Часть 8 - интегрирование угловых скоростей, матрицы поворота



Часть 11 - интегрирование угловых скоростей, методы высших порядков (в разработке)






Интегрирование угловых скоростей с помощью матриц поворота

Продолжаем нашу предвыборную гонку - какой интегратор угловых скоростей займёт своё законное место у руля (в буквальном смысле) нашего изделия?

Мы уже накопали компромата на углы Эйлера-Крылова - это конечно уважаемые и достойные фамилии, но очень уж старенькие - задрать голову в зенит не могут, сразу начинает голова кружиться, да и подвешенные вниз головой резко теряют работоспособность. Да и вообще, уголовники (системы, основанные на углах) нам не нужны!

Сегодня мы рассмотрим матрицы поворота - 9 направляющих косинусов не могут ошибаться, не правда ли?

Кинематическое уравнение для связанных осей (когда угловая скорость проецируется на оси изделия) принимает вид:

Здесь A – матрица ориентации.
Для шага Δt мы можем записать приближенный метод интегрирования:

Этот метод – сугубо линейный, в нём применяются только сложения и умножения, особые точки отсутствуют как класс.
Один недостаток, который мы можем заметить «сходу» - это громоздкость: мы используем 9 чисел для представления матриц, а каждый шаг интегрирования по простейшему методу («первого порядка») требует 18 умножений и 18 сложений (без специализированного метода, «знающего» о единицах по главной диагонали – и вовсе 27 умножений). Если выписать по компонентам, мы получим (с верхним индексом 1 – новые значения, с верхним индексом 0 – старые):

Матричная запись позволяет скрыть эту внутреннюю сложность за красивыми выкладками, поэтому полезно иногда выписать вычисления «в лоб», чтобы помнить, с чем мы имеем дело.
Тем не менее, даже у самых старых бортовых вычислителей не возникло бы проблем, связанных с недостаточной производительностью – ну что такое 36 операций для компьютера!?

Нет, настоящая ахиллесова пята матриц поворота состоит в том, что по прошествии времени они перестают быть матрицами поворота, а вернуть их на путь истинный не так-то просто…
Пусть начальная матрица ориентации – единичная, то есть оси инерциальной и связанной систем координат совпадают:

После 72 шагов придём к матрице ориентации, равной:

тогда как должны были прийти к единичной матрице (поворот на 360 градусов!).
Можем записать эту матрицу, как произведение двух:

Вторая из них – матрица поворота по оси Z на угол 0,9° - такова накопленная ошибка интегрирования, вызванная слишком крупным шагом. В относительном выражении ошибка не так велика: 0,9/360 = 0,25%, что не так уж плохо, учитывая, сколь крупный шаг мы взяли.
А вот первая матрица – масштабирование по осям X, Y. Вектор с нулевой компонентой Z просто увеличит свою длину – зачастую это не так уж страшно – по крайней мере, это не изменит направление вектора. Точно так же, вектор (0;0;1) T останется без изменений – всё верно.
Самое интересное будет происходить с промежуточными векторами.
К примеру, вектор

превратится в

он не только увеличивается в размерах, но и меняет направление из-за масштабирования! Раньше он «смотрел» под углом 45° к плоскости X-Y, а теперь – под углом 37° - ошибка составляет уже не 0,9°, а целых 8°!

В данном конкретном случае мы легко смогли факторизовать матрицу, вычленив из неё отдельно поворот и отдельно масштабирование. Когда мы можем это сделать – понятно, как исправить ситуацию – нужно оставить только матрицу поворота, а масштабирование убрать!
Но представим теперь, что после поворотов вокруг оси Z, мы осуществили ещё и поворот вокруг приборной оси X на 30 градусов:

Как из этого нагромождения чисел наиболее оптимально вычленить отдельно повороты, избавившись от других преобразований пространства – вопрос по-прежнему открытый…
Напомним, что столбцы матрицы ориентации – это координаты базисных векторов в инерциальной системе отсчета. Эти векторы должны иметь единичную длину и быть взаимно-перпендикулярными, то есть мы можем записать следующие «уравнения связи» (в данном случае двойка наверху – это возведение в степень):

Действительно: при 9 коэффициентах матрицы, мы должны иметь ровно 3 степени свободы, поэтому нам и нужны дополнительные 6 уравнений. Проверим, что происходит у нас:
Длина 1-го базисного вектора: 1,314
Длина 2-го базисного вектора: 1,243
Длина 3-го базисного вектора: 1,087
Угол между 1 и 2: 90°
Угол между 2 и 3: 103,47°
Угол между 1 и 3: 90°

Ортонормированный базис перестал быть таковым! Мы понимаем это, но как именно скорректировать 9 значений, чтобы он снова стал ортонормированным?

Можно применить старый добрый метод построения ортонормированного базиса. Исходные базисные векторы обозначим e 1 , e 2 , e 3 :

Преобразованный базис назовём n 1 , n 2 , n 3 .
Первый вектор мы нормируем:

Из второго вектора мы вычитаем его проекцию на первый, после чего тоже нормируем:

Наконец, из третьего вектора вычитаем его проекцию на первый и второй, после чего нормируем:

В этих формулах есть определённое лукавство: кажется, что мы задействовали все 9 исходных коэффициентов, чтобы получить новые 9, теперь уже ортонормированные. На самом деле, от e 3 вообще ничего не зависит! Сначала мы вычитаем из него всё лишнее, так, чтобы он шел по прямой, взаимно перпендикулярной n 1 , n 2 , а затем нормируем его длину – да от этого вектора живого места не остаётся! Мы с тем же успехом можем записать:

и получить абсолютно тот же самый результат! То есть, в действительности данный метод берёт первые 6 коэффициентов и напрочь выкидывает последние 3. Да и первые 6 оказываются неравнозначны: если первому столбцу мы доверяем «безоговорочно», то второму – только до тех пор, пока он не противоречит первому.

Попробуем процедуру нормировки на нашей матрице B:

При этом, как и следовало ожидать, n 3 получился одинаковым до последнего представимого знака после запятой, независимо от способа вычисления – через e 3 или через векторное произведение.

Сейчас нам повезло – мы идеально отнормировали матрицу, так что она выражает ровно то, что и должна – поворот на 0,9° вокруг оси Z и поворот на 30° вокруг оси X.
Но попробуем теперь зайти с обратной стороны – не e 1 , e 2 , e 3 , а e 3 , e 2 , e 1 . Получится вот что:

Вместо поворота на 30° по оси X, мы в этот раз получили поворот на 37°, реализовав фактически наихудший случай!
Правильным подходом было бы решение оптимизационной задачи: каждый коэффициент матрицы является суммой полезного сигнала и шума. Найти новые коэффициенты, выраженные через старые, таким образом, чтобы среднеквадратичная ошибка стремилась к минимуму. Но даже тогда мы не гарантируем наилучшей работы – кто сказал, что, используя приближенные матрицы конечного поворота, мы вносим именно случайную ошибку!?
Уточним, в чём наша проблема. Нам не хотелось выписывать точную матрицу конечного поворота, поскольку она выглядит примерно так:

(меняя порядок поворотов, будем получать разные матрицы W, но все они будут являться строго матрицами поворота)
Мы «из жадности» её упростили:

И обнаружили, что выкинутые нами слагаемые второго порядка малости приводят к изменению вида матрицы. В нашем примере поворота вокруг оси Z, получаем

Разложив в ряд Тейлора до 3-го порядка малости, имеем:

И снова мы наблюдаем похожий эффект: ошибка интегрирования на этот раз чрезвычайно мала, составляя менее угловой секунды, тогда как наиболее заметное искажение снова проявилось в масштабе. Кажется, что ошибка весьма мала – менее одной тысячной – но этого достаточно, чтобы вектор, направленный под углом 45° к плоскости XY, «прижался бы» к ней дополнительно на 1 угловую минуту.

Так что даже использование малого шага интегрирования и применение методов высокого порядка не решает проблему накопления «мусора» в матрице. И чем больше проходит времени, тем больше в матрице будет мусора, который мы сможем отбросить только вместе с полезными данными.

Всё сказанное не означает, что матрицы поворота абсолютно не годятся для интегрирования угловых скоростей. Их можно применить, если соблюдать определённую осторожность - обязательно предусмотреть процедуру "ортонормирования", но по возможности до неё не доводить - повсюду перейти на удвоенную или расширенную точность, уменьшить шаг интегрирования, использовать численные методы высокого порядка.

Но как мы узнаем в следующей главе, кватернионы свободны от большинства недостатков матриц поворота и выходят в этой битве победителями.

Продолжение следует...

Рассмотрим задачу о нахождении направляющих косинусах, задающих ориентацию подвижной системы координат Oxyz относительно некоторой, назовем ее неподвижной, системой координат OXYZ. Исходную систему координат подвижного трехгранника обозначим Ox 0 y 0 z 0 и до поворота она соответственно совпадала с системой координат OXYZ. Пусть трехгранник Oxyz переместился из положения Ox 0 y 0 z 0 в текущее в результате одного поворота на угол около оси On, заданной единичным ортом в системе координат OXYZ. Ось On может занимать разное направление, не обязательно совпадающим с одной из осей трехгранника OXYZ. Представим используемые системы координат и их связи граф-схемой:

- матрица направляющих косинусов, задающая ориентацию трехгранника Ox v y v z v , одна из осей которого (пусть первая ось Ox v) задает ориентацию оси поворота On;

- матрица поворота относительно оси On .

Тогда искомая матрица конечного поворота определяется соотношением

.

Или раскрывая выражение и используя свойства (1.9) , получим матрицу конечного поворота в следующем виде

(1.11)

Направляющие косинусы, задающие ориентацию оси On поворота ПО на угол . Таким образом, положение подвижной системы координат задается с помощью четырех параметров: , .

Матричная форма формулы Эйлера

Пусть в системе координат СК m задана точка M, которая определена вектором

где – проекции вектора на оси системы координат СК m , что отмечено нижним индексом “m”.

Определим линейную скорость точки М в проекциях на оси системы координат СК m . Согласно формуле Эйлера имеем

. (1.12)

Здесь – вектор угловой скорости системы координат СК m относительно системы координат СК s , выраженный в проекциях этого вектора на оси системы координат СК m .

Используя матричную форму векторного произведения, запишем

Запишем полученный результат в матричной форме

, (1.13)

Где (1.14)

Индекс “~ ” (тильда) указывает на кососимметричную форму данной матрицы.

Формула Пуассона

В традиционной форме обозначения угловую скорость можно представить в виде

Заметим, что в формуле (1.13) неявно было положено условие

В общем случае, когда выведем рабочее соотношение другим способом.

Продифференцируем соотношение

Или в другой форме

(1.18)

В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом со следующей матрицей линейного преобразования в декартовой системе координат:

Поворот выполняется путём умножения матрицы поворота на вектор-столбец, описывающий вращаемую точку:

.

Координаты (x",y") в результате поворота точки (x,y) имеют вид:

Положительным углам при этом соответствует вращение вектора против часовой стрелки в обычной, правосторонней системе координат, и по часовой стрелке в левосторонней системе координат.

[править] Матрица поворота в трёхмерном пространстве

Матрицами вращения вокруг оси декартовой системы координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:

· Вращение вокруг оси x:

,

· Вращение вокруг оси y:

,

· Вращение вокруг оси z:

.

Положительным углам при этом соответствует вращение вектора против часовой стрелки в правой системе координат, и по часовой стрелке в левой системе координат, если смотреть на плоскость вращении со стороны полупространства, где значения координат оси, вокруг которой осуществляется поворот, положительные. Правая система координат связана с выбором правого базиса (см. правило буравчика).

Свойства матрицы поворота.

Свойства матрицы поворота

Если - матрица, задающая поворот вокруг оси на угол ϕ, то:

· (след матрицы вращения)

· (матрица имеет единичный определитель).

· если строки (или столбцы матрицы) рассматривать как координаты векторов , то верны следующие соотношения):

o

· Матрица обратного поворота получается обычным транспонированием матрицы прямого поворота, т. о. .

24. Алгоритм Брезенхема для растеризации отрезка.

Алгоритм Брезенхе́ма (англ. Bresenham"s line algorithm ) - это алгоритм, определяющий, какие точки двумерного растра нужно закрасить, чтобы получить близкое приближение прямой линии между двумя заданными точками. Это один из старейших алгоритмов в машинной графике - он был разработан Джеком Е. Брезенхэмом (Jack E. Bresenham) в компании IBM в 1962 году. Алгоритм широко используется, в частности, для рисования линий на экране компьютера. Существует обобщение алгоритма Брезенхэма для построения кривых 2-го порядка.

