Пусть G
– группа и элемент a
G
.
Порядком элемента а (обозначается ׀а׀)
называется такое наименьшее натуральное
число n
N
, что
a n = a . . . . a =1.
Если же такого числа не существует, то говорят, что а – элемент бесконечного порядка.
Лемма 6.2. Если a k = 1 , то k делится на порядок элемента а .
Определение.
Пусть G
– группа и а
G
. Тогда множество
H = {a k
׀
k
}
является подгруппой группы G , называемой циклической подгруппой, порожденной элементом а (обозначается Н = < а >).
Лемма 6.3. Циклическая подгруппа Н , порожденная элементом а порядка n , является конечной группой порядка n , причем
H = {1=a 0 , а, … ,а n-1 }.
Лемма 6.4.
Пусть а
– элемент бесконечного порядка. Тогда
циклическая подгруппа Н
= <а
>
– бесконечна и любой элемент из Н
записывается в виде a
k
, к
Z
, причем единственным образом.
Группа называется циклической , если она совпадает с одной из своих циклических подгрупп.
Пример 1 . Аддитивная группа Z всех целых чисел – бесконечная циклическая группа, порожденная элементом 1.
Пример 2. Множество всех корней n -ой степени из 1 является циклической группой порядка n .
Теорема 6.2. Любая подгруппа циклической группы – циклическая.
Теорема 6.3. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел Z . Всякая конечная циклическая порядка n изоморфна группе всех корней n -ой степени из 1.
Нормальная подгруппа. Фактор группа.
Лемма 6.5. Пусть Н – подгруппа группы G , для которой все левые смежные классы одновременно являются и правыми смежными классами. Тогда
aH = Ha
,
a
G
.
Определение. Подгруппа Н группы G называется нормальной в G (обозначается Н G ), если все и левые смежные классы являются и правыми, то есть
aH = Ha
,
a
G
.
Теорема
6.4.
Пусть Н
G
,
G/Н
– множество всех смежных классов группы
G
по подгруппе Н
.
Если определить на множестве G/Н
операцию умножения следующим образом
(аН)(bН) = (аb)Н,
то G/Н становится группой, которая называется фактор группой группы G по подгруппе Н .
Гомоморфизм групп
Определение.
Пусть G
1
и G
2
– группы.
Тогда отображение f
:
G
1 
G
2
называется гомоморфизмом G
1
в G
2 ,
если
F
(ab
)
= f
(a
)f
(b
)
,
a,b
G
1 .
Лемма 6.6. Пусть f – гомоморфизм группы G 1 в группу G 2 . Тогда:
1) f (1) – единица группы G 2 ;
2) f
(a
-1)
= f
(a
) -1
,
a
G
1
;
3) f (G 1) – подгруппа группы G 2 ;
Определение. Пусть f – гомоморфизм группы G 1 в группу G 2 . Тогда множество
ker
f
= {a
G
1
׀f
(a
)
= 1
G
2
}
называется ядром гомоморфизма f .
Теорема 6.5.
k
er
f
G
.
Теорема 6.6. Любая нормальная подгруппа группы G является ядром некоторого гомоморфизма.
Кольца
Определение. Непустое множество К называется кольцом , если на нем определены две бинарные операции, называемые сложением и умножением и удовлетворяющие следующим условиям:
К – абелева группа относительно операции сложения;
умножение ассоциативно;
выполняются законы дистрибутивности
x (y+z ) = xy+xz ;
(x+y
)z
= xz+yz
,
x,y,z
K
.
Пример 1. Множества Q и R – кольца.
Кольцо называется коммутативным , если
xy = yx
,
x,y
K
.
Пример 2.
(Сравнения
).
Пусть m
– фиксированное натуральное число, a
и b
– произвольные целые числа. Тогда число
а
сравнимо с числом b
по модулю m
,
если разность a
– b
делится на m
(пишется: a
b
(mod m
)).
Отношение уравнения является отношением эквивалентности на множество Z , разбивающее Z на классы, называемые классами вычетов по модулю m и обозначается Z m . Множество Z m является коммутативным кольцом с единицей.
Поля
Определение. Полем называется непустое множество Р , содержащее не 2-х элементов, с двумя бинарными операциями сложения и умножения такими, что:
Пример 1 . Множество Q и R бесконечные поля.
Пример 2 . Множество Z r – конечное поле.
Два элемента a и b поля Р отличные от 0 называются делителями нуля, если ab = 0.
Лемма 6.7. В поле нет делителей нуля.
Подгруппы циклических групп
Следующая теорема описывает строение подгрупп циклических групп.
Теорема 1.4. Подгруппа циклической группы циклическая. Если G = (a)uH - неединичная подгруппа группы G,moH = (а п), где п - наименьшее натуральное число, такое что а п е Н.
Доказательство. Пусть G = (а) и Н - подгруппа группы G. Если подгруппа Н единичная, то Н = (е) - циклическая группа. Пусть Н - неединичная подгруппа. Обозначим через п наименьшее натуральное число, такое что а п е Н, и докажем, что Н = (а п). Включение (а п ) с Н очевидно. Докажем обратное включение. Пусть h е Н. Поскольку G = (а), то существует целый показатель к, такой что h = а к. Разделим к на п с остатком: к = nq + г, где 0 п. Если предположить, что г Ф 0, то получим h = а к = а па п ч а г, откуда a r = а~ п чН е Н. Пришли к противоречию с минимальностью показателя п. Следовательно, г = 0 и к - nq. Отсюда h = a k = а п ч е а"). Таким образом, Н с (а п), а значит, Н = (а п). Теорема доказана.
Порождающие элементы циклической группы
Какими элементами может порождаться циклическая группа? Отвечают на этот вопрос следующие две теоремы.
Теорема 1.5. Пусть дана циклическая группа G = (а) бесконечного порядка. Тогда (а) - (а к) тогда и только тогда, когда к - ± 1.
Доказательство. Пусть G = (а), |а| = °° и (а) = (а к). Тогда существует целое число п, такое что а = а кп. Отсюда а*" -1 = е, а так как | а = то кп - 1 = 0. Но тогда кп = 1 ик- ± 1. Обратное утверждение очевидно.
Теорема 1.6. Пусть дана циклическая группа G = (а) порядка т. Тогда (а) = (а к) тогда и только тогда, когда НОД(/с, т) = 1.
Доказательство. (=>) Пусть (а) = (а к), докажем, что НОД(/с, т) - 1. Обозначим НОДЦс, т) - d. Поскольку а е (а) - (а к), то а = а кп при некотором целом п. По свойству порядков элементов отсюда следует, что (1 - кп) : т, т.е. 1 - кп = mt при некотором целом t. Но тогда 1 = (кп + mt) : d, откуда d = 1 и НОД(/с, т) = 1.
(Пусть НОД (к, т) = 1. Докажем, что (а) = (а к). Включение (а к) с (а) очевидно. Обратно, из условия НОД№, т) = 1 следует существование целых чисел и и v, таких что ки + mv = 1. Пользуясь тем, что | а | - т, получаем а = a ku+mv = a ku a mv = а ки е (а к ). Следовательно, (а) = (а к ). Теорема доказана.
Напомним, что функция Эйлера ф(т) определяется как количество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа т и взаимно простых с т. Отсюда получаем следствие.
Следствие. Циклическая группа (а) порядка т имеет ф(т) различных порождающих элементов.
