Вообще любое уравнение - это математическая модель чашечных весов (рычажных, равноплечих, коромысловых - названий много), изобретенных в древнем Вавилоне 7000 лет назад или еще раньше. Более того, я даже думаю, что именно чашечные весы, использовавшиеся на древнейших базарах, и стали прообразом уравнений. И если смотреть на любое уравнение не как на непонятный набор цифр и букв, связанный двумя параллельными палочками, а как на чаши весов, то и со всем остальным проблем не будет:
Любое уравнение подобно уравновешенным чашам весов
Так уж получилось, что уравнений в нашей жизни с каждым днем все больше, а понимания, что такое уравнение и в чем его смысл - все меньше. Во всяком случае у меня сложилось такое впечатление при попытке объяснить старшей дочери смысл простейшего математического уравнения типа:
х + 2 = 8 (500.1)
Т.е. в школе конечно же объясняют, что в таких случаях чтобы найти х , нужно из правой части вычесть 2:
х = 8 - 2 (500.3)
Это, конечно же, абсолютно правильное действие, но почему нужно именно вычесть, а не, например, прибавить или разделить, в школьных учебниках объяснения нет. Просто есть правило, которое нужно тупо выучить:
При переносе члена уравнения из одной части в другую его знак меняется на противоположный .
А как сие правило понимать школьнику 10 лет от роду и в чем его смысл, это вы уж сами думайте-решайте. Более того, выяснилось, что и мои близкие родственники тоже никогда не понимали смысла уравнений, а просто заучивали на память то, что требовалось (и вышеуказанное правило в частности), а уж потом применяли это, как бог на душу положит. Мне такое положение дел не понравилось, поэтому я и решил написать данную статью (растет младший, ему через несколько лет опять придется это объяснять, да и немногочисленным читателям моего сайта это тоже может пригодиться).
Сразу хочу сказать, что хоть я 10 лет учился в школе, но при этом никаких правил и определений, относящихся к техническим дисциплинам, никогда не учил. Т.е. если что-то понятно, то оно и так запомнится, а если что-то не понятно, то какой смысл его зубрить, не понимая смысла, если оно все равно забудется? А кроме того, если мне что-то не понятно, значит, оно мне и не надо (это я только недавно осознал, что если я чего-то не понимал в школе, то это была не моя вина, а вина преподавателей, учебников и вообще системы образования).
Такой подход обеспечивал мне массу свободного времени, которого в детстве так не хватает на всякие игры и развлечения. При этом я участвовал в различных олимпиадах по физике, химии, а одну районную по математике даже выиграл. Но время шло, количество дисциплин, оперирующих абстрактными понятиями, только увеличивалось и соответственно мои оценки снижались. На первом курсе института количество дисциплин, оперирующих абстрактными понятиями, составляло абсолютное большинство и я конечно же был полным троечником. Но потом, когда мне по ряду причин пришлось самому без помощи лекций и конспектов разбираться с сопроматом и я его как бы понял, дело пошло на лад и закончилось красным дипломом. Впрочем сейчас не об этом, а о том, что в связи с указанной спецификой мои понятия и определения могут значительно отличаться от преподаваемых в школе.
А теперь продолжим
Простейшие уравнения, аналогия с весами
Вообще-то детей приучают сравнивать различные предметы еще в дошкольном возрасте, когда они еще и говорить-то толком не умеют. Начинают как правило с геометрических сравнений. Например, показывают ребенку два кубика и ребенок должен определить, какой кубик больше, а какой меньше. А если они одинаковые, то это и есть равенство по размеру. Затем задача усложняется, ребенку показывают предметы различных форм, различных цветов и выбрать одинаковые предметы ребенку становится все сложнее. Однако мы не будем так сильно усложнять задачу, а остановимся лишь на одном виде равенства - денежно-весовом.
Когда чаши весов находятся на одном горизонтальном уровне (стрелки чашечных весов, показанные на рисунке 500.1 оранжевым и голубым цветом, совпадают, горизонтальный уровень показан черной жирной чертой), то это значит, что на правой чаше весов находится столько же груза, сколько на левой чаше. В простейшем случае это могут быть гири весом в 1 кг:
Рисунок 500.1.
И тогда мы получаем простейшее уравнение 1 = 1. Впрочем уравнение это только для меня, в математике подобные выражения называют равенством, но суть от этого не меняется. Если мы с левой чаши весов уберем гирю и положим на нее что угодно, хоть яблоки, хоть гвозди, хоть красную икру и при этом чаши весов будут на одном горизонтальном уровне, то это будет по-прежнему означать, что 1 кг любого из указанных продуктов равен 1 кг гирьки, оставшейся на правой части весов. Остается лишь заплатить за этот килограмм согласно установленной продавцом цене. Другое дело, что вам может не нравиться цена, или возникли сомнения в точности весов - но это уже вопросы экономико-правовых отношений, к математике прямого отношения не имеющие.
Конечно же, в те далекие времена, когда появились чашечные весы, все было значительно проще. Во-первых, не было такой меры веса, как килограмм, а были денежные единицы, соответствующие мерам весов, например, таланты, шекели, фунты, гривны и пр. (кстати, меня давно удивляло, что есть фунт - денежная единица и фунт - мера веса, есть гривна - денежная единица, а когда-то гривна была мерой веса, и только недавно, когда я узнал, что талант - это не только денежная единица древних иудеев, упоминаемая в Ветхом завете, но и мера веса, принятая в древнем Вавилоне, все встало на свои места).
Точнее сначала были меры весов, как правило зерна злаковых культур, а уже потом появились деньги, этим мерам весов соответствующие. Например 60 зерен соответствовали одному шекелю (сиклю), 60 шекелей - одной мине, а 60 мин - одному таланту. Поэтому изначально весы использовались для того, чтобы проверить, не являются ли предлагаемые деньги фальшивыми, а уже потом появились гирьки, как эквивалент денег, обвесы и обсчеты, электронные весы и пластиковые карты, но сути дела это никак не меняет.
В те далекие времена продавцу не нужно было долго и подробно объяснять, сколько будет стоить тот или иной товар. Достаточно было положить на одну чашу весов продаваемый товар, а на вторую покупатель клал деньги - очень просто и наглядно и даже знание местного наречия не требуется, можно торговать в любой точке мира. Но вернемся к уравнениям.
Если рассматривать уравнение (500.1) с позиции весов, то оно означает, что на левой чаше весов находится неизвестное количество килограммов и еще 2 килограмма, а на правой чаше - 8 килограммов:
х + 2кг , = 8кг , (500.1.2)
Примечание : В данном случае нижнее подчеркивание символизирует дно чаш весов, при расчетах на бумаге эта линия может больше напоминать дно чаши весов. Более того, математики уже давно придумали специальные символы - скобки, так вот любые скобки можно рассматривать как борта чаш весов, во всяком случае на первом этапе постижения смысла уравнений. Тем не менее нижнее подчеркивание я для большей наглядности оставлю.
Итак, что нам нужно сделать, что узнать неизвестное количество килограммов? Правильно! Снять с левой и с правой части весов по 2 килограмма, тогда чаши весов останутся на одном горизонтальном уровне, т.е.у нас будет по прежнему равенство:
х + 2кг , - 2кг = 8кг , - 2кг (500.2.2)
Соответственно
х , = 8кг - 2кг , (500.3.2)
х , = 6 кг , (500.4.2)
Рисунок 500.2.
Часто математика оперирует не килограммами, а некими абстрактными безразмерными единицами и тогда запись решения уравнения (500.1) например в черновике будет выглядеть так:
х + 2 , = 8 , (500.1)
х + 2 , - 2 = 8 , - 2 (500.2)
х , = 8 - 2 , (500.3)
х = 6 (500.4)
Что и отражено на рисунке 500.2.
Примечание : Формально для еще более лучшего понимания после уравнения (500.2) должно следовать еще одно уравнение вида: х + 2 - 2 , = 8 - 2 , означающее, что действие завершилось и мы опять имеем дело с равновесными чашами весом. Однако на мой взгляд в такой совсем уж полной записи решения необходимости нет.
В чистовиках обычно используется сокращенная запись решения уравнения, причем сокращаются не только столь необходимые на мой взгляд на начальном этапе изучения уравнений символы чаш весов, но даже и целые уравнения. Так сокращенная запись решения уравнения (500.1) в чистовике согласно приводимым в учебниках примерам будет выглядеть так:
х + 2 = 8 (500.1.1)
х = 8 - 2 (500.3.1)
х = 6 (500.4)
В итоге, при использовании аналогии с весами мы составили дополнительное уравнение (500.2) по сравнению с предлагаемым учебниками то ли методом решения, то ли формой записи этого решения. На мой взгляд это уравнение, к тому же записанное приблизительно в такой форме, т.е. с символичным обозначением чаш весов - это и есть то недостающее звено, важное для понимания смысла уравнений.