Алгоритм

Отрезок проводится между двумя точками - (x 0 ,y 0) и (x 1 ,y 1), где в этих парах указаны колонка и строка, соответственно, номера которых растут вправо и вниз. Сначала мы будем предполагать, что наша линия идёт вниз и вправо, причём горизонтальное расстояние x 1 − x 0 превосходит вертикальное y 1 − y 0 , т.е. наклон линии от горизонтали - менее 45°. Наша цель состоит в том, чтобы для каждой колонки x между x 0 и x 1 , определить, какая строка y ближе всего к линии, и нарисовать точку (x ,y ).

Общая формула линии между двумя точками:

Поскольку мы знаем колонку x , то строка y получается округлением к целому следующего значения:

Однако, вычислять точное значение этого выражения нет необходимости. Достаточно заметить, что y растёт от y 0 и за каждый шаг мы добавляем к x единицу и добавляем к y значение наклона

которое можно вычислить заранее. Более того, на каждом шаге мы делаем одно из двух: либо сохраняем тот же y , либо увеличиваем его на 1.

Что из этих двух выбрать - можно решить, отслеживая значение ошибки , которое означает - вертикальное расстояние между текущим значением y и точным значением y для текущего x . Всякий раз, когда мы увеличиваем x , мы увеличиваем значение ошибки на величину наклона s , приведённую выше. Если ошибка превысила 0.5, линия стала ближе к следующему y , поэтому мы увеличиваем y на единицу, одновременно уменьшая значение ошибки на 1. В реализации алгоритма, приведённой ниже, plot(x,y) рисует точку, а abs возвращает абсолютную величину числа:

function line(x0, x1, y0, y1) int deltax:= abs(x1 - x0) int deltay:= abs(y1 - y0) real error:= 0 real deltaerr:= deltay / deltax int y:= y0 for x from x0 to if error >= 0.5 y:= y + 1 error:= error - 1.0

Проблема такого подхода - в том, что с вещественными величинами, такими как error и deltaerr, компьютеры работают относительно медленно. Кроме того, при вычислениях с плавающей точкой может накапливаться ошибка. По этим причинам, лучше работать только с целыми числами. Это можно сделать, если умножить все используемые вещественные величины на deltax. Единственная проблема - с константой 0.5 - но в данном случае достаточно умножить обе части неравенства на 2. Получаем следующий код:

function line(x0, x1, y0, y1) int deltax:= abs(x1 - x0) int deltay:= abs(y1 - y0) int error:= 0 int deltaerr:= deltay int y:= y0 for x from x0 to x1 plot(x,y) error:= error + deltaerr if 2 * error >= deltax y:= y + 1 error:= error - deltax

Умножение на 2 для целых чисел реализуется битовым сдвигом влево.

Теперь мы можем быстро рисовать линии, направленные вправо-вниз с величиной наклона меньше 1. Осталось распространить алгоритм на рисование во всех направлениях. Это достигается за счёт зеркальных отражений, т.е. заменой знака (шаг в 1 заменяется на -1), обменом переменных x и y , обменом координат начала отрезка с координатами конца.

[править] Рисование линий

Реализация на C++:

Void drawLine(int x1, int y1, int x2, int y2){ int deltaX = abs(x2 - x1); int deltaY = abs(y2 - y1); int signX = x1 < x2 ? 1: -1; int signY = y1 < y2 ? 1: -1; int error = deltaX - deltaY; for (;;) { setPixel(x1, y1); if(x1 == x2 && y1 == y2) break; int error2 = error * 2; if(error2 > -deltaY) { error -= deltaY; x1 += signX; } if(error2 < deltaX) { error += deltaX; y1 += signY; } }}

25. Алгоритм Брезенхема для растеризации окружности.

Рисование окружностей

Также существует алгоритм Брезенхэма для рисования окружностей. По методу построения он похож на рисование линии. В этом алгоритме строится дуга окружности для первого квадранта, а координаты точек окружности для остальных квадрантов получаются симметрично. На каждом шаге алгоритма рассматриваются три пикселя, и из них выбирается наиболее подходящий путём сравнения расстояний от центра до выбранного пикселя с радиусом окружности.

// R - радиус, X1, Y1 - координаты центра int x:= 0 int y:= R int delta:= 2 - 2 * R int error:= 0 while (y >= 0) drawpixel(X1 + x, Y1 + y) drawpixel(X1 + x, Y1 - y) drawpixel(X1 - x, Y1 + y) drawpixel(X1 - x, Y1 - y) error = 2 * (delta + y) - 1 if ((delta < 0) && (error <= 0)) delta += 2 * ++x + 1 continue error = 2 * (delta - x) - 1 if ((delta > 0) && (error > 0)) delta += 1 - 2 * --y continue x++ delta += 2 * (x - y) y--

Void drawCircle(int x0, int y0, int radius) { int x = 0; int y = radius; int delta = 2 - 2 * radius; int error = 0; while(y >= 0) { setPixel(x0 + x, y0 + y); setPixel(x0 + x, y0 - y); setPixel(x0 - x, y0 + y); setPixel(x0 - x, y0 - y); error = 2 * (delta + y) - 1; if(delta < 0 && error <= 0) { ++x; delta += 2 * x + 1; continue; } error = 2 * (delta - x) - 1; if(delta > 0 && error > 0) { --y; delta += 1 - 2 * y; continue; } ++x; delta += 2 * (x - y); --y; }}

Алгоритм сглаживания Ву.

Алгоритм Ву - это алгоритм разложения отрезка в растр со сглаживанием. Был предложен У Сяолинем (Xiaolin Wu , отсюда устоявшееся в русском языке название алгоритма) в статье, опубликованной журналом Computer Graphics в июле 1991 года. Алгоритм сочетает высококачественное устранение ступенчатости и скорость, близкую к скорости алгоритма Брезенхема без сглаживания.

Алгоритм

Горизонтальные и вертикальные линии не требуют никакого сглаживания, поэтому их рисование выполняется отдельно. Для остальных линий алгоритм Ву проходит их вдоль основной оси, подбирая координаты по неосновной оси аналогично алгоритму Брезенхема. Отличие состоит в том, что в алгоритме Ву на каждом шаге устанавливается не одна, а две точки. Например, если основной осью является Х , то рассматриваются точки с координатами (х, у) и (х, у+1) . В зависимости от величины ошибки, которая показывает как далеко ушли пиксели от идеальной линии по неосновной оси, распределяется интенсивность между этими двумя точками. Чем больше удалена точка от идеальной линии, тем меньше ее интенсивность. Значения интенсивности двух пикселей всегда дают в сумме единицу, то есть это интенсивность одного пикселя, в точности попавшего на идеальную линию. Такое распределение придаст линии одинаковую интенсивность на всем ее протяжении, создавая при этом иллюзию, что точки расположены вдоль линии не по две, а по одной.

Результат работы алгоритма

Реализация в псевдокоде (только для линии по x):

function plot(x, y, c) is // рисует точку с координатами (x, y) // и яркостью c (где 0 ≤ c ≤ 1) function ipart(x) is return целая часть от x function round(x) is return ipart(x + 0.5) // округление до ближайшего целого function fpart(x) is return дробная часть x function draw_line(x1,y1,x2,y2) is if x2 < x1 then swap (x1, x2) swap (y1, y2) end if dx:= x2 - x1 dy:= y2 - y1 gradient:= dy ÷ dx // обработать начальную точку xend:= round(x1) yend:= y1 + gradient × (xend - x1) xgap:= 1 - fpart(x1 + 0.5) xpxl1:= xend ypxl1:= ipart(yend) plot(xpxl1, ypxl1, 1 - fpart(yend) × xgap) plot(xpxl1, ypxl1 + 1, fpart(yend) × xgap) intery:= yend + gradient // первое y-пересечение для цикла // обработать конечную точку xend:= round(x2) yend:= y2 + gradient × (xend - x2) xgap:= fpart(x2 + 0.5) xpxl2:= xend // будет использоваться в основном цикле ypxl2:= ipart(yend) plot(xpxl2, ypxl2, 1 - fpart(yend) × xgap) plot(xpxl2, ypxl2 + 1, fpart(yend) × xgap) // основной цикл for x from xpxl1 + 1 to xpxl2 - 1 do plot(x, ipart(intery), 1 - fpart(intery)) plot(x, ipart(intery) + 1, fpart(intery)) intery:= intery + gradient repeatend function

26. Алгоритмы закрашивания.

Алгоритм закрашивания

Алгоритм закрашивания очень часто используется в компьютерной графике для закрашивания фигур имеющих границы. Так же этот алгоритм может иметь и другое применение например его можно использовать для нахождения центра масс тела по его изображению.

Алгоритмы двумерной растровой графики: закрашивание

Рассмотрим алгоритмы закрашивания произвольного контура, который уже нарисован в растре. Сначала находится пиксель внутри контура фигуры. Цвет этого пикселя изменяем на нужный цвет заполнения. Потом проводится анализ цвета всех соседних пикселей. Если цвет некоторого соседнего пикселя не равен цвету границы контура или цвету заполнения, то цвет этого пикселя изменяется на цвет заполнения.

Простое рекурсивное заполнение.

Procedure PixelFill (x, y, BColor, Color: Integer);

{x, y – координаты затравочной точки, BColor – цвет границы,

Color – цвет заполнения}

C:=GetPixel (x,y) {анализируем текущий цвет пикселя}

if (C<>BColor) and (C<>Color) then

PutPixel (x, y, Color);

PixelFill (x+1, y, BColor, Color);

PixelFill (x, y+1, BColor, Color);

PixelFill (x-1, y, BColor, Color);

PixelFill (x, y-1, BColor, Color);

Этот алгоритм не оптимизирован относительно использования стековой памяти и является одним из самых медленных алгоритмов закрашивания (в среднем только один из четырёх вызовов используется для закрашивания). Алгоритм не может заполнить области, ограниченные цветом заполнения. Можно построить подобный алгоритм и без рекурсии, если вместо стека использовать массивы.

Алгоритм закрашивания линиями.

1. Имеется затравочная точка с координатами (x st , y st) и начальное направление действия рекурсивных вызовов dir=1 . Параметры левой и правой границы вначале совпадают с координатой затравочной точки: x PL = x st , x PR = x st . Вызывается процедура LineFill , в которой:

2. Находятся x L и x R – левая и правая границы, между которыми проводится текущая горизонтальная линия.

3. Делается приращение у=у+dir и, между x L и x R , анализируется цвет пикселей над линией. Если он не совпадает с цветом заполнения, процедура LineFill вызывается рекурсивно с dir = 1 и x PL = x L , x LR = x R .

4. Делается приращение y=y–dir и, начиная от x L до предыдущего значения x PL анализируется цвет пикселей под линией. Если цвет пикселя отличается от цвета заполнения, процедура вызывается рекурсивно с dir = –1 и x PL = x L , x PR = x R .

5. Продолжая по той же горизонтали от предыдущего x PR до x R анализируется цвет под линией. Если цвет какого-либо пикселя отличается от цвета заполнения, процедура вызывается рекурсивно с dir = –1 и x PL = x L , x PR = x R .
Ниже приведен пример реализации этого алгоритма на языке С++:

void LineFill (int x, int y, int dir, int xPL, int xPR)

// в этой переменной будет храниться цвет пикселя

// УСТАНАВЛИВАЕМ ТЕКУЩИЕ ГРАНИЦЫ xL И xR

color = GetPixel (--xL,y);

// xL=xL-1 помещается в вызов функции

while (color != bcolor); // bcolor – цвет границы

color = GetPixel (++xR,y);

while (color !=bcolor);

Line (xL,y, xR,y, Mycolor);

//это может быть любая функция рисования линии

// АНАЛИЗИРУЕМ ПИКСЕЛИ НАД ЛИНИЕЙ

for (x=xL; x<=xR; x++) {

color = GetPixel (x, y+dir);

if (color !=bcolor)

x = LineFill (x, y+dir, dir, xL, xR);

// АНАЛИЗИРУЕМ ПИКСЕЛИ ПОД ЛИНИЕЙ СЛЕВА

for (x=xL; x<=xPL; x++) {

color = GetPixel (x, y-dir);

if (color !=bcolor)

// АНАЛИЗИРУЕМ ПИКСЕЛИ ПОД ЛИНИЕЙ СПРАВА

for (x=xPR; x<=xR; x++) {

color = GetPixel (x, y-dir);

if (color !=bcolor)

x = LineFill (x, y–dir, –dir, xL, xR);

В программах функция LineFill вызывается следующим образом:

LineFill (xst, yst, 1, xst, xst);

Совершенно очевидно, что существуют и другие эффективные алгоритмы заполнения. Например, алгоритмы заполнения, которые используют математическое описание контура, связаны с конкретной формой того полигона, который должен быть заполнен (например, прямоугольник или окружность). При этом контур может совсем не выводиться в растр. При этом в качестве заполнения легко использовать какую-либо текстуру.

27. Алгоритм отсечения отрезка Сазерленда-Коэна.

Алгоритм Коэна - Сазерленда (англ. Cohen-Sutherland ) - алгоритм отсечения отрезков, то есть алгоритм, позволяющий определить часть отрезка, которая пересекает прямоугольник. Был разработан Дэном Коэном и Айвеном Сазерлендом в Гарварде в 1966-1968 гг., и опубликован на конференции AFIPS в 1968.

Описание алгоритма

Алгоритм разделяет плоскость на 9 частей прямыми, которые образуют стороны прямоугольника. Каждой из 9 частей присваивается четырёхбитный код. Биты (от младшего до старшего) значат «левее», «правее», «ниже», «выше». Иными словами, у тех трёх частей плоскости, которые слева от прямоугольника, младший бит равен 1, и так далее.

Алгоритм определяет код конечных точек отрезка. Если оба кода равны нулю, то отрезок полностью находится в прямоугольнике. Если битовое И кодов не равно нулю, то отрезок не пересекает прямоугольник (т.к. это значит, что обе конечные точки отрезка находятся с одной стороны прямоугольника). В прочих случаях, алгоритм выбирает конечную точку, находящуюся вне прямоугольника, находит ближайшую к ней точку пересечения отрезка с одной из линий, образующей стороны прямоугольника, и использует эту точку пересечения как новую конечную точку отрезка. Укороченный отрезок снова пропускается через алгоритм.

Реализация алгоритма для трёхмерной модели идентична двумерной реализации, за исключением того, что вместо четырёхразрядного кода применяется шестиразрядный (дополнительные два бита глубины).

28. Алгоритм разбиения средней точкой.

В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом θ со следующей матрицей линейного преобразования в декартовой системе координат:

Положительным углам при этом соответствует вращение вектора против часовой стрелки в обычной, правосторонней системе координат, и по часовой в левосторонней системе координат.

Сам поворот происходит путём умножения матрицы поворота на вектор

Матрица поворота в трёхмерном пространстве

Матрицами вращения вокруг оси декартовой правой системы координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:

Вращение вокруг оси x:

,

Вращение вокруг оси y:

,

Вращение вокруг оси z:

,

В трёхмерном пространстве для описания поворота можно использовать

Матрицы поворота вектора в декартовой системе координат, соответствующие первым двум способам задания поворота:

Однако, поскольку умножение матриц не коммутативно, то есть: , следовательно, положение системы координат после поворота вокруг трех осей будет зависеть от последовательности поворотов, то существует 6 различных видов матрицы поворота:

1) Поворот около осей: X -> Y -> Z

2) Соответственно: X -> Z -> Y

3) Y -> X -> Z

4) Y -> Z -> X

5) Z -> X -> Y

6) Z -> Y -> X

Получить же нужную матрицу можно путем последовательного перемножения матриц поворота около одной оси (приведенных выше) в соответствии с желаемым порядком.

Билет 33. Свойства обратной матрицы

33) Обра́тная ма́трица - такая матрица A −1 , при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E :

1), где обозначает определитель.

2)для любых двух обратимых матриц A и B .

3)где * T обозначает транспонированную матрицу.

4)для любого коэффициента .

5)Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b , (b - ненулевой вектор) где x - искомый вектор, и если A − 1 существует, то x = A − 1 b . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Матричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

AX = B , где A - основная матрица системы, B и X - столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A − 1 - матрицу, обратную к матрице A :

Так как A − 1 A = E , получаем X = A − 1 B . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если det A = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Билет 34. Теорема о связи решений однородной и неоднородной СЛАУ.

Неоднородная система: Ax=B, B≠0.

Однородная система: Ах=0.

Теорема: 1. Если вычесть два решения неоднородной системы, то получится решение однородной системы.

2. Если к решению неоднородной системы прибавить решение однородной системы, то получится решение неоднородной системы.

Доказательство:

1) с 1 ,с 2 – два решения неоднородной системы.

Ас 1 =В; Ас 2 =В. Из первой системы вычтем вторую систему: Ас 1 -Ас 2 =0; А(с 1 -с 2)=0; с 1 -с 2 – решение однородной системы.

2) Ас н =В – решение неоднородной системы.

Ас о =0 - решение однородной системы.

Ас н + Ас о =В. А(с н + с о)=В. с н + с о – решение неоднородной системы.

Билет 35. Несовместность СЛАУ. Метод Гауса.

Если система решений не имеет, то она называется несовместной.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа:

1)На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

2)На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Уравнение y=kx+b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой. k=tg(альфа).

Угол между двумя прямыми:

Первая прямая: L 1 , n 1 (p 1 ,q 1 ,r 1).

Вторая прямая: L 0 , n 0 (p,q,r).

L 1 // L 0 ; n 1 // n 0 ; p 1 /р=q 1 /q= r 1 /r – условие параллельности 2 прямых.

L 1 ﬩ L 0 ; n 1 ﬩n 0 ; (n 1 ,n)=0; pp 1 +qq 1 +rr 1 =0 – условие параллельности 2 прямых.

Cosφ=(n 1 ,n)/|n 1 |*|n 0 |

В плоскости Лобачевского две прямые могут либо пересекаться, либо могут быть параллельными в некотором направлении, либо расходящимися. Поэтому в плоскости Лобачевского существует три вида пучков прямых:

1) пучок прямых, пересекающихся в одной точке, называемой центром пучка; такой пучок называется центральным или эллиптическим;

2) пучок прямых, параллельных в заданном направлении некоторой прямой, называемой осью пучка; такой пучок называется параболическим;

3) пучок расходящихся прямых, перпендикулярных к некоторой прямой, называемой базой пучка; такой пучок называется гиперболическим.

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай.

1. Параллельные прямые линии.

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны. Если AB//CD то A 1 B 1 //C 1 D 1 ; A 2 B 2 //C 2 D 2 ; A 3 B 3 //C 3 D 3 (рис.33). В общем случае справедливо и обратное утверждение.

Матрицей поворота (или матрицей направляющих косинусов) называется ортогональная матрица, которая используется для выполнения собственного ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. При умножении любого вектора на матрицу поворота длина вектора сохраняется. Определитель матрицы поворота равен единице.
Обычно считают, что, в отличие от матрицы перехода при повороте системы координат (базиса), при умножении на матрицу поворота вектора-столбца координаты вектора преобразуются в соответствии с поворотом самого вектора (а не поворотом координатных осей; то есть при этом координаты повернутого вектора получаются в той же, неподвижной системе координат). Однако отличие той и другой матрицы лишь в знаке угла поворота, и одна может быть получена из другой заменой угла поворота на противоположный; та и другая взаимно обратны и могут быть получены друг из друга транспонированием.

Матрица поворота в трёхмерном пространстве

Любое вращение в трехмерном пространстве может быть представлено как композиция поворотов вокруг трех ортогональных осей (например, вокруг осей декартовых координат). Этой композиции соответствует матрица, равная произведению соответствующих трех матриц поворота.
Матрицами вращения вокруг оси декартовой системы координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:
Вращение вокруг оси x:

Вращение вокруг оси y:

Вращение вокруг оси z:

После преобразований мы получаем формулы:
По оси Х
x"=x;
y":=y*cos(L)+z*sin(L) ;
z":=-y*sin(L)+z*cos(L) ;

По оси Y
x"=x*cos(L)+z*sin(L);
y"=y;
z"=-x*sin(L)+z*cos(L);

По оси Z
x"=x*cos(L)-y*sin(L);
y"=-x*sin(L)+y*cos(L);
z"=z;

Все три поворота делаются независимо друг от друга, т.е. если надо повернуть вокруг осей Ox и Oy, вначале делается поворот вокруг оси Ox, потом применительно к полученной точки делается поворот вокруг оси Oy.

Положительным углам при этом соответствует вращение вектора против часовой стрелки в правой системе координат, и по часовой стрелке в левой системе координат, если смотреть против направления соответствующей оси. Правая система координат связана с выбором правого базиса (см. правило буравчика).