К обратным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: арксинус , арккосинус , арктангенс , арккотангенс , арксеканс и арккосеканс .

Поскольку исходные тригонометрические функции периодические, то обратные функции, вообще говоря, являются многозначными . Чтобы обеспечить однозначное соответствие между двумя переменными, области определения исходных тригонометрических функций ограничивают, рассматривая лишь их главные ветви . Например, функция \(y = \sin x\) рассматривается лишь в промежутке \(x \in \left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\). На этом интервале обратная функция арксинус определена однозначно.

Функция арксинус
Арксинусом числа \(a\) (обозначается \(\arcsin a\)) называется значение угла \(x\) в интервале \(\left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\), при котором \(\sin x = a\). Обратная функция \(y = \arcsin x\) определена при \(x \in \left[ { -1,1} \right]\), область ее значений равна \(y \in \left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\).

Функция арккосинус
Арккосинусом числа \(a\) (обозначается \(\arccos a\)) называется значение угла \(x\) в интервале \(\left[ {0,\pi} \right]\), при котором \(\cos x = a\). Обратная функция \(y = \arccos x\) определена при \(x \in \left[ { -1,1} \right]\), область ее значений принадлежит отрезку \(y \in \left[ {0,\pi} \right]\).



Функция арктангенс
Арктангенсом числа a (обозначается \(\arctan a\)) называется значение угла \(x\) в открытом интервале \(\left({-\pi/2, \pi/2} \right)\), при котором \(\tan x = a\). Обратная функция \(y = \arctan x\) определена при всех \(x \in \mathbb{R}\), область значений арктангенса равна \(y \in \left({-\pi/2, \pi/2} \right)\).



Функция арккотангенс
Арккотангенсом числа \(a\) (обозначается \(\text{arccot } a\)) называется значение угла \(x\) в открытом интервале \(\left[ {0,\pi} \right]\), при котором \(\cot x = a\). Обратная функция \(y = \text{arccot } x\) определена при всех \(x \in \mathbb{R}\), область ее значений находится в интервале \(y \in \left[ {0,\pi} \right]\).



Функция арксеканс
Арксекансом числа \(a\) (обозначается \(\text{arcsec } a\)) называется значение угла \(x\), при котором \(\sec x = a\). Обратная функция \(y = \text{arcsec } x\) определена при \(x \in \left({ - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\), область ее значений принадлежит множеству \(y \in \left[ {0,\pi /2} \right) \cup \left({\pi /2,\pi } \right]\).



Функция арккосеканс
Арккосекансом числа \(a\) (обозначается \(\text{arccsc } a\) или \(\text{arccosec } a\)) называется значение угла \(x\), при котором \(\csc x = a\). Обратная функция \(y = \text{arccsc } x\) определена при \(x \in \left({ - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\), область ее значений принадлежит множеству \(y \in \left[ { - \pi /2,0} \right) \cup \left({0,\pi /2} \right]\).



Главные значения функций арксинус и арккосинус (в градусах)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

Главные значения функций арктангенс и арккотангенс (в градусах)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\text{arccot } x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции-это математические функции, являющиеся обратными тригонометрическим функциям.

Функция y=arcsin(x)

Арксинусом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен α.
График функции
Функция у= sin⁡(x) на отрезке [-π/2;π/2], строго возрастает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию, строго возрастающую и непрерывную.
Функция, обратная для функции у= sin⁡(x), где х ∈[-π/2;π/2], называется арксинусом и обозначается y=arcsin(x),где х∈[-1;1].
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арксинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений - отрезок [-π/2;π/2].
Отметим, что график функцииy=arcsin(x),где х ∈[-1;1].симметричен графику функции у= sin(⁡x), где х∈[-π/2;π/2],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcsin(x).

Пример№1.

Найти arcsin(1/2)?

Так как область значений функцииarcsin(x)принадлежит промежутку [-π/2;π/2], то подходит только значениеπ/6 .Следовательноarcsin(1/2) =π/6.
Ответ:π/6

Пример №2.
Найти arcsin(-(√3)/2)?

Так как область значений arcsin(x) х ∈[-π/2;π/2], то подходит только значение -π/3.Следовательноarcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Функция y=arccos(x)

Арккосинусом числа α называют такое число α из промежутка , косинус которого равен α.

График функции

Функция у= cos(⁡x) на отрезке , строго убывает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию, строго убывающую и непрерывную.
Функция, обратная для функции у= cos⁡x, где х ∈, называется арккосинусом и обозначается y=arccos(x),где х ∈[-1;1].
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арккосинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений - отрезок .
Отметим, что график функцииy=arccos(x),где х ∈[-1;1] симметричен графику функции у= cos(⁡x), где х ∈,относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arccos(x).

Пример №3.

Найти arccos(1/2)?

Так как область значений arccos(x) х∈, то подходит только значение π/3.Следовательно arccos(1/2) =π/3.
Пример №4.
Найти arccos(-(√2)/2)?

Так как область значений функции arccos(x) принадлежит промежутку , то подходит только значение 3π/4.Следовательноarccos(-(√2)/2) =3π/4.

Ответ: 3π/4

Функция y=arctg(x)

Арктангенсом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], тангенс которого равен α.

График функции

Функция тангенс непрерывная и строго возрастающая на интервале(-π/2;π/2); следовательно, она имеет обратную функцию, которая непрерывна и строго возрастает.
Функция, обратная для функции у= tg⁡(x), где х∈(-π/2;π/2); называется арктангенсом и обозначается y=arctg(x),где х∈R.
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арктангенса является интервал(-∞;+∞), а множеством значений - интервал
(-π/2;π/2).
Отметим, что график функции y=arctg(x),где х∈R, симметричен графику функции у= tg⁡x, где х ∈ (-π/2;π/2), относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arctg(x).

Пример№5?

Найти arctg((√3)/3).

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение π/6 .Следовательноarctg((√3)/3) =π/6.
Пример№6.
Найти arctg(-1)?

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение -π/4 .Следовательноarctg(-1) = - π/4.

Функция y=arcctg(x)

Арккотангенсом числа α называют такое число α из промежутка (0;π), котангенс которого равен α.

График функции

На интервале (0;π),функция котангенс строго убывает; кроме того,она непрерывна в каждой точке этого интервала; следовательно, на интервале (0;π), эта функция имеет обратную функцию, которая является строго убывающей и непрерывной.
Функция, обратная для функции у=ctg(x), где х ∈(0;π), называется арккотангенсом и обозначается y=arcctg(x),где х∈R.
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арккотангенса будет R,а множеством значений –интервал (0;π).График функции y=arcctg(x),где х∈R симметричен графику функции y=ctg(x) х∈(0;π),относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcctg(x).

Пример№7.
Найти arcctg((√3)/3)?

Так как область значений arcctg(x) х ∈(0;π), то подходит только значение π/3.Следовательно arccos((√3)/3) =π/3.

Пример№8.
Найти arcctg(-(√3)/3)?

Так как область значений arcctg(x) х∈(0;π), то подходит только значение 2π/3.Следовательноarccos(-(√3)/3) =2π/3.

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

В ряде задач математики и её приложений требуется по известному значению тригонометрической функции найти соответствующее значение угла, выраженное в градусной или в радианной мере. Известно, что одному и тому же значению синуса соответствует бесконечное множество углов, например, если $\sin α=1/2,$ то угол $α$ может быть равен и $30°$ и $150°,$ или в радианной мере $π/6$ и $5π/6,$ и любому из углов, который получается из этих прибавлением слагаемого вида $360°⋅k,$ или соответственно $2πk,$ где $k$ - любое целое число. Это становится ясным и из рассмотрения графика функции $y=\sin x$ на всей числовой прямой (см. рис. $1$): если на оси $Oy$ отложить отрезок длины $1/2$ и провести прямую, параллельную оси $Ox,$ то она пересечет синусоиду в бесконечном множестве точек. Чтобы избежать возможного разнообразия ответов, вводятся обратные тригонометрические функции, иначе называемые круговыми, или аркфункциями (от латинского слова arcus - «дуга»).

Основным четырем тригонометрическим функциям $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm{tg}\,x$ и $\mathrm{ctg}\,x$ соответствуют четыре аркфункции $\arcsin x,$ $\arccos x,$ $\mathrm{arctg}\,x$ и $\mathrm{arcctg}\,x$ (читается: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс). Рассмотрим функции \arcsin x и \mathrm{arctg}\,x, поскольку две другие выражаются через них по формулам:

$\arccos x = \frac{π}{2} − \arcsin x,$ $\mathrm{arcctg}\,x = \frac{π}{2} − \mathrm{arctg}\,x.$

Равенство $y = \arcsin x$ по определению означает такой угол $y,$ выраженный в радианной мере и заключенный в пределах от $−\frac{π}{2}$ до $\frac{π}{2},$ синус которого равен $x,$ т. е. $\sin y = x.$ Функция $\arcsin x$ является функцией, обратной функции $\sin x,$ рассматриваемой на отрезке $\left[−\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right],$ где эта функция монотонно возрастает и принимает все значения от $−1$ до $+1.$ Очевидно, что аргумент $y$ функции $\arcsin x$ может принимать значения лишь из отрезка $\left[−1,+1\right].$ Итак, функция $y=\arcsin x$ определена на отрезке $\left[−1,+1\right],$ является монотонно возрастающей, и её значения заполняют отрезок $\left[−\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right].$ График функции показан на рис. $2.$

При условии $−1 ≤ a ≤ 1$ все решения уравнения $\sin x = a$ представим в виде $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0,±1,± 2,… .$ Например, если

$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ то $x = (−1)^n \frac{π}{4}+πn,$ $n = 0, ±1, ±2, … .$

Соотношение $y=\mathrm{arcctg}\,x$ определено при всех значениях $x$ и по определению означает, что угол $y,$ выраженный в радианной мере, заключей в пределах

$−\frac{π}{2}

и тангенс этого угла равен x, т. е. $\mathrm{tg}\,y = x.$ Функция $\mathrm{arctg}\,x$ определена на всей числовой прямой, является функцией, обратной функции $\mathrm{tg}\,x$, которая рассматривается лишь на интервале

$−\frac{π}{2}

Функция $у = \mathrm{arctg}\,x$ монотонно возрастающая, её график дан на рис. $3.$

Все решения уравнения $\mathrm{tg}\,x = a$ могут быть записаны в виде $x=\mathrm{arctg}\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Заметим, что обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе. Например, одной из первых функций, для которых было получено представление бесконечным степенным рядом, была функция $\mathrm{arctg}\,x.$ Из этого ряда Г. Лейбниц при фиксированном значении аргумента $x=1$ получил знаменитое представление числа к бесконечным рядом

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям .

К ним обычно относят 6 функций:

• арксинус (обозначение: arcsin x ; arcsin x — это угол, sin которого равен x ),
• арккосинус (обозначение: arccos x ; arccos x — это угол, косинус которого равняется x и так далее),
• арктангенс (обозначение: arctg x или arctan x ),
• арккотангенс (обозначение: arcctg x или arccot x или arccotan x ),
• арксеканс (обозначение: arcsec x ),
• арккосеканс (обозначение: arccosec x или arccsc x ).

Арксинус (y = arcsin x ) - обратная функция к sin (x = sin y . Другими словами возвращает угол по значению его sin .

Арккосинус (y = arccos x ) - обратная функция к cos (x = cos y cos .

Арктангенс (y = arctg x ) - обратная функция к tg (x = tg y ), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его tg .

Арккотангенс (y = arcctg x ) - обратная функция к ctg (x = ctg y ), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его ctg .

arcsec - арксеканс, возвращает угол по значению его секанса.

arccosec - арккосеканс, возвращает угол по значению его косеканса.

Когда обратная тригонометрическая функция не определяется в указанной точке, значит, ее значение не появится в итоговой таблице. Функции arcsec и arccosec не определяются на отрезке (-1,1), а arcsin и arccos определяются только на отрезке [-1,1].

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции прибавлением приставки «арк-» (от лат. arc us — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции связывают с длиной дуги единичной окружности (либо углом, который стягивает эту дугу), которая соответствует тому либо другому отрезку.

