Вычислить градиент поля в точке. Градиент заданной функции. Нахождение производной по направлению вектора

Определение 1

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.

Рассмотрим функцию $z=f(x,y)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxy$.

Следовательно,

Определение 3

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z)$.

Рассмотрим функцию $w=f(x,y,z)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxyz$.

Для заданной функции определим вектор, для которого проекциями на оси координат являются значения частных производных заданной функции в некоторой точке $\frac{\partial z}{\partial x} ;\frac{\partial z}{\partial y} $.

Определение 4

Градиентом заданной функции $w=f(x,y,z)$ называется вектор $\overrightarrow{gradw} $ следующего вида:

Теорема 3

Пусть в некотором скалярном поле $w=f(x,y,z)$ определено поле градиентов

\[\overrightarrow{gradw} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \overrightarrow{k} .\]

Производная $\frac{\partial w}{\partial s} $ по направлению заданного вектора $\overrightarrow{s} $ равна проекции вектора градиента $\overrightarrow{gradw} $ на заданный вектор $\overrightarrow{s} $.

Пример 4

Решение:

Выражение для градиента находим по формуле

\[\overrightarrow{gradw} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \overrightarrow{k} .\]

\[\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =2.\]

Следовательно,

\[\overrightarrow{gradw} =2x\cdot \overrightarrow{i} +4y\cdot \overrightarrow{j} +2\cdot \overrightarrow{k} .\]

Пример 5

Определить градиент заданной функции

в точке $M(1;2;1)$. Вычислить $\left(|\overrightarrow{gradz} |\right)_{M} $.

Решение:

Выражение для градиента в заданной точке находим по формуле

\[\left(\overrightarrow{gradw} \right)_{M} =\left(\frac{\partial w}{\partial x} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{i} +\left(\frac{\partial w}{\partial y} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{j} +\left(\frac{\partial w}{\partial z} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{k} .\]

Частные производные имеют вид:

\[\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =6z^{2} .\]

Производные в точке $M(1;2)$:

\[\frac{\partial w}{\partial x} =2\cdot 1=2;\frac{\partial w}{\partial y} =4\cdot 2=8;\frac{\partial w}{\partial z} =6\cdot 1^{2} =6.\]

Следовательно,

\[\left(\overrightarrow{gradw} \right)_{M} =2\cdot \overrightarrow{i} +8\cdot \overrightarrow{j} +6\cdot \overrightarrow{k} \]

\[\left(|\overrightarrow{gradw} |\right)_{M} =\sqrt{2^{2} +8^{2} +6^{2} } =\sqrt{4+64+36} =\sqrt{104} .\]

Перечислим некоторые свойства градиента:

Производная заданной функции в заданной точке по направлению некоторого вектора $\overrightarrow{s} $ имеет наибольшее значение, если направление данного вектора $\overrightarrow{s} $ совпадает с направлением градиента. При этом данное наибольшее значение производной совпадает с длиной вектора градиента, т.е. $|\overrightarrow{gradw} |$.

Производная заданной функции по направлению вектора, который перпендикулярен к вектору градиента, т.е. $\overrightarrow{gradw} $, равна 0. Так как $\varphi =\frac{\pi }{2} $, то $\cos \varphi =0$; следовательно, $\frac{\partial w}{\partial s} =|\overrightarrow{gradw} |\cdot \cos \varphi =0$.

Из школьного курса математики известно, что вектор на плоскости представляет собой направленный отрезок. Его начало и конец имеют по две координаты. Координаты вектора рассчитываются путем вычитания из координат конца координат начала.

Понятие вектора может быть распространено и на n-мерное пространство (вместо двух координат будетnкоординат).

Градиентом gradzфункцииz=f(х 1 , х 2 , …х n) называется вектор частных производных функции в точке, т.е. вектор с координатами.

Можно доказать, что градиент функции характеризует направление наискорейшего роста уровня функции в точке.

Например, для функции z= 2х 1 + х 2 (см. рисунок 5.8) градиент в любой точке будет иметь координаты (2; 1). Построить его на плоскости можно различными способами, взяв в качестве начала вектора любую точку. Например, можно соединить точку (0; 0) с точкой (2; 1), или точку (1; 0) с точкой (3; 1), или точку (0; 3) с точкой (2; 4), или т.п. (см. рисунок 5.8). Все построенные таким образом вектора будут иметь координаты (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Из рисунка 5.8 хорошо видно, что уровень функции растет в направлении градиента, поскольку построенные линии уровня соответствуют значениям уровня 4 > 3 > 2.

Рисунок 5.8 - Градиент функции z= 2х 1 + х 2

Рассмотрим другой пример – функцию z= 1/(х 1 х 2). Градиент этой функции уже не будет всегда одинаковым в разных точках, поскольку его координаты определяются формулами (-1/(х 1 2 х 2); -1/(х 1 х 2 2)).

На рисунке 5.9 представлены линии уровня функцииz= 1/(х 1 х 2) для уровней 2 и 10 (прямая 1/(х 1 х 2) = 2 обозначена пунктиром, а прямая 1/(х 1 х 2) = 10 – сплошной линией).

Рисунок 5.9 - Градиенты функции z= 1/(х 1 х 2) в различных точках

Возьмем, например, точку (0,5; 1) и вычислим градиент в этой точке: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; -2). Заметим, что точка (0,5; 1) лежит на линии уровня 1/(х 1 х 2) = 2, ибоz=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Чтобы изобразить вектор (-4; -2) на рисунке 5.9, соединим точку (0,5; 1) с точкой (-3,5; -1), ибо (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Возьмем другую точку на той же самой линии уровня, например, точку (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Вычислим градиент в этой точке (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Чтобы изобразить его на рисунке 5.9, соединим точку (1; 0,5) с точкой (-1; -3,5), ибо (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; -4).

Возьмем еще одну точку на той же самой линии уровня, но только теперь в неположительной координатной четверти. Например, точку (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиент в этой точке будет равен (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Изобразим его на рисунке 5.9, соединив точку (-0,5; -1) с точкой (3,5; 1), ибо (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4; 2).

Следует обратить внимание, что во всех трех рассмотренных случаях градиент показывает направление роста уровня функции (в сторону линии уровня 1/(х 1 х 2) = 10 > 2).

Можно доказать, что градиент всегда перпендикулярен линии уровня (поверхности уровня), проходящей через данную точку.

Экстремумы функции многих переменных

Определим понятие экстремума для функции многих переменных.

Функция многих переменных f(X) имеет в точке Х (0) максимум (минимум), если найдется такая окрестность этой точки, что для всех точек Х из этой окрестности выполняются неравенстваf(X)f(X (0)) ().

Если эти неравенства выполняются, как строгие, то экстремум называется сильным , а если нет, тослабым .

Заметим, что определенный таким образом экстремум носит локальный характер, так как эти неравенства выполняются лишь для некоторой окрестности точки экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции z=f(х 1 , . . ., х n) в точке является равенство нулю всех частных производных первого порядка в этой точке:
.

Точки, в которых выполняются эти равенства, называются стационарными .

По-другому необходимое условие экстремума можно сформулировать так: в точке экстремума градиент равен нулю. Можно доказать и более общее утверждение - в точке экстремума обращаются в ноль производные функции по всем направлениям.

Стационарные точки должны быть подвергнуты дополнительным исследованиям - выполняются ли достаточные условия существования локального экстремума. Для этого определяют знак дифференциала второго порядка. Если при любых , не равных одновременно нулю, он всегда отрицателен (положителен), то функция имеет максимум (минимум). Если может обращаться в ноль не только при нулевых приращениях, то вопрос об экстремуме остается открытым. Если может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то экстремума в стационарной точке нет.

В общем случае определение знака дифференциала представляет собой достаточно сложную проблему, которую здесь рассматривать не будем. Для функции двух переменных можно доказать, что если в стационарной точке
, то экстремум присутствует. При этом знак второго дифференциала совпадает со знаком
, т.е. если
, то это максимум, а если
, то это минимум. Если
, то экстремума в этой точке нет, а если
, то вопрос об экстремуме остается открытым.

Пример 1 . Найти экстремумы функции
.

Найдем частные производные методом логарифмического дифференцирования.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Аналогично
.

Найдем стационарные точки из системы уравнений:

Таким образом, найдены четыре стационарные точки (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1).

Найдем частные производные второго порядка:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Аналогично
;
.

Так как
, знак выражения
зависит только от
. Отметим, что в обеих этих производных знаменатель всегда положителен, поэтому можно рассматривать только знак числителя,или даже знак выражений х(х 2 – 3)иy(y 2 – 3). Определим его в каждой критической точке и проверим выполнение достаточного условия экстремума.

Для точки (1; 1) получим 1*(1 2 – 3) = -2 < 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0, а
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Для точки (1; -1) получим 1*(1 2 – 3) = -2 < 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Т.к. произведение этих чисел
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Для точки (-1; -1) получим (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Т.к. произведение двух положительных чисел
> 0, а
> 0, в точке (-1; -1) можно найти минимум. Он равен 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2)) = -8/4 = = -2.

Найти глобальный максимум или минимум (наибольшее или наименьшее значение функции) несколько сложнее, чем локальный экстремум, так как эти значения могут достигаться не только в стационарных точках, но и на границе области определения. Исследовать поведение функции на границе этой области не всегда легко.

Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению

Следовательно,

Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

А сейчас - домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру .

Пример 2. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2) по направлению вектора , где M 1 - точка с координатами (3; 0) .

Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере - в виде разложения по ортам координатных осей , но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.

Пример 3. Найти производную функции в точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора .

Решение. Найдём направляющие косинусы вектора

Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

Градиент функции

Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.

Как найти градиент?

Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:

То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей , в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.

Градиентом функции в точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным и, обозначается.

Если рассмотреть единичный вектор e=(), то согласно формуле (3) производная по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора, задающего направление. Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует направление и величину максимального роста функции в этой точке.

Теорема. Если функция дифференцируема и в точке М 0 величина градиента отлична от нуля, то градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку и направлен в сторону возрастания функции при этом

ВЫВОД: 1) Производная функции в точке по направлению, определяемому градиентом этой функции в указанной точке, имеет максимальное значение по сравнению с производной в этой точке по любому другому направлению.

2) Значение производной функции по направлению, которое определяет градиент этой функции в данной точке, равно.
3) Зная градиент функции в каждой точке, можно с некоторой погрешностью строить линии уровня. Начнем с точки М 0 . Построим градиент в этой точке. Зададим направление, перпендикулярное градиенту. Построим малую часть линии уровня. Рассмотрим близкую точку М 1 , построим градиент в ней и так далее.

Краткая теория

Градиентом называется вектор, направление которого указывает направление максимально быстрого возрастания функции f(x). Нахождение этой векторной величины связано с определением частных производных функции. Производная по направлению это скалярная величина и показывает скорость изменения функции при движении вдоль направления, заданного некоторым вектором.

Пример решения задачи