Для придания геометрической наглядности теореме 1.5 изобразим циклическую группу G = (а) порядка т точками окружности А 0 , А ь..., А т _ ь делящими ее на т равных частей. Элемент а к данной группы, соответствующий точке А к, будет порождающим тогда и только тогда, когда, соединяя последовательно точки А 0 , А к, А 2к и т.д., мы придем в точку А]. Найдем все такие к при т = 10 простым перебором случаев (рис. 1.5). В результате получим к = 1,3, 7, 9. Для циклической группы (а) это означает, что (а) = (а 3) = (а 7) = (а 9). Обратно: найдя к, взаимно простое с данным числом т, можно смело вычерчивать соответствующую «звездочку», твердо зная, что рано или поздно попадешь в каждую точку, ибо (а) = (а к).
Пусть g – произвольный
элемент группы G. Тогда, принимая
,
мы получим минимальную подгруппу
,
порожденную одним элементом
.
Определение.
Минимальная
подгруппа
,
порожденная одним элементом g группы
G, называетсяциклической
подгруппой
группы G.
Определение.
Если
вся группа G порождена одним элементом,
т.е.
,
то она называетсяциклической
группой
.
Пусть
элемент мультипликативной группы G,
тогда минимальная подгруппа, порожденная
этим элементом, состоит из элементов
вида
Рассмотрим степени
элемента
,
т.е. элементы
.
Имеются две возможности:
1. Все
степени элемента g различны, т.е.
,
то в этом случае говорят, что элемент g
имеет бесконечный порядок.
2. Имеются
совпадения степеней, т.е.
,
но
.
В этом случае элемент g имеет конечный порядок.
Действительно,
пусть, например,
и
,
тогда,
,
т.е. существуют положительные степени
элемента
,
равные единичному элементу.
Пусть d – наименьший
положительный показатель степени
элемента
,
для которого
.
Тогда говорят, что элемент
имеет конечный порядок равный d.
Вывод.
В
любой группе G конечного порядка (
)
все элементы будут конечного порядка.
Пусть g элемент
мультипликативной группы G, тогда
мультипликативная подгруппа
состоит из всех различных степеней
элемента g. Следовательно, число элементов
в подгруппе
совпадает с порядком элемента
т. е.
число элементов
в группе
равно порядку элемента
,
.
С другой стороны, имеет место следующее утверждение.
Утверждение.
Порядок
любого элемента
равен порядку минимальной подгруппы,
порожденной этим элементом
.
Доказательство.
1.Если
– элемент конечного порядка
,
то
2. Если
– элемент бесконечного порядка, то
доказывать нечего.
Если элемент
имеет порядок
,
то, по определению, все элементы
различны и любая
степень
совпадает с одним из этих элементов.
Действительно,
пусть показатель степени
,
т.е.
– произвольное целое число и пусть
.
Тогда число
можно представить в виде
,
где
,
.
Тогда, используя свойства степени
элемента g, получаем
.
В частности, если .
Пример.
Пусть
– аддитивнаяабелева
группа
целых чисел. Группа G
совпадает с минимальной подгруппой
порожденной одним из элементов 1 или
–1:
,
следовательно,
– бесконечная
циклическая группа.
Циклические группы конечного порядка
В качестве примера
циклической группы конечного порядка
рассмотрим группу
вращений правильного n-угольника
относительно его центра
.
Элементами группы
являются повороты n-угольникапротив часовой стрелки на углы
Элементами
группы
являются
,
а из геометрических соображений ясно, что
.
Группа
содержитn
элементов, т.е.
,
а образующим элементом группы
является
,
т.е.
.
Пусть
,
тогда (см. рис. 1)
Рис. 1
–
Группа
– вращений правильного треугольника
АВС относительно центра О.
Алгебраическая
операция
в группе
– последовательное вращение против
часовой стрелки, на угол, кратный
,
т.е.
Обратный элемент
– вращение по часовой стрелке на угол 1 ,
т.е.
.
Таблица К э ли
Анализ конечных групп наиболее наглядно осуществлять с помощью таблицы Кэли, которая является обобщением известной «таблицы умножения».
Пусть группа G содержит n элементов.
В этом случае таблица Кэли представляет собой квадратную матрицу имеющую n строк и n столбцов.
Каждой строке и каждому столбцу соответствует один и только один элемент группы.
Элемент
таблицы Кэли,
стоящий на пересечении i-той
строки и j-того
столбца, равен результату выполнения
операции «умножения» i-го
элемента с j-тым
элементом группы.
Пример . Пусть группа G содержит три элемента{g 1 ,g 2 ,g 3 }.Операция в группе «умножение».В этом случае таблица Кэли имеет вид:
Замечание. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли находятся все элементы группы и только они. Таблица Кэли содержит полную информацию о группе.Что можно сказать о свойствах этой группы?
1. Единичным элементом этой группы является g 1 .
2.Группа абелева т.к. таблица симметрична относительно главной диагонали.
3.Для каждого элемента группы существуют обратные-
для g 1 обратным является элемент g 1 , для g 2 элемент g 3 .
Построим для групп
таблицу Кели.
Для нахождения
обратного элемента элементу, например,
,
необходимо в строке, соответствующей
элементу
найти столбецj
содержащий элемент
.
Элемент
соответствующий данному столбцу и
является обратным к элементу
,
т.к.
.
Если таблица Кели симметрична относительно главной диагонали, то это означает, что
– т.е. операция в
рассматриваемой группе коммутативна.
Для рассматриваемого примера таблица
Кели симметрична относительно главной
диагонали это означает, что операция в
коммутативна, т.е.
,
а группа
– абелева.
Можно рассматривать
полную группу преобразований симметрий
правильного n – угольника
,
добавив к операции вращения дополнительные
операции пространственного поворота
вокруг осей симметрии.
Для треугольника
,
а группа
содержит шесть элементов
где
это повороты (см. рис. 2) вокруг
высоты, медианы, биссектрисы имеют вид:
;
,
,
.
Рис. 2.
– Группа
– преобразований симметрии
правильного
треугольника АВС.
Смежные классы, теорема Лагранжа
Пусть H подгруппа группы G . Левым смежным классом элемента a по подгруппе H называется множество элементов ah , где h принадлежит H . Левый смежный класс обозначают aH . Аналогично вводится правый смежный класс элемента a по подгруппе H , который обозначают Ha .
Поскольку в подгруппе всегда имеется нейтральный элемент, то каждый элемент a содержится в смежном классе aH (Ha ).
Свойство 2.7. Элементы a и b принадлежат одному левому смежному классу по подгруппе H тогда и только тогда, когда
Доказательство . Если , то b =ah , и, значит, b принадлежит левому смежному классу aH . Обратно, пусть , тогда найдутся , что , и .
Теорема 2.2. Если левые (правые) смежные классы элементов a и b по подгруппе H имеют общий элемент, то они совпадают.
Доказательство . Пусть . Тогда найдутся , что . Произвольный элемент из левого смежного класса aH содержится в левом смежном классе bH. Действительно, для , и, следовательно, . Аналогично доказывается включение . Тем самым теорема доказана.
Следствие 2.1. Левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают.
Доказательство очевидно.
Следствие 2.2. Левый (правый) смежный класс равномощен H.
Доказательство. Установим соответствие межу элементами подгруппы H и элементами смежного класса aH по формуле . Соответствие является взаимно однозначным. Тем самым утверждение доказано.
Теорема 2.3 (Лагранжа). Порядок конечной группы делится на порядок ее подгруппы.
Доказательство . Пусть G – группа порядка n , а H - подгруппа G порядка k .Имеет место равенство . Удалим из правой части равенства повторяющиеся члены. В результате останутся не пересекающиеся смежные классы. Поскольку число элементов в смежном классе равно , то , где m количество различных смежных классов. Тем самым установлено равенство n =mk , что и требовалось.
Количество различных смежных классов называется индексом подгруппы H в группе G .
Множество элементов из группы G называется порождающим, если G получается замыканием этого множества относительно групповой операции.
Группа, порожденная одним элементом, называется циклической.
Следствие 2.3. Любая группа содержит циклическую подгруппу.
Доказательство. Пусть a –элемент группы G . Множество является циклической подгруппой.
Порядок циклической подгруппы, порожденной элементом a , называется порядком элемента.
Свойство 2.8. Если элемент a имеет порядок n , то a n =e .
Доказательство . Рассмотрим последовательность . Поскольку число членов в последовательности бесконечно, а для степеней элемента a существует конечное число возможностей, то в последовательности встретятся одинаковые члены. Пусть , где k <j и k первый повторяющийся член. Тогда , и значит, член k-j+ 1 повторяется. Следовательно, j =1 (иначе ). Таким образом, последовательность состоит из повторяющихся наборов вида и в ней k- 1 различных элементов. Следовательно, k =n +1. Так как , то .
Порядок любого элемента является делителем порядка группы, следовательно, a | G | =e для любого элемента группы.
Следствие 2.4. Порядок группы делится без остатка на порядок любого элемента группы.
Доказательство очевидно.
Теорема 2.4 (о циклических группах)
I. Для любого натурального n существует циклическая группа порядка n .
II. Циклические группы одинаковых порядков изоморфны между собой.
III. Циклическая группа бесконечного порядка изоморфна группе целых чисел.
IV. Любая подгруппа циклической группы циклическая.
V. Для каждого делителя m числа n (и только для них) в циклической группе n -го порядка существует единственная подгруппа порядка m .
Доказательство . Множество комплексных корней степени n из 1 относительно операции умножения образует циклическую группу порядка n . Тем самым первое утверждение доказано.
Пусть циклическая группа G порядка n порождена элементом a , а циклическая группа H , того же порядка, порождена элементом b . Соответствие взаимно однозначное и сохраняет операцию. Второе утверждение доказано
Циклическая группа бесконечного порядка, порожденная элементом a, состоит из элементов . Соответствие является взаимно однозначным и сохраняет операцию. Таким образом, третье утверждение доказано.
Пусть H – подгруппа циклической группы G , порожденной элементом a . Элементы H являются степенью a . Выберем в H a . Пусть это элемент . Покажем, что этот элемент является порождающим в подгруппе H . Возьмем произвольный элемент из H . Произведение содержится в H при любом r . Выберем r равным частному от деления k на j , тогда k-rj есть остаток от деления k на j и, значит, меньше j . Поскольку в H нет элементов, которые являются не нулевой степенью a, меньше чем j , то k-rj= 0, и . Четвертое утверждение доказано.
Пусть циклическая группа G порядка n порождена элементом a . Подгруппа, порожденная элементом , имеет порядок m . Рассмотрим подгруппу H порядка m . Выберем в H элемент, который является наименьшей по абсолютной величине ненулевой степенью a . Пусть это элемент . Покажем, что j=n /m. Элемент принадлежит H . Следовательно, отличное от нуля число вида rj-nv по абсолютной величине не меньше j , что возможно только если n делится на j без остатка. Подгруппа, порожденная , имеет порядок n /j =m , следовательно, j=n /m . Поскольку порождающий элемент подгруппы определяется однозначно по ее порядку, то пятое утверждение доказано.
подгруппа называется циклической подгруппой . Термин возведение в степень здесь означает многократное применение к элементу групповой операции:Множество, полученное в результате этого процесса, обозначается в тексте как . Обратите внимание также, что a 0 = e .
Пример 5.7
Из группы G = < Z 6 , +> могут быть получены четыре циклических подгруппы. Это H 1 = <{0},+>, H 2 =<{0, 2, 4}, +>, H 3 = <{0, 3}, +> и H 4 = G . Заметим, что когда операция - сложение, то a n означает умножение n на a . Заметим также, что во всех этих группах операция - это сложение по модулю 6 . Ниже показано, как мы находим элементы этих циклических подгрупп .
a. Циклическая подгруппа , сгенерированная из 0 , - это H 1 , имеет только один элемент (нейтральный элемент).
б. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 1 , - это H 4 , которая есть сама группа G .
1 0 mod 6 = 0 1 1 mod 6 = 1 1 2 mod 6 = (1 + 1) mod 6 = 2 1 3 mod 6 = (1 + 1 + 1) mod 6 = 3 1 4 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 4 1 5 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 5(остановка, далее процесс повторяется)
в. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 2 , - это H 2 , которая имеет три элемента: 0, 2 , и 4 .
2 0 mod 6 = 0 2 1 mod 6 = 2 2 2 mod 6 = (2 + 2) mod 6 = 4 (остановка, далее процесс повторяется)
г. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 3 , - это H 3 , которая имеет два элемента: 0 и 3 .
д. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 4 , - H 2 ; это - не новая подгруппа .
4 0 mod 6 = 0 4 1 mod 6 = 4 4 2 mod 6 = (4 + 4) mod 6 = 2 (остановка, далее процесс повторяется)
е. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 5 , - это H 4 , она есть сама группа G .
5 0 mod 6 = 0 5 1 mod 6 = 5 5 2 mod 6 = 4 5 3 mod 6 = 3 5 4 mod 6 = 2 5 5 mod 6 = 1 (остановка, далее процесс повторяется)
Пример 5.8
Из группы можно получить три циклических подгруппы. G
имеет только четыре элемента: 1, 3, 7
и 9
. Циклические подгруппы - 
и . Ниже показано, как мы находим элементы этих подгрупп
.
a. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 1 , - это H 1 . Подгруппа имеет только один элемент, а именно - нейтральный.
б. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 3 , - это H 3 , которая есть группа G .
3 0 mod 10 = 1 3 1 mod 10 = 3 3 2 mod 10 = 9 3 3 mod 10 = 7 (остановка, далее процесс повторяется)
в. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 7 , - это H 3 , которая есть группа G .
7 0 mod 10 = 1 7 1 mod 10 = 7 7 2 mod 10 = 9 7 3 mod 10 = 3 (остановка, далее процесс повторяется)
г. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 9 , - это H 2 . Подгруппа имеет только два элемента.
9 0 mod 10 = 1 9 1 mod 10 = 9 (остановка, далее процесс повторяется)
Циклические группы
Циклическая группа - группа, которая является собственной циклической подгруппой . В примере 5.7 группа G имеет циклическую подгруппу H 5 = G . Это означает, что группа G - циклическая группа. В этом случае элемент, который генерирует циклическую подгруппу, может также генерировать саму группу. Этот элемент далее именуется "генератор". Если g - генератор, элементы в конечной циклической группе могут быть записаны как
{e,g,g 2 ,….., g n-1 } , где g n = e .
Заметим, что циклическая группа может иметь много генераторов.
Пример 5.9
а. Группа G =
б. Группа - циклическая группа с двумя генераторами, g = 3 и g = 7 .
Теорема Лагранжа
Теорема Лагранжа показывает отношение между порядком группы к порядку ее подгруппы. Предположим, что G - группа и H - подгруппа G . Если порядок G и H - |G| и |H| , соответственно, то согласно этой теореме |H| делит |G| . В примере 5.7 |G| = 6 . Порядок подгруппы - |H1| = 1, | H2| = 3, |H3| = 2 и |H4| = 6 . Очевидно, все эти порядки есть делители 6 .
Теорема Лагранжа имеет очень интересное приложение. Когда дана группа G
и ее порядок |G|
, могут быть легко определены порядки потенциальных подгрупп
, если могут быть найдены делители. Например, порядок группы G =
Порядок элемента
Порядок элемента в группе ord (a) (порядок (a)) является наименьшим целым числом n , таким, что a n = e . Иными словами: порядок элемента - порядок группы, которую он генерирует.
Пример 5.10
a. В группе G =
b. В группе G =
