Задать функцию означает указать пpавило, котоpое позволяет находить по каждому значению аpгумента соответствующее ему значение функции. Существуют тpи основных способа задания функций: аналитический, табличный и графический.
Аналитический способ задания функции
состоит в том, что соответствие между и задается посpедством фоpмул, напpимеp,
Табличный способ задания функции
Функцию можно задать с помощью таблиц, в котоpых указаны некотоpые значения пеpеменной и соответствующие им значения пеpеменной . Эти таблицы могут быть получены как непосpедственно из опыта, так и с помощью тех или иных математических pасчетов.
Графический способ задания функции
В пpактике физических измеpений используется еще один способ задания функций — гpафический, пpи котоpом соответствие между независимой и зависимой пеpеменными задается посpедством гpафика, снимаемого, как пpавило, специальными пpибоpами.
Неявное задание функции
Рассмотрение еще одного способа задания функции — так называемого неявного задания функции, связано с понятием уравнения с двумя переменными.
Рассмотрим уравнение
Пусть существует такое множество , что для любого существует по крайней мере одно число , удовлетворяющее уравнению .
Обозначим одно из этих чисел через и поставим его в соответствие числу . В результате получим функцию , определенную на множестве и такую, что
В таком случае говорят, что функция задается уравнением неявно. Это уравнение задает, вообще говоря, не одну, а некоторое множество функций.
Итак, функция называется неявной, если она задана посредством уравнения с двумя переменными, неразрешенного относительно . В отличие от нее явной называется функция, заданная уравнением с двумя переменными, разрешенным относительно .
Термин «неявная функция» отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания. Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно. Например, функции
Аналитическое задание функции
Функция %%y = f(x), x \in X%% задана явным аналитическим способом , если дана формула, указывающая последовательность математических действий, которые надо выполнить с аргументом %%x%%, чтобы получить значение %%f(x)%% этой функции.
Пример
- %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb{R}%%;
- %% y = \frac{1}{x - 5}, x \neq 5%%;
- %% y = \sqrt{x}, x \geq 0%%.
Так, например, в физике при равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой %%v = v_0 + a t%%, а формула для перемещения %%s%% тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от %%0%% до %%t%% записывается в виде: %% s = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2} %%.
Кусочно-заданные функции
Иногда рассматриваемая функция может быть задана несколькими формулами, действующими на различных участках области ее определения, в которой изменяется аргумент функции. Например: $$ y = \begin{cases} x ^ 2,~ если~x < 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$
Функции такого вида иногда называют составными или кусочно-заданными . Примером такой функции является %%y = |x|%%
Область определения функции
Если функция задана явным аналитическим способом с помощью формулы, но область определения функции в виде множества %%D%% не указана, то под %%D%% будем всегда подразумевать множество значений аргумента %%x%%, при которых данная формула имеет смысл. Так для функции %%y = x^2%% областью определения служит множество %%D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)%%, поскольку аргумент %%x%% может принимать любые значения на числовой прямой . А для функции %%y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}%% областью определения будет множество значений %%x%% удовлетворяющих неравенству %%1 - x^2 > 0%%, т.е. %%D = (-1, 1)%%.
Преимущества явного аналитического задания функции
Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.
Некоторые из этих действий - алгебраические (сложение, умножение и др.) - хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.
Неявное задание функции
Функция %%y = f(x)%% задана неявным аналитическим способом , если дано соотношение $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%.
При заданном значении %%x%% уравнение %%(1)%% может не иметь решения или иметь более одного решения. В первом случае заданное значение %%x%% не принадлежит области определения неявно заданной функции, а во втором случае задает многозначную функцию , имеющую при данном значении аргумента более одного значения.
Отметим, что если уравнение %%(1)%% удается явно разрешить относительно %%y = f(x)%%, то получаем ту же функцию, но уже заданную явным аналитическим способом. Так, уравнение %%x + y^5 - 1 = 0%%
и равенство %%y = \sqrt{1 - x}%% определяют одну и ту же функцию.
Параметрическое задание функции
Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде
$$ \begin{cases} x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end{cases} ~~~t \in T \subseteq \mathbb{R}, ~~~~~~~~~~(2) $$то говорят о параметрическом способе задания функции;
тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.
Если из уравнений %%(2)%% удается исключить параметр %%t%%, то приходят к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью %%y%% от %%x%%. Например, из соотношений $$ \begin{cases} x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end{cases}, ~~~t \in \mathbb{R}, $$ исключением параметра %%t%% получим зависимость %%y = 2 x + 2%%, которая задает в плоскости %%xOy%% прямую.
Графический способ
Пример графического задания функции
Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение , которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.
Табличный способ
Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.
Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.
Пример
| x | 3 | 5.1 | 10 | 12.5 |
| y | 9 | 23 | 80 | 110 |
Алгоритмический и словесный способы задания функций
Функцию можно задать алгоритмическим (или программным ) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.
Наконец, можно отметить описательный (или словесный ) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.
Например, функцию %%[x] = m~\forall {x \in обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r - целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке = r.
Пример 2: функция y = {x} - дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] - целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x - произвольное число, то представив его в виде x = r + q (r = [x]), где r - целое число и q лежит в интервале ; 2) (- ;-2] ; 4) [-2;0]
5. Найдите все значения х, при которых функция принимает отрицательные значения (рис. д):
1) (-2;0); 2) [-6;6]; 3) (- ;0); 4) (- ;0) (0;+ )
е) ж)
6. Найдите все значения х, при которых функция принимает неотрицательные значения (рис. е):
1) (рис. и).
1)-1
2) 3
3) 5
4) 6
з) и)
9. При каких значениях аргумента y<0 (рис. к)?
1) [-4;0); 2) (-3;0); 3) (-3;1); 4) (0;1)
к) л)
10. При каких значениях х значение функции положительно (рис. л)?
Определение: Если каждому элементух множестваХ по какому-либо законуf (или по определенному правилуf ) ставится в соответствие единственный элементу из множестваУ , то говорят, что заданафункциональная зависимость у отх по законуy = f (x ) илифункция y = f (x ).
При этом х называетсянезависимой переменной (илиаргументом ),у – зависимой переменной (илизначением функции ). МножествоХ называетсяобластью определения (илиобластью существования ) функции и обозначаетсяD (f ) , множествоУ называетсяобластью значений функции и обозначаетсяЕ(f ).
Если множество Х не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменнойх , при котом формула имеет смысл. Например, для.
Задать функцию – значит, указать законf или правило, позволяющее, знаях .находить соответствующее значениеу .
Способы задания функции :
1. Аналитический – если функция задана с помощью формулы. Наиболее удобный способ для математического анализа, позволяющий исследовать функцию.
2. Табличный – если задана таблица значений функции, соответствующих определенным значением аргумента. Этот способ имеет широкое применение в экономике: экспериментальные измерения, таблицах бухгалтерской отчетности, банковской деятельности, статистических данных и т.п.
3. Графический – если задан график. Этот способ обычно используется с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т.п.). В экономике используются графики, характеризующие динамику экономических параметров: объема ВВП, выручки, курсы валют, курса акций и т.п.
4. Словесный – если функция описывается правилом, составления, например, функция Дирихле:f (x )=1 , если x – рационально и f (x )=0 , если x - иррационально.
Основные свойства функций
1. Четность и нечетность
Функция y = f (x ) называетсячетной , если х D(f) выполняются условия:--х D(f) иf(-х) =f(х); нечетной, если х D(f) выполняются условия: х D(f) иf(-х) = f(х).
При этом D(f) называетсясимметричной относительно О(0;0). График четной функции симметричен относительно Оу, а график нечетной – относительно О(0;0).
2. Монотонность
Функция называется возрастающей
на промежуткеI
D(f)
,
есливыполняется условие:
инеубывающей
, если
.