Т.е. при решении уравнений мы ничего и никуда с обратным знаком не переносим, а выполняем одинаковые математические действия с левой и с правой частью уравнения.
Просто сейчас принято записывать решение уравнений в сокращенной форме, приведенной выше. За уравнением (500.1.1) сразу следует уравнение (500.3.1), отсюда и следует правило обратных знаков, которое впрочем многим проще запомнить, чем вникать в смысл уравнений.
Примечание : Против сокращенной формы записи я ничего не имею, более того. продвинутые пользователи могут эту форму еще более сокращать, однако делать это следует лишь после того, когда общий смысл уравнений уже четко усвоен.
А еще расширенная запись позволяет понять главные правила решения уравнений:
1. Если мы производим одинаковые математические действия с левой и правой частью уравнений, то равенство сохраняется .
2. Не важно, какая часть в рассматриваемом уравнении левая, а какая правая, мы можем свободно менять их местами .
Эти математические действия могут быть любыми. Мы можем вычитать одно и то же число из левой и из правой части, как показано выше. Мы можем прибавлять одно и то же число к левой и правой части уравнения, например:
х - 2 , = 8 , (500.5.1)
х - 2 , + 2 = 8 , + 2 (500.5.2)
х , = 8 + 2 , (500.5.3)
х = 10 (500.5.4)
Мы можем делить или умножать обе части на одно и то же число, например:
3х , = 12 , (500.6.1)
3х , : 3 = 12 , : 3 (500.6.2)
х , = 12 : 3 , (500.6.3)
х = 4 (500.6.4)
3х - 6 , = 12 , (500.7.1)
3х - 6 , + 6 = 12 , + 6 (500.7.2)
3х , = 18 , (500.7.3)
3х , : 3 = 18 , : 3 (500.7.4)
х = 6 (500.7.5)
Мы можем интегрировать или дифференцировать обе части. Мы можем делать все, что угодно с левой и правой частью, но если эти действия будут одинаковыми для левой и правой части, то равенство сохранится (чаши весов останутся на одном горизонтальном уровне).
Конечно же действия нужно выбирать такие, которые позволят максимально быстро и просто определить неизвестную величину.
С этой точки зрения классический метод обратного действия как бы более прост, но как быть, если ребенок еще не изучал отрицательные числа? А между тем составленное уравнение имеет следующий вид:
5 - х = 3 (500.8)
Т.е. при решении этого уравнения классическим методом один из возможных вариантов решения, дающий самую короткую запись, следующий:
- х = 3 - 5 (500.8.2)
- х = - 2 (500.8.3)
х = 2 (500.8.4)
И самое главное - как тут объяснить ребенку почему уравнение (500.8.3) тождественно уравнению (500.8.4)?
Это значит, что в данном случае даже при использовании классического метода экономить на записи нет никакого смысла и сначала нужно избавиться от неизвестной величины в левой части, имеющей отрицательный знак.
5 - х = 3 (500.8)
5 = 3 + х (500.8.5)
3 + х = 5 (500.8.6)
х = 5 - 3 (500.8.7)
х = 2 (500.8.4)
При этом полная запись будет выглядеть так:
5 - х , = 3 , (500.8)
5 - х , + х = 3 , + х (500.9.2)
5 , = 3 + х , (500.9.3)
3 + х , = 5 , (500.8.6)
3 + х , - 3 = 5 , - 3 (500.9.3)
х , = 5 - 3 , (500.8.7)
х = 2 (500.8.4)
Добавлю еще раз. Полная запись решения нужна не для учителей, а для лучшего понимания метода решения уравнений. А когда мы меняем местами левую и правую части уравнения, то это все равно что мы меняем взгляд на весы с точки зрения покупателя на точку зрения продавца, тем не менее равенство при этом сохраняется.
К сожалению, я так и не смог добиться от своей дочери полной записи решения даже в черновиках. У нее железный довод: "нас так не учили". А между тем сложность составляемых уравнений увеличивается, процент угадываний, какое действие нужно выполнить для определения неизвестной величины, уменьшается, оценки падают. Что с этим делать, не знаю...
Примечание : в современной математике принято различать равенства и уравнения, т.е. 1 = 1 - это просто численное равенство, а если в одной из частей равенства есть неизвестная, которую необходимо найти, то это уже уравнение. Как по мне, то такое дифференцирование значений не имеет большого смысла, а лишь усложняет восприятие материала. Я считаю, что любое равенство можно называть уравнением, а любое уравнение основано на равенстве. А кроме того, возникает вопрос х = 6, это уже равенство или это еще уравнение?
Простейшие уравнения, аналогия со временем
Конечно же, аналогия с весами при решении уравнений является далеко не единственной. Например, решение уравнений можно рассматривать и во временном аспекте. Тогда условие, описываемое уравнением (500.1), будет звучать так:
После того, как мы добавили к неизвестному количеству х еще 2 единицы, у нас стало 8 единиц (настоящее время). Однако нас по тем или иным причинам не интересует, сколько их стало, а интересует сколько их было в прошедшем времени. Соответственно, чтобы узнать, сколько у нас было этих самых единиц, нам нужно произвести обратное действие, т.е. от 8 отнять 2 (уравнение 500.3). Такой подход точно соответствует излагаемому в учебниках, но на мой взгляд, является не таким наглядным, как аналогия с весами. Впрочем мнения по этому поводу могут быть разные.
Пример решения уравнения со скобками
Эту статью я написал летом, когда дочь окончила 4 класс, но не прошло и полгода, как им в школе начали задавать решение уравнений следующего вида:
(97 + 75: (50 - 5х)) · 3 = 300 (500.10)
Никто в классе решить это уравнение не смог, а между тем в его решении при применении предложенного мной способа нет ничего сложного, вот только полная форма записи будет занимать слишком много места:
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5х) , = 300: 3 , (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5х) , = 100 , (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50 - 5х) , = 100 - 97 , (500.10.6)
75: (50 - 5х) , = 3 , (500.10.7)
(500.10.8)
75 , = 3 · (50 - 5х) , (500.10.9)
(500.10.10)
75: 3 , = 50 - 5х , (500.10.11)
25 , = 50 - 5х , (500.10.12)
25 , + 5х = 50 - 5х , + 5х (500.10.13)
25 + 5х , = 50 , (500.10.14)
25 + 5х , - 25 = 50 , - 25 (500.10.15)
5х , = 50 - 25 , (500.10.16)
5х , = 25 , (500.10.17)
5х , : 5 = 25 , : 5 (500.10.18)
х , = 25: 5 , (500.10.19)
х = 5 (500.10.20)
Однако на данном этапе в такой полной форме записи нет никакой необходимости. Раз уж мы добрались до двойных скобок, то не обязательно для математических операций в левой и правой части составлять отдельное уравнение, поэтому запись решения в черновике вполне может выглядеть так:
97 + 75: (50 - 5х) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5х) , = 100 , (500.10.4)
97 + 75: (50 - 5х) , - 97 = 100 - 97 , (500.10.5)
75: (50 - 5х) , = 3 , (500.10.7)
75: (50 - 5х) , · (50 - 5х) = 3 , · (50 - 5х) (500.10.8)
75 , = 3 · (50 - 5х) , (500.10.9)
75 , : 3 = 3 · (50 - 5х) , : 3 (500.10.10)
25 , = 50 - 5х , (500.10.12)
25 , + 5х = 50 - 5х , + 5х (500.10.13)
25 + 5х , = 50 , (500.10.14)
25 + 5х , - 25 = 50 , - 25 (500.10.15)
5х , = 25 , (500.10.17)
5х , : 5 = 25 , : 5 (500.10.18)
х = 5 (500.10.20)
Итого на данном этапе потребовалось записать 14 уравнений для решения исходного.
При этом запись решения уравнения в чистовике может выглядеть так:
97 + 75: (50 - 5х) = 300: 3 (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5х) = 100 (500.10.4)
75: (50 - 5х) = 100 - 97 (500.10.6)
75: (50 - 5х) = 3 (500.10.7)
75 = 3 · (50 - 5х) (500.10.9)
75: 3 = 50 - 5х (500.10.11)
25 = 50 - 5х (500.10.12)
25 + 5х = 50 (500.10.14)
5х = 50 - 25 (500.10.16)
5х = 25 500.10.17)
х = 25: 5 (500.10.19)
х = 5 (500.10.20)
Т.е. при сокращенной форме записи нам все равно придется составить 12 уравнений. Экономия в записи при этом минимальная, а вот с пониманием требуемых действий у пятиклассника действительно могут возникнуть проблемы.
P.S. Только когда дело дошло до двойных скобок, дочь заинтересовалась предложенным мной методом решения уравнений, но при этом в ее форме записи даже в черновике все равно уравнений в 2 раза меньше, потому что она пропускает итоговые уравнения типа (500.10.4), (500.10.7) и им подобные, а при записи сразу оставляет место для следующего математического действия. В итоге запись в ее черновике выглядела примерно так:
(97 + 75: (50 - 5х)) · 3 , : 3 = 300 , : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5х) , - 97 = 100 , - 97 (500.10.5)
75: (50 - 5х) , · (50 - 5х) = 3 , · (50 - 5х) (500.10.8)
75 , : 3 = 3 · (50 - 5х) , : 3 (500.10.10)
25 , + 5х = 50 - 5х , + 5х (500.10.13)
25 + 5х , - 25 = 50 , - 25 (500.10.15)
5х , : 5 = 25 , : 5 (500.10.18)
х = 5 (500.10.20)
В итоге получилось всего 8 уравнений, что даже меньше, чем требуется при сокращенной записи решения. В принципе я не возражаю, вот только была бы от этого польза.
Вот собственно и все, что мне хотелось сказать по поводу решения простейших уравнений, содержащих одну неизвестную величину. Для решения уравнений, содержащих две неизвестных величины, потребуется
Уравнение времени (Equation of Time) - это астрономическое значение, учитывающее разницу между средним солнечным временем и истинным солнечным временем, измеренным на том же меридиане. Эта разница возникает из-за ряда причин:
1. Из-за того, что Земля движется вокруг Солнца не по круговой, а по эллиптической орбите.
2. Из-за наклонения плоскости эклиптики к плоскости экватора.
Истинные сутки - время, за которое Солнце делает полный круг по небосводу, в течении года будет колебаться в пределах примерно около 16 минут. Фактическая эллиптическая орбита Земли пересекается с идеальной окружностью только в четырех точках, что попадает на четыре момента времени за год, а именно: 16 апреля, 14 июня, 1 сентября и 25 декабря. В эти дни уравнение времени приблизительно равно 0. Соответственно и в каждое время года будет существовать свой максимум уравнения времени: около 12 февраля - «+14,3’», 15 мая - «–3,8’», 27 июля - «+6,4’», 4 ноября - «–16,4’»
В мореходной астрономии значение уравнения времени определяется вычитанием среднего времени из истинного времени, поэтому оно будет принимать положительное значение, если среднее время больше истинного и отрицательное - если меньше. Так как значение времени определяется в западном направлении, и Гринвичский и звездный часовые углы так же выражаются в западном направлении, уравнение времени может быть представлено как разность часовых углов среднего и истинного времени. Известно так же, что среднее Солнце равномерно перемещается вдоль небесного экватора, в то время как истинное Солнце движется неравномерно вдоль эклиптики, однако оба Солнца совершают полный оборот за один и тот же период - один год. Угол между их меридианами в любой момент времени не принимает очень большой величины. На самом деле величина уравнения времени не превышает 16 минут и 22 секунды, соответствующая величине угла 4°05,5’ между меридианами истинного и среднего Солнца.
Рисунок 20 - Кульминация Солнца и уравнение времени
Величины уравнения времени приведены в ежедневных таблицах астрономического ежегодника на 00 и 12 часов Гринвичского времени на каждый день (Рисунок 20). Величина для любого промежуточного времени может быть получена путем интерполяции. Знак величины уравнения времени можно определить из выражения времени кульминации Солнца; если ее значение превышает 12 часов, например, 12 часов 03 минуты, – это означает, что среднее время 12.03, а истинное Солнце находится на меридиане, т.е. истинное время равно12.00. Очевидно, что уравнение времени в данном случае положительно. И наоборот, если табличное значение кульминации Солнца меньше 12 часов, уравнение времени будет со знаком «–». Для упрощения определения величины знака уравнения времени в астрономическом ежегоднике, его положительные значения размещаются на сером фоне (Рисунок 20), а его отрицательные значения будут соответственно размещены без фона.
Вопросы для обсуждения
9. Объясните, что подразумевается под понятием эфемерид?
10. Поясните, что такое склонение и часовой угол, и какое практическое значение они имеют в мореходной астрономии?
11. Назовите отличия GMT от UTC?
12. Объясните, каким образом момент земного времени можно выразить дугой окружности?
13. Определите зависимость Местного среднего времени от Гринвичского?
14. Поясните понятия гражданские, навигационные и астрономические сумерки, в чем их различие?
15. Объясните, что такое кульминация светила?
16. Поясните, как изменяется азимут светила в момент кульминации.
17. В каком виде записывается время кульминации в астрономическом ежегоднике?
18. Поясните, метод определения широты по высоте светила в момент его кульминации.
19. Объясните, как рассчитывается судовое время по времени кульминации.
20. Объясните, почему Полярная звезда с издавна используется как путеводная?
21. Поясните, как изменяется азимут светила в момент кульминации.
22. Чему равно склонение Полярной звезды?
23. Поясните, метод определения широты по высоте Полярной звезды.
Математическая сторона основной задачи строительной механики основана на зависимостях, полученных в сопромате. Напомним их на примере напряженно-деформированного состояния элемента рамы, для которого – в отличие от балки – поперечный изгиб сопровождается дополнительным растяжением или сжатием.
Пусть такой элемент длиной dx расположен в локальной системе координат Oxy , где ось Ox направлена по оси стержня, и загружен распределенной нагрузкой интенсивностью q x и q y вдоль Ox и Oy соответственно (рис. 1.20).
Напряженно-деформированное состояние стержня определяется девятью компонентами:
– внутренними усилиями (M , Q , N ,);
– перемещениями (u , v , q);
– деформациями (κ, g, e).
Уравнения для определения этих функций можно разделить на три группы.
Статические уравнения – связывают внутренние усилия (рис. 1.20, б ) с заданной нагрузкой:
dN /dx = – q x ; ü
dQ /dx = q y ; ý (1.10)
dM /dx = Q . þ
Геометрические уравнения – выражают деформации через перемещения, показанные на рис. 1.20, в , г :
κ = d q/dx ; ü
g = q - dv /dx ; ý (1.11)
e = du /dx . þ
Физические уравнения – представляют собой зависимости между внутренними усилиями и деформациями:
κ = M /EJ ; ü
g = mQ /GF ; ý (1.12)
e = N /EF ; þ
где E – модуль Юнга;
G – модуль сдвига;
F – площадь поперечного сечения стержня;
J – момент его инерции;
m – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня.
| Q > 0 |
| γ>0 |
| Q +dQ |
| M > 0 |
| N +dN |
| q x > 0 |
| q y > 0 |
| u >0 |
| θ>0 |
| N > 0 |
| M +dM |
| θ+d θ > 0 |
Отметим, что выражения EJ и EF в (1.12) называются жесткостями стержня при изгибе и растяжении (сжатии) соответственно.
При решении системы уравнений (1.10) – (1.12) возможны два варианта:
1) внутренние усилия M , Q , N удается найти из системы уравнений (1.10), не обращаясь к остальным уравнениям – это СОС;
2) внутренние усилия можно найти только путем совместного решения всех девяти уравнений – это СНС.
В последнем случае при решении этих уравнений возможны два подхода:
– в качестве основных неизвестных выбирают усилия M , Q , N , выражая все остальные через них – это решение в форме метода сил ;
– в качестве основных неизвестных выбирают перемещения u , v , q – это решение в форме метода перемещений .
Системы, описываемые линейными уравнениями (1.10) - (1.12), называются линейно-деформируемыми. Для них справедлив принцип суперпозиции , в соответствии с которым:
внутренние усилия, перемещения и деформации от заданной нагрузки (или иного воздействия) можно найти как сумму соответствующих величин от каждой нагрузки в отдельности.
Примечания
1. Первое из статических уравнений (1.10) получается из условия равновесия рассматриваемого элемента рамы. Полагая в его пределах q x = const, и составляя уравнение SX = 0, получим:
– N + q x ×dx + (N +dN ) = 0,
откуда и следует искомая зависимость. Два других уравнения из (1.10) – это дифференциальные зависимости Журавского .
2. Первое из физических уравнений (1.12) представляет собой дифференциальное уравнение изогнутой оси балки :
κ = d q/dx = d 2 v /dx 2 = M /EJ .
Второе уравнение в предпосылке равномерного распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня (m =1) выражает закон Гука при сдвиге :
t = Q /F = G g.
При этом мы не уточняем смысл коэффициента m по причине, которая будет указана в § 3.5. Последнее из физических уравнений (1.12) – это закон Гука при ЦРС :
s = N /F = E ×e.
3. В дальнейшем мы будет по-прежнему применять обозначение Oxy для глобальной системы координат, связанной с конструкцией в целом.
График уравнения времени (синяя линия) и двух его составляющих при определении этого уравнения как УВ = ССВ - ИСВ.
Уравнение времени - разница между средним солнечным временем (ССВ) и истинным солнечным временем (ИСВ), то есть УВ = ССВ - ИСВ . Эта разница в каждый конкретный момент времени одинакова для наблюдателя в любой точке Земли. Уравнение времени можно узнать из специализированных астрономических изданий, астрономических программ или вычислить по формуле, приведенной ниже.
В таких изданиях, как «Астрономический календарь», уравнение времени определяется как разность часовых углов среднего экваториального солнца и истинного солнца, то есть, при таком определении УВ = ССВ - ИСВ .
В англоязычных изданиях часто применяется иное определение уравнения времени (т. н. «инвертированное»): УВ = ИСВ - ССВ, то есть разница между истинным солнечным временем (ИСВ) и средним солнечным временем (ССВ).
Некоторые пояснения к определению
Можно встретить определение уравнения времени как разницы «местного истинного солнечного времени» и «местного среднего солнечного времени» (в англоязычной литературе - local apparent solar time и local mean solar time ). Данное определение формально более точно, но не влияет на результат, так как для любой конкретной точки на Земле эта разница одинакова.
Кроме того, не следует путать ни «местное истинное солнечное время», ни «местное среднее солнечное время» с официальным местным временем (standard time ).
Объяснение неравномерности движения истинного Солнца
В отличие от звёзд, чьё видимое суточное движение практически равномерно и обусловлено только вращением Земли вокруг своей оси, суточное движение Солнца не равномерно, так как обусловлено и вращением Земли вокруг своей оси, и обращением Земли вокруг Солнца, и наклоном земной оси к плоскости орбиты Земли.
Неравномерность, обусловленная эллиптичностью орбиты
Вращение Земли вокруг Солнца происходит по эллиптической орбите. Согласно второму закону Кеплера , такое движение неравномерно, оно быстрее в области перигелия и медленнее в области афелия . Для наблюдателя, находящегося на Земле, это выражается в том, что видимое движение Солнца по эклиптике относительно неподвижных звёзд то ускоряется, то замедляется.
Неравномерность, обусловленная наклоном земной оси
Уравнение времени обращается в ноль четыре раза в году: 14 апреля , 14 июня , 2 сентября и 24 декабря .
Соответственно, в каждое время года существует свой максимум уравнения времени: около 12 февраля - +14,3 мин, 15 мая - −3,8 мин, 27 июля - +6,4 мин и 4 ноября - −16,4 мин. Точные величины уравнения времени даются в астрономических ежегодниках.
Может применяться как дополнительная функция в некоторых моделях часов .
Расчёт
Уравнение можно аппроксимировать отрезком ряда Фурье как сумму двух синусоидальных кривых с периодами, соответственно, в один год и в шесть месяцев:
E = 7.53 cos (B) + 1.5 sin (B) − 9.87 sin (2 B) {\displaystyle E=7.53\cos(B)+1.5\sin(B)-9.87\sin(2B)} B = 360 ∘ (N − 81) / 365 {\displaystyle B=360^{\circ }(N-81)/365} если углы выражаются в градусах. B = 2 π (N − 81) / 365 {\displaystyle B=2\pi (N-81)/365} если углы выражаются в радианах. Там, где N {\displaystyle N} - номер дня в году, например: N = 1 {\displaystyle N=1} на 1 января N = 2 {\displaystyle N=2} на 2 январяПрограмма расчета на Ruby для текущей даты
#!/usr/bin/ruby =begin Equation of Time calculation *** No guarantees are implied. Use at your own risk *** Written by E. Sevastyanov, 2017-05-14 Based on "Equation of time" WikiPedia article as of 2016-11-28 (which describes angles in a bewildering mixture of degrees and radians) and Del Smith, 2016-11-29 It appears to give a good result, but I make no claims for accuracy. =end pi = (Math :: PI ) # pi delta = (Time . now . getutc . yday - 1 ) # (Текущий день года - 1) yy = Time . now . getutc . year np = case yy #The number np is the number of days from 1 January to the date of the Earth"s perihelion. (http://www.astropixels.com/ephemeris/perap2001.html) when 2017 ; 3 when 2018 ; 2 when 2019 ; 2 when 2020 ; 4 when 2021 ; 1 when 2022 ; 3 when 2023 ; 3 when 2024 ; 2 when 2025 ; 3 when 2026 ; 2 when 2027 ; 2 when 2028 ; 4 when 2029 ; 1 when 2030 ; 2 else ; 2 end a = Time . now . getutc . to_a ; delta = delta + a [ 2 ]. to_f / 24 + a [ 1 ]. to_f / 60 / 24 # Поправка на дробную часть дня lambda = 23 . 4406 * pi / 180 ; # Earth"s inclination in radians omega = 2 * pi / 365 . 2564 # angular velocity of annual revolution (radians/day) alpha = omega * ((delta + 10 ) % 365 ) # angle in (mean) circular orbit, solar year starts 21. Dec beta = alpha + 0 . 033405601 88317 * Math . sin (omega * ((delta - np ) % 365 )) # angle in elliptical orbit, from perigee (radians) gamma = (alpha - Math . atan (Math . tan (beta ) / Math . cos (lambda ))) / pi # angular correction eot = (43200 * (gamma - gamma . round )) # equation of time in seconds puts "EOT =" + (- 1 * eot ) . to_s + " секунд"
Уравнением времени называется разность между среднем временем и истинным солнечным временем в один и тот же момент времени.
ȵ = T m - = t m - = - α m
Следовательно: T m = + ȵ. Но = + 12 r ; - измеряется.
= + 12 r + ȵ.
Рис 15. График уравнения времени: 1 – уравнение времени, 2 – уравнение центра, 3 - уравнение от наклона эклиптики
Кривая уравнения времени является суммой двух синусоид.
Синусоида с годичным периодом дает разность между истинным и средним временем, обусловленную неравномерным движением Солнца по эклиптике. Эта часть уравнения времени – уравнение центра или уравнение от эксцентриситета.
Уравнение от наклона эклиптики – синусоида с полугодичным периодом.
Уравнение времени публикуется в астрономических календарях и ежегодниках.
Примечание: Тропический год содержит 365,2422 средних солнечных суток, 365,2422 звездных суток.
За одни звездные сутки точка 𝛶 весеннего равноденствия возвращается на небесный меридиан. Среднее экваториальное Солнце не дойдет до него, так как оно сместится по небесному экватору на 1 0 , что приведет к запаздыванию около 4 минут, точнее 3 мин. 56 сек. Настолько средние солнечные сутки продолжительнее звездных.
Системы счета времени
Среднее гринвичское (всемирное) время – среднее время на географическом меридиане Гринвича – Т 0 .
Его также называют мировым или универсальным, обозначают u Т.
На географической широте λ
Т λ = Т 0 + λ. Т λ = Т m
λ>0 к востоку от Гринвича.
Время Т λ измеренное на данном географическом меридиане –местное время. Это время неудобно!!!
1884 г. принята поясная система счета времени. Счетчик времени ведется только на 24 основных географических меридианах, расположенных приблизительно посередине каждого часового пояса.
Границы часовых поясов точно следуют по географическим меридианам только в открытых морях и океанах. Номера поясов от 0 до 23. За основной меридиан нулевого пояса принят меридиан Гринвича.
Поясное время – Т n – местное среднее солнечное время основного меридиана данного пояса. T m – T n = λ – n h . λ – восточная долгота от Гринвича; n h – число целых часов, равное номеру пояса. T n = Т 0 + n h ; Т 0 – всемирное время.
Декретное время – вводится специальными постановлениями в целях экономии электроэнергии.
Ньютоновское или эфемеридное время – равномерное время, которое является аргументом при вычислении эфемерид планет и определяется по движению Луны и планеты.
Средние солнечные сутки оказываются непостоянной величиной вследствие неравномерного вращения Земли, вследствие тормозящих действий лунных приливов и отливов, (вековые изменения), сезонных перераспределений воздушных и воздушных и водных масс на поверхности Земли.
В астрономических ежегодниках эфемериды Солнца, Луны, планет и спутников даются в системе эфемеридного времени. Для вычисления положения этих небесных тел в системе всемирного (неравномерного) времени вводится поправкаТ, которая определяется для прошедших моментов времени.
В 1900 г.Т = 0. За 75 лет скорость вращения Земли в среднем уменьшалась и
