такая конструкция позволяет ей служит дольше в связи с равномерным изнашиванием. Открытие Августа Мебиуса повсеместно исполбьзуется в станкостроении. Конструкцию используют для большего времени записи на пленку, а также в принтерах, использующих ленту при распечатке.

Благодаря своей наглядности, петля Мебиуса дает возможность делать современным ученым все новые и новые открытия. С момента обнаружения удивительных свойств петли по всему миру прокатилась волна новых запатентованных изобретений. Например, значительное улучшение свойств магнитных сердечников, изготовленных из ферро-магнитной ленты, намотанных по способу Мебиуса.

Н. Тесла получил патент на многофазную систему переменного тока, использовав намотку катушек генератора по типу петли Мебиуса.

Американский ученый Ричард Дэвис сконструировал нереактивный резистор Мебиуса - способный гасить реактивное (емкостное и индуктивное) сопротивление, не вызывая элекстромагнитных помех.

Лента Мебиуса - широкое поле для Вдохновения

Сложно оценить важность значения открытия петли Мебиуса, которое вдохновило не только большое множество ученых, но и писателей, художников.

Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера. На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности.

Художник черпал свои идеи из статей и трудов по математике, он был глубоко увлечен геометрией. В связи с чем на его литографиях и гравюрах часто присутствуют различные геометрические формы, фракталы, потрясающие оптические иллюзии.

До сих пор интерес к петле Мебиуса находится на очень высоком уровне, даже спортсмены ввели одноименную фигуру высшего лыжного пилотажа.

По произведению «Лента Мёбиуса» писателя фантаста Армина Дейча снят не один фильм. В форме петли Мебиуса создается огромное множество украшений, обуви, скульптур и многих других предметов и форм.

Лист Мебиуса наложил отпечаток на производство, дизайн, искусство, науку, литературу, архитектуру.

Умы многих людей волновала схожесть формы молекулы ДНК и петли Мебиуса. Существовала гипотеза, которую выдвинул советский цитолог Навашин, что форма кольцевой хромосомы по строению аналогична ленте Мебиуса. На эту мысль ученого натолкнул тот факт, что кольцевая хро-мосома, размножаясь, превращается в более длинное кольцо, чем в самом начале, или в два небольших кольца, но как в цепи продетых одно в другое, что очень напоминает выше описанные опыты с листом Мебиуса.

В 2015 году группа ученых из Европы и США смогла закрутить свет в кольцо Мёбиуса . В научном опыте ученые использовали оптические линзы, и структурированный свет - сфокусированный лазерный луч с преопределенными интенсивностью и поляризацией в каждой точке своего движения. В итоге были получены световые ленты Мебиуса.

Есть еще одна более масштабная теория. Вселенная - это огромная петля Мебиуса . Такой идеи придерживался Эйнштейн. Он предположил, что Вселенная замкнута, и космический корабль, стартовавший из определенной ее точки и летящий все время прямо, возвратится в ту же самую точку в пространстве и времени, с которой и началось его движение.

Пока это всего лишь гипотезы, у которых есть как сторонники, так и противники. Кто знает, к какому открытию подведет ученых, казалось бы, такой простой объект, как Лента Мебиуса.