Пространственная сходящаяся система сил. Равновесие произвольной пространственной системы сил – решение задачи Геометрические условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Аналитическая запись условий равновесия произвольной пространственной системы сил представляет систему шести уравнений (5.3).

С механической точки зрения первые три уравнения устанавливают отсутствие поступательного, а последние три − углового перемещения тела. В случае ССС условия равновесия будут представлены системой первых трех уравнений. В случае системы параллельных сил система будет состоять также из трех уравнений: из одного уравнения суммы проекций сил на ту ось, параллельно которой ориентированы силы системы, и двух уравнений моментов относительно осей, непараллельных линиям действия сил системы.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛА

Центром тяжести твердого тела называется точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела, при любом его расположении в пространстве.

Координаты центра тяжести, точки C (рис. 6.3) можно определить по следующим формулам:

Ясно, что чем мельче разбиение, тем точнее будет проведен расчет по формулам (6.7), (6.8). Однако при этом трудоемкость вычислений может быть достаточно большой. В инженерной практике применяются формулы определения центра тяжести тел правильной формы.

КИНЕМАТИКА

ЛЕКЦИЯ 6.

Кинематикой называют раздел механики, в котором рассматривают движение тел и

Точек без учета сил, приложенных к ним.

6.1. Способы задания движения точки

Рассматривать движение тел или точек можно только относительно какой- либо системы отсчета – реального или условного тела, относительно которого определяют положение и движение других тел.

Рассмотрим три, наиболее используемые при решении задач, системы отсчета и, соответствующие им, три способа задания движения точки. Их характеристика сводится к: а) описанию самой системы отсчета; б) определению положения точки в пространстве; в) указанию уравнений движения точки; г) установлению формул, по которым могут быть найдены кинематические характеристики движения точки.

Векторный способ

Данный способ используют, как правило, при выводе теорем и других теоретических положений. Его преимущество перед другими способами – компактность записи. В качестве системы отсчета в этом способе выступает центр О с тройкой единичных векторов – i, j, k (рис. 8.1). Положение в пространстве произвольной точки М определяется посредством радиуса-вектора, r. Таким образом, уравнением движения точки M будет однозначная функция радиуса-вектора от времени, t :

Сравнивая последние два определения, можно заключить, что траектория точки является одновременно годографом ее радиуса-вектора.

Введем понятие средней скорости, V ср (рис. 8.1):

и истинной (мгновенной) скорости, V:

Направление V совпадает с касательной, к траектории точки (рис. 8.1).

Ускорение точки – это векторная величина, характеризующая изменение скорости точки:

Естественный способ

ная зависимость между S и временем, t , представляет собой уравнение движения точки в естественном способе задания движения:

Скорость точки, направленная по оси t , определяется как:

Ускорение точки, а, находится в плоскости nt и может быть разложено на составляющие:

Физический смысл этого разложения заключается в следующем: линия действия касательной составляющей, а t , совпадает с линией действия вектора скорости, V , и отражает изменение только модуля скорости; нормальная составляющая ускорения, а n , характеризует изменение направления линии действия вектора скорости. Их численные значения могут быть найдены по следующим формулам:

где

– радиус кривизны траектории в данной точке.

Координатный способ

Этот способ наиболее часто используют при решении задач. Системой отсчета является тройка взаимно перпендикулярных осей x , y , z (рис. 8.3). Положение точки М определяется ее координатами x М , y М , z М .

Уравнения движения точки представляют собой однозначные функции этих координат от

а ее модуль:

Направление вектора скорости в пространстве можно аналитически определить с помощью направляющих косинусов:

Ускорение точки М можно установить по его проекциям на координатные оси:

Направление вектора ускорения в пространстве определяется направляющими косинусами.

Т. о., для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех этих сил на каждую из трех любым образом выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из этих осей также равнялась нулю.

Условия (1.33) называются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил в аналитической форме .

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил. Если линии действия всех сил данной системы сил расположены в разных плоскостях и параллельны между собой, то такая система сил называется пространственной системой параллельных сил .

Пользуясь условиями равновесия (1.33) произвольной пространственной системы сил, можно найти условия равновесия пространственной системы параллельных сил. (Выведенные нами ранее условия равновесия для плоской и пространственной систем сходящихся сил, произвольной плоской системы сил и плоской системы параллельных сил также можно было бы получить, пользуясь условиями равновесия (1.33) произвольной пространственной системы сил).

Пусть на твердое тело действует пространственная система параллельных сил (рисунок 1.26). Так как выбор координатных осей произволен, то можно выбрать координатные оси так, чтобы ось z была параллельна силам. При таком выборе координатных осей проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относительно оси z будут равны нулю, и, следовательно, равенства , и удовлетворяются независимо от того, находится ли данная система сил в равновесии или нет, а поэтому перестают быть условиями равновесия. Поэтому система (1.33) даст только три условия равновесия:

Следовательно, для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпендикулярных к этим силам, также равнялась нулю .

1. Выбрать тело (или точку), равновесие которого должно быть рассмотрено в данной задаче.

2. Освободить выбранное тело от связей и изобразить (расставить) все действующие на это тело (и только на это тело) активные силы и силы реакций отброшенных связей . Тело, освобожденное от связей, с приложенной к нему системой активных сил и сил реакций, следует изображать отдельно.

3. Составить уравнения равновесия . Для составления уравнений равновесия необходимо сначала выбрать оси координат. Этот выбор можно производить произвольно, но полученные уравнения равновесия будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно к линии действия какой-либо неизвестной силы реакции. Решение полученных уравнений равновесия следует, как правило, проводить до конца в общем виде (алгебраически). Тогда для искомых величин будут получаться формулы, позволяющие проанализировать найденные результаты; численные значения найденных величин подставляются только в окончательные формулы. Уравнения равновесия составляются при аналитическом методе решения задач на равновесие системы сходящихся сил. Однако, если число сходящихся сил, равновесие которых рассматривается, равно трем, то удобно применить геометрический метод решения этих задач. Решение в данном случае сводится к тому, что вместо уравнений равновесия всех действующих сил (активных и реакций связей) строится силовой треугольник, который на основании геометрического условия равновесия должен быть замкнут (начинать построение этого треугольника следует с заданной силы). Решая силовой треугольник, находим искомые величины.

Динамика

Для понимания раздела динамики необходимо знать следующие сведения. Из математики – скалярное произведение двух векторов, дифференциальные уравнения. Из физики – законы сохранения энергии, количества движения. Теория колебаний. Рекомендуется повторить эти темы.

О R = 0 и M R x = R y = R z = 0 и M x = M y = M

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

Произвольную пространственную систему сил, как и плоскую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить одной результирующей силой и парой с моментом. Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно былоR = 0 и M о = 0. Но векторы имогут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когдаR x = R y = R z = 0 и M x = M y = M z = 0 или, когда действующие силы удовлетворяют условиям

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

Принципы решения задач на равновесие тела под действием пространственной системы сил.

Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассматривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины.