Пусть имеем две
прямоугольные системы координат в
пространстве
и
,
и систему функций
(1)
которые устанавливают
взаимно-однозначное соответствие между
точками некоторых областей
и
в этих системах координат. Предположим,
что функции системы (1) имеют в
непрерывные частные производные.
Определитель, составленный из этих
частных производных
,
называют якобианом
(или определителем Якоби) системы функций
(1). Мы будем предполагать, что
в
.
В сделанных выше предположениях имеет место следующая общая формула замены переменных в тройном интеграле:
Как и в случае
двойного интеграла, взаимная однозначность
системы (1) и условие
могут нарушаться в отдельных точках,
на отдельных линиях и на отдельных
поверхностях.
Система функций
(1) каждой точке
ставит в соответствие единственную
точку
.
Эти три числа
называют криволинейными координатами
точки.
Точки пространства
,
для которых одна из этих координат
сохраняет постоянное значение, образуют
т.н. координатную поверхность.
II Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Цилиндрическая
система координат (ЦСК) определяется
плоскостью
,
в которой задана полярная система
координат и осью
,
перпендикулярной этой плоскости.
Цилиндрическими координатами точки
,
где
– полярные координаты точки– проекции точкина плоскость
,
а– это координаты проекции точкина ось
или
.
В плоскости
введем обычным образом декартовы
координаты, ось аппликат направим по
оси
ЦСК. Теперь нетрудно получить формулы,
связывающие цилиндрические координаты
с декартовыми:
(3)
Эти формулы
отображают областьна все пространство
.
Координатными поверхностями в рассматриваемом случае будут:
1)
– цилиндрические поверхности с
образующими, парал-лельными оси
,
направляющими которых служат окружности
в плоскости
,
с центром в точке;
2)
;
3)
– плоскости, параллельные плоскости
.
Якобиан системы (3):
.
Общая формула в случае ЦСК принимает вид:
Замечание 1
.
Переход к
цилиндрическим координатам рекомендуется
в случае, когда область интегрирования
– это круговые цилиндр или конус, или
параболоид вращения (или их части),
причем ось этого тела совпадает с осью
аппликат
.
Замечание 2. Цилиндрические координаты можно обобщить так же, как и полярные координаты на плоскости.
Пример 1. Вычислить тройной интеграл от функции
по области
,
представляющей собой внутреннюю часть
цилиндра
,
ограниченную конусом
и параболоидом
.
Решение. Эту область мы уже рассматривали в §2, пример 6, и получили стандартную запись в ДПСК. Однако, вычисление интеграла в этой области затруднительно. Перейдем в ЦСК:
.
Проекция
тела
на плоскость
– это круг
.
Следовательно, координатаизменяется от 0 до
,
а– от0
до R
.
Через
произвольную точку
проведем прямую, параллельную оси
.
Прямая войдет в
на конусе, а выйдет на параболоиде. Но
конус
имеет в ЦСК уравнение
,
а параболоид
– уравнение
.
Итак, имеем
III Тройной интеграл в сферических координатах
Сферическая система
координат (ССК) определяется плоскостью
,
в которой задана ПСК, и осью
,
перпендикулярной плоскости
.
Сферическими
координатами точки
пространства называют тройку чисел
,
где– полярный угол проекции точки на
плоскость
,– угол между осью
и вектором
и
.
В плоскости
введем декартовы координатные оси
и
обычным образом, а ось аппликат совместим
с осью
.
Формулы, связывающие сферические
координаты с декартовыми таковы:
(4)
Эти формулы
отображают область
на всё пространство
.
Якобиан системы функций (4):
.
Координатные поверхности составляют три семейства:
1)
– концентрические сферы с центром в
начале координат;
2)
– полуплоскости, проходящие через ось
;
3)
– круговые конусы с вершиной в начале
координат, осью которых служит ось
.
Формула перехода в ССК в тройном интеграле:
Замечание 3.
Переход в ССК рекомендуется, когда
область интегрирования – это шар или
его часть. При этом уравнение сферы
переходит в.
Как и ЦСК, рассмотренная ранее, ССК
«привязана» к оси
.
Если центр сферы смещён на радиус вдоль
координатной оси, то наиболее простое
сферическое уравнение получим при
смещении вдоль оси
:
Замечание 4. Возможно обобщение ССК:
с якобианом
.
Эта система функций переведет эллипсоид
в «параллелепипед»
Пример 2. Найти среднее расстояние точек шара радиуса от его центра.
Решение.
Напомним, что среднее значение функции
в области
– это тройной интеграл от функции по
области деленный на объём области. В
нашем случае
Итак, имеем
Скачать с Depositfiles
Тройной интеграл.