Иногда в зарубежной литературе, как и в научных/инженерных калькуляторах , используют обозначениями вроде sin −1 , cos −1 для арксинуса, арккосинуса и тому подобное, — это считается не полностью точным, т.к. вероятна путаница с возведением функции в степень −1 (« −1 » (минус первая степень) определяет функцию x = f -1 (y) , обратную функции y = f (x) ).

Основные соотношения обратных тригонометрических функций.

Здесь важно обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.

Обозначим любое из значений обратных тригонометрических функций через Arcsin x , Arccos x , Arctan x , Arccot x и сохраним обозначения: arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x для их главных значений, тогда связь меж ними выражается такими соотношениями.

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции

09.07.2015 8495 0

Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

1. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.

Пример 1

Решим уравнение: a ) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x 1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x 1 . По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z .

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной - существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a (arcsin , синус которого равен а, т. е.

Арккосинус числа a (arccos а) - такой угол а из промежутка , косинус которого равен а, т. е.

Арктангенс числа a (arctg а) - такой угол а из промежутка тангенс которого равен а, т. е. tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) - такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. ctg а = а.

Пример 2

Найдем:

Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:

Пример 3

Вычислим

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Учтено, что и cos a ≥ 0. Итак,

Свойства функции	Функция
	у = arcsin х	у = arccos х	у = arctg х	у = arcctg х
Область определения	х ∈ [-1; 1]	х ∈ [-1; 1]	х ∈ (-∞; +∞)	х ∈ (-∞ +∞)
Область значений	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Четность	Нечетная	Ни четная, ни нечетная	Нечетная	Ни четная, ни нечетная
Нули функции (y = 0)	При х = 0	При х = 1	При х = 0	у ≠ 0
Промежутки знакопостоянства	у > 0 при х ∈ (0; 1], у < 0 при х ∈ [-1; 0)	у > 0 при х ∈ [-1; 1)	у > 0 при х ∈ (0; +∞), у < 0 при х ∈ (-∞; 0)	у > 0 при x ∈ (-∞; +∞)
Монотонность	Возрастает	Убывает	Возрастает	Убывает
Связь с тригонометрической функцией	sin у = х	cos у = х	tg у = х	ctg у = х
График

Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.

Пример 4

Найдем область определения функции

Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства которое эквивалентно системе неравенств Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго - Этот промежуток и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции

Пример 5

Найдем область изменения функции

Рассмотрим поведение функции z = 2х - х2 (см. рисунок).

Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что Таким образом, область изменения

Пример 6

Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть Тогда tg а = -х или х = - tg а = tg (- a ), причем Следовательно, - a = arctg х или а = - arctg х. Таким образом, видим, что т. е. у(х) - функция нечетная.

Пример 7

Выразим через все обратные тригонометрические функции

Пусть Очевидно, что Тогда Так как

Введем угол Так как то

Аналогично поэтому и

Итак,

Пример 8

Построим график функции у = cos (arcsin х).

Обозначим а = arcsin x , тогда Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x 2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos (arcsin х) является полуокружность.

Пример 9

Построим график функции у = arccos (cos x ).

Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке . Будем иметь в виду, что у = arccos (cos x ) = х на отрезке ; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x , теперь легко построить график.

Отметим некоторые полезные равенства:

Пример 10

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции Обозначим тогда Получим функцию Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно Таким образом, и

Пример 11

Решим уравнение

Учтем, что Тогда уравнение имеет вид: или откуда По определению арктангенса получим:

2. Решение простейших тригонометрических уравнений

Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение	Решение
tgx = а
ctg х = а

Пример 12

Решим уравнение

Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде Решения этого уравнения: откуда находим

Пример 13

Решим уравнение

По приведенной формуле запишем решения уравнения: и найдем

Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:

для уравнения sin х = 1 решения

для уравнения sin х = 0 решения х = π k ;

для уравнения sin х = -1 решения

для уравнения cos х = 1 решения х = 2π k ;

для уравнения cos х = 0 решения

для уравнения cos х = -1 решения

Пример 14

Решим уравнение

Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение: откуда найдем

III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.

2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.

3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

IV. Задание на уроках

§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

V. Задание на дом

§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

VI. Творческие задания

1. Найдите область определения функции:

Ответы :

2. Найдите область значений функции:

Ответы:

3. Постройте график функции:

VII. Подведение итогов уроков