Функция называетсяубывающей
на промежуткеI
D(f)
,
есливыполняется условие:
иневозрастающей
, если
.
Например,f убывает прих (a;b) , не убывает прих (b;с) и возрастает прих (с; d )
Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции на промежутке I D(f) называютсямонотонными на этом промежутке, а возрастающие и убывающие –строго монотонными .
3. Ограниченность
Функция называется ограниченной
на множествеD(f)
, если существует
такое число М>0, что
х
D(f)
выполняется неравенство
.
Или коротко:
Графики таких функций ограничены прямыми
.
Например,у=
sin
x
ограничена прямыми
.
4. Периодичность
Функция называется периодической на множествеD(f) , если существует такое числоT>0, что х D(f) значение(х+Т) D(f) иf (x + T )= f (x ) .
Число Т называется периодом функции. Если Т – период, тоnTтакже является периодом, гдеn=±1;±2;…
Например, функция у= sin x является периодической, т.к. x D(f) sin (x +2 π )= sin x . Аналогично можно доказать, что ±2π; ±4π; ±6π;… также являются периодами. Период 2π являетсянаименьшим положительным и называетсяосновным .
Применение функций в экономике
Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Наиболее часто используются следующие функции:
1.Функция полезности (функция предпочтений) – зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.
2.Производственная функция зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3.Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объёма производства от наличия или потребления ресурсов.
4.Функция издержек (частный вид производственной функции) –зависимость издержек производства от объёма продукции.
5.Функция спроса, потребления и предложения – зависимость объёма спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).
Например,
исследуя зависимости спроса на различные
товары от дохода можно установить уровни
доходов
,
при которых начинается приобретение
тех или иных товаров и уровни (точки)
насыщения
для групп товаров первой и второй
необходимости. (см. рис.1)
Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель) (см. рис.2)
Изучая в теории
потребительского спроса кривые
безразличия
(линии, вдоль которых полезность двух
благ х
и
у
одна и та же), например, задаваемые в
виде xy
=
U
,
и линию
бюджетного ограничения
при ценах благ
и доходе потребителяI,
мы можем установить оптимальные
количества благ
,
имеющих максимальную полезность
(см. рис.3).
Предметы роскоши Товары 2-ой
необходимости Товары 1-ой
необходимости
рис.3 рис.4
Рассматривая
функции
издержек (полных затрат) с(q
)
и дохода
фирмы r
(q
)
,
мы можем установить зависимость прибыли
π(q
)=
c
(q
)-
r
(q
)
от объёма производства q
(см. рис.4) и выявить уровни объёма
производства, при которых производство
продукции убыточно (0<
q
<
q
)
и приносит прибыль
,
дает максимальный убыток (q
=
q
)
и максимальную
прибыль (q
=
q
)
,
и найти размеры этих убытков или прибыли.
>>Математика: Способы задания функции
Способы задания функции
Приводя в предыдущем параграфе различные примеры функций, мы несколько обеднили само понятие функции .
Ведь задать функцию - это значит указать правило, которое позволяет по произвольно выбранному значению х из Б(0 вычислить соответствующее значение у. Чаще всего это правило связано с формулой или с несколькими формулами - такой способ задания функции обычно называют аналитическим. Все функции, рассмотренные в § 7, были заданы аналитически. Между тем есть другие способы задания функции, о них и пойдет речь в настоящем параграфе.
Если функция была задана аналитически и нам удалось построить график функции, то мы фактически перешли от аналитического способа задания функции к графическому. Обратный же переход удается осуществить далеко не всегда. Как правило, это довольно трудная, но интересная задача.
Не всякая линия на координатной плоскости может рассматриваться как график некоторой функции. Например, окружность , заданная уравнением х 2 + у 2 - 9 (рис. 51), не является графиком функции, поскольку любая прямая х = а, где | а | <3, пересекает эту линию в д в у х точках (а для задания функции таких точек должно быть не более одной, т.е. прямая х = а должна пересекать линию F только в одной точке либо вообще не должна ее пересекать).
В то же время если эту окружность разрезать на две части - верхнюю полуокружность (рис. 52) и нижнюю полуокружность (рис. 53), - то каждую из полуокружностей можно считать графиком некоторой функции, причем в обоих случаях несложно от графического способа задания функции перейти к аналитическому.
Из уравнения х 2 + у 2 = 9 находим у 2 = 9 - х 2 и далее 
Графиком функции является верхняя полуокружность окружности х 2 + у 2 =9 (рис. 52), а графиком функции является нижняя полуокружность окружности х 2 + у 2 = 9 (рис. 53).
Этот пример позволяет обратить внимание на одно существенное обстоятельство. Посмотрите на график функции (рис. 52). Сразу ясно, что D(f) = [-3, 3]. А если бы речь шла об отыскании области определения аналитически заданной функции Тогда пришлось бы, как мы это делали в § 7, тратить время и силы на решение неравенства Потому-то обычно и стараются работать одновременно и с аналитическим, и с графическим способами задания функций. Впрочем, за два года изучения курса алгебры в школе вы к этому уже привыкли.
Кроме аналитического и графического, на практике применяют табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, в которой указаны значения функции (иногда точные, иногда приближенные) для конечного множества значений аргумента. Примерами табличного задания функции могут служить таблицы квадратов чисел, кубов чисел, квадратных корней и т.д.
Во многих случаях табличное задание функции является удобным. Оно позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без всяких вычислений.
Аналитический, графический, табличный - наитабличный, более простые, а потому наиболее популярные словесный задания функции, для наших нужд этих способов вполне достаточно. На самом деле в математике имеется довольно много различных способов задания функции, но мы познакомим вас еще только с одним способом, который используется в весьма своеобразных ситуациях. Речь идет о словесном способе, когда правило задания функции описывается словами. Приведем примеры.
Пример 1.
Функция у = f(х) задана на множестве всех неотрицательных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х > 0 ставится в соответствие первый знак после запятой в десятичной записи числа х. Если, скажем, х = 2,534, то f(х) = 5 (первый знак после запятой - цифра 5); если х = 13,002, то f(х) = 0; если то, записав в виде бесконечной десятичной дроби 0,6666..., находим f(х) = 6. А чему равно значение f(15)? Оно равно 0, так как 15 = 15,000... , и мы видим, что первый десятичный знак после запятой есть 0 (вообще-то верно и равенство 15 = 14,999... , но математики договорились не рассматривать бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9).
Любое неотрицательное число х можно записать в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной), а потому для каждого значения х можно найти определенное значение первого знака после запятой, так что мы можем говорить о функции, хотя и несколько необычной. У этой функции 
Пример 2.
Функция у = f(х) задана на множестве всех действительных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х ставится в соответствие наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят х. Иными словами, функция у = f(х) определяется следующими условиями:
а) f(х) - целое число;
б) f(х) < х (поскольку f(х) не превосходит х);
в) f(х) + 1 > х (поскольку f(х) - наибольшее целое число, не превосходящее х, значит, f(х) + 1 уже больше, чем г). Если, скажем, х = 2,534, то f(х) = 2, поскольку, во-первых, 2 - целое число, во-вторых, 2 < 2,534 и, в-третьих, следующее целое число 3 уже больше, чем 2,534. Если х = 47, то /(х) = 47, поскольку, во-первых, 47 - целое число, во-вторых, 47< 47 (точнее, 47 = 47) и, в-третьих, следующее за числом 47 целое число 48 уже больше, чем 47. А чему равно значение f(-0,(23))? Оно равно -1. Проверяйте: -1 - наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят числа -0,232323....
У этой функции (множество целых чисел).
Функцию, о которой шла речь в примере 2, называют целой частью числа; для целой части числа х используют обозначение [х]. Например, = 2, = 47, [-0,(23)] = -1. Очень своеобразно выглядит график функции у = [х] (рис. 54).