Контрольные вопросы.
Тройной интеграл, его свойства.
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
Пусть функция u = f (x,y ,z ) определена в ограниченной замкнутой области V пространства R 3 . Разобьём область V произвольным образом наn элементарных замкнутых областей V 1 , … , V n , имеющих объемы V 1 , …, V n соответственно. Обозначим d – наибольший из диаметров областей V 1 , … , V n . В каждой области V k выберем произвольную точку P k (x k , y k , z k )и составим интегральную сумму функции f (x , y , z )
S =
Определение.
Тройным интегралом
от функции f
(x
, y
, z
) по области V
называется предел интегральной суммы
,
если он существует.
Таким образом,
(1)
Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области V и выбора точек P k (k =1, …, n ). Однако, если существует предел, то он не зависит от способа разбиения области V и выбора точек P k . Если сравнить определения двойного и тройного интегралов, то легко увидеть в них полную аналогию.
Достаточное условие существования тройного интеграла. Тройной интеграл (13) существует, если функция f (x , y , z ) ограничена в V и непрерывна в V , за исключением конечного числа кусочно-гладких поверхностей, расположенных в V .
Некоторые свойства тройного интеграла.
1) Если С – числовая константа, то
3) Аддитивностьпо области. Если область V разбита на области V 1 и V 2 , то
4) Объем тела V равен
(2
)
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть D проекция тела V на плоскость xOy , поверхности z =φ 1 (x , y ), z =φ 2 (x , y ) ограничивают тело V снизу и сверху соответственно. Это значит, что
V = {(x , y , z ): (x , y )D , φ 1 (x , y ) ≤ z ≤ φ 2 (x , y )}.
Такое тело назовем z -цилиндрическим. Тройной интеграл (1) по z -цилиндрическому телу V вычисляется переходом к повторному интегралу, состоящему из двойного и определенного интегралов:
(3
)
В этом повторном интеграле сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной z , при этом x , y считаются постоянными. Затем вычисляется двойной интеграл от полученной функции по области D .
Если V x- цилиндрическое или y- цилиндрическое тело, то верны соответственно формулы
В первой формуле D проекция тела V на координатную плоскость yOz , а во второй на плоскость xOz
Примеры. 1) Вычислитьобъем тела V , ограниченного поверхностями z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .
Решение. Вычислим объём при помощи тройного интеграла по формуле (2)
Перейдем к повторному интегралу по формуле (3).
Пусть D круг x 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 + y 2 . Тогда по формуле (3) получим
Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. При этом круг D преобразуется во множество
D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .
2) Тело V
ограничено поверхностямиz=y
,
z= –y
,
x=
0
,
x=
2,
y=
1.
Вычислить
Плоскости z = y , z = –y ограничиваюттелосоответственно снизу и сверху, плоскости x= 0 , x= 2 ограничивают тело соответственно сзади и спереди, а плоскость y= 1 ограничиваетсправа. V – z- цилиндрическое тело, его проекцией D на плоскость хОу является прямоугольник ОАВС . Положим φ 1 (x , y ) = –y
Преобразование
двойного интеграла от прямоугольных
координат
,к полярным координатам
,
связанных с прямоугольными координатами
соотношениями
,
,
осуществляется по формуле
Если
область интегрирования
ограничена двумя лучами
,
(
),
выходящими из полюса, и двумя кривыми
и
,
то двойной интеграл вычисляют по формуле
.
Пример
1.3.
Вычислить
площадь фигуры, ограниченной данными
линиями:
,
,
,
.
Решение.
Для
вычисления площади области
воспользуемся формулой:
.
Изобразим
область
,
,
Перейдем к полярным координатам: ,
. В
полярной системе координат область
|
.
1.2. Тройные интегралы
Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.
В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают так:
.
Если
,
то тройной интеграл по областичисленно равен объему тела:
.
Вычисление тройного интеграла
Пусть
область интегрирования
ограничена снизу и сверху соответственно
однозначными непрерывными поверхностями
,
,
причем проекция областина координатную плоскость
есть плоская область
(рис. 1.6).
Тогда
при фиксированных значениях
Тогда получаем: . Если,
кроме того, проекция
,
где
|
.
Пример
1.4.
Вычислить
,
где-
тело, ограниченное плоскостями:
,
Решение.
Областью интегрирования является
пирамида (рис. 1.7). Проекция области
есть треугольник . |
|
Расставляя
пределы интегрирования для треугольника
|
Тройной интеграл в цилиндрических координатах
При
переходе от декартовых координат
к цилиндрическим координатам
(рис. 1.9), связанных с
соотношениями
,
,
,
причем
,
тройной интеграл преобразуется: Пример
1.5.
Вычислить
объем тела, ограниченного поверхностями:
Решение.
Искомый
объем тела
равен |
|
Областью
интегрирования является часть цилиндра,
ограниченного снизу плоскостью
Перейдем
к цилиндрическим координатам.
или в цилиндрических координатах: |
Область
,
ограниченная кривой
,
примет вид,
или
,
при этом полярный угол
.
В итоге имеем
.
2. Элементы теории поля
Напомним предварительно способы вычисления криволинейных и поверхностных интегралов.
Вычисление криволинейного интеграла по координатам от функций, определенных на кривой , сводится к вычислению определенного интеграла вида
если
кривая
задана параметрическии
соответствует начальной точке кривой,
а
- ее конечной точке.
Вычисление
поверхностного интеграла от функции
,
определенной на двусторонней поверхности,
сводится к вычислению двойного интеграла,
например, вида
, |
если
поверхность
,
заданная уравнением
,
однозначно проецируется на плоскость
в область
.
Здесь- угол между единичным вектором нормалик поверхностии осью
:
. |
Требуемая условиями задачи сторона поверхности определяется выбором соответствующего знака в формуле (2.3).
Определение
2.1. Векторным полем
называется
векторная функция точки
вместе с областью ее определения:
Векторное
поле
характеризуется скалярной величиной
–дивергенцией:
Определение
2.2. Потоком
векторного
поля
через
поверхность
называется
поверхностный интеграл:
, |
где
-
единичный вектор нормали к выбранной
стороне поверхности,
а
- скалярное произведение векторови.
Определение 2.3. Циркуляцией векторного поля
по замкнутой кривой называется криволинейный интеграл
, |
где
.
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность и дивергенцией поля:
где - поверхность, ограниченная замкнутым контуром , а - единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласовано с направлением обхода контура .
Пример 2.1. Вычислить поверхностный интеграл
,
где
- внешняя часть конуса
(
),
отсекаемая плоскостью
(рис 2.1).
Решение.
Поверхность
однозначно проецируется в область
плоскости
,
и интеграл вычисляется по формуле (2.2).
Единичный вектор нормали к поверхности найдем по формуле (2.3): . Здесь
в выражении для нормали выбран знак
плюс, так как угол
между осью |
Область
есть круг
.
Поэтому в последнем интеграле переходим
к полярным координатам, при этом
,
:
Пример
2.2.
Найти
дивергенцию и ротор векторного поля
.
Решение. По формуле (2.4) получаем
Ротор данного векторного поля находим по формуле (2.5)
Пример
2.3.
Найти поток векторного поля
через часть плоскости:
,
расположенную в первом октанте (нормаль
образует острый угол с осью
).
Решение. В силу формулы (2.6) . Изобразим
часть плоскости
: (рис.
2.3). Вектор нормали к плоскости имеет
координаты:
|
|
. . ,
|
где
- проекция плоскостина
(рис. 2.4).
Пример
2.4.
Вычислить
поток векторного поля
через замкнутую поверхность,
образованную плоскостью
и частью конуса
(
)
(рис. 2.2).
Решение. Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса (2.8)
.
Найдем дивергенцию векторного поля по формуле (2.4):
где
- объем конуса, по которому ведется
интегрирование. Воспользуемся известной
формулой для вычисления объема конуса
(- радиус основания конуса,- его высота). В нашем случае получаем
.
Окончательно получаем
.
Пример
2.5.
Вычислить
циркуляцию векторного поля
по контуру
,
образованному пересечением поверхностей
и
(
).
Проверить результат по формуле Стокса.
Решение.
Пересечением
указанных поверхностей является
окружность
,
(рис. 2.1). Направление обхода выбирается
обычно так, чтобы ограниченная им область
оставалась слева. Запишем параметрические
уравнения контура
:
откуда
|
причем
параметр
изменяется отдо
.
По формуле (2.7) с учетом (2.1) и (2.10) получаем
.
Применим
теперь формулу Стокса (2.9). В качестве
поверхности
,
натянутой на контур
,
можно взять часть плоскости
.
Направление нормали
к
этой поверхности согласуется с
направлением обхода контура
.
Ротор данного векторного поля вычислен
в примере 2.2:
.
Поэтому искомая циркуляция
где
- площадь области
.
- круг радиуса
,
откуда
Примеры решений произвольных тройных интегралов.
Физические приложения тройного интеграла
Во 2-й части урока мы отработаем технику решения произвольных тройных интегралов , у которых подынтегральная функция трёх переменных в общем случае отлична от константы и непрерывна в области ; а также познакомимся с физическими приложениями тройного интеграла
Вновь прибывшим посетителям рекомендую начать с 1-й части, где мы рассмотрели основные понятия и задачу нахождения объема тела с помощью тройного интеграла . Остальным же предлагаю немного повторить производные функции трёх переменных , поскольку в примерах данной статьи мы будем использовать обратную операцию – частное интегрирование функции .
Кроме того, есть ещё один немаловажный момент: если у Вас неважное самочувствие, то прочтение этой странички по возможности лучше отложить. И дело не только в том, что сейчас возрастёт сложность вычислений – у большинства тройных интегралов нет надёжных способов ручной проверки, поэтому к их решению крайне нежелательно приступать в утомлённом состоянии. При пониженном тонусе целесообразно порешать что-нибудь попроще либо просто отдохнуть (я терпелив, подожду =)), чтобы в другой раз со свежей головой продолжить расправу над тройными интегралами:
Пример 13
Вычислить тройной интеграл
На практике тело также обозначают буквой , но это не очень хороший вариант, ввиду того, «вэ» «зарезервировано» под обозначение объёма.
Сразу скажу, чего делать НЕ НАДО. Не нужно пользоваться свойствами линейности и представлять интеграл в виде . Хотя если очень хочется, то можно. В конце концов, есть и небольшой плюс – запись будет хоть и длинной, но зато менее загромождённой. Но такой подход всё-таки не стандартен.
В алгоритме решения
новизны будет немного. Сначала нужно разобраться с областью интегрирования. Проекция тела на плоскость представляет собой до боли знакомый треугольник:
Сверху тело ограничено плоскостью
, которая проходит через начало координат. Предварительно, к слову, нужно обязательно проверить
(мысленно либо на черновике)
, не «срезает» ли эта плоскость часть треугольника. Для этого находим её линию пересечения с координатной плоскостью , т.е. решаем простейшую систему: – нет, данная прямая
(на чертеже отсутствует)
«проходит мимо», и проекция тела на плоскость действительно представляет собой треугольник.
Не сложен здесь и пространственный чертёж:
В действительности можно было ограничиться только им, поскольку проекция очень простая. …Ну, или только чертежом проекции, так как тело тоже простое =) Однако совсем ничего не чертить, напоминаю – плохой выбор.
Ну и, само собой, не могу не порадовать вас заключительной задачей:
Пример 19
Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями , . Выполнить чертежи данного тела и его проекции на плоскость .
Решение
: искомое тело ограничено координатными плоскостями и плоскостью , которую в целях последующего построения удобно представить в отрезках
: . Выберем «а» за единицу масштаба и выполним трёхмерный чертёж:
На чертеже уже поставлена готовая точка центра тяжести, однако, пока мы её не знаем.
Проекция тела на плоскость очевидна, но, тем не менее, напомню, как её найти аналитически – ведь такие простые случаи встречаются далеко не всегда. Чтобы найти прямую, по которой пересекаются плоскости нужно решить систему:
Подставляем значение в 1-е уравнение: и получаем уравнение «плоской» прямой
:
Координаты центра тяжести тела вычислим по формулам
, где – объём тела.
1. Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).
Пусть M(x, y, z) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел - полярные координаты точки P, z - аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид
Якобиан отображения (8)
Пример 2 .
Вычислить интеграл
где T - область, ограниченная поверхностями
Решение. Перейдём в интеграле к сферическим координатам по формулам (9). Тогда область интегрирования можно задать неравенствами
А, значит,
Пример 3 Найти объём тела, ограниченного:
x 2 +y 2 +z 2 =8, |
Имеем: x 2 +y 2 +z 2 =8 - сфера радиуса R= v8 с центром в точке O(000),
Верхняя часть конуса z 2 =x 2 +y 2 с осью симметрии Оz и вершиной в точке O (рис. 2.20).
Найдем линию пересечения сферы и конуса:
И так как по условию z ? 0, то
Окружность R=2, лежащая в плоскости z=2.
Поэтому согласно (2.28)
где область U ограничена сверху
(часть сферы),
(часть конуса);
область U проектируется на плоскости Оху в область D - круг радиуса 2.
Следовательно, целесообразно перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам, используя формулы (2.36):
Пределы изменения ц, r находим по области D v полный круг R=2 с центром в точке О, тем самым: 0?ц?2р, 0?r?2. Таким образом, область U в цилиндрических координатах задается следующими неравенствами:
Заметим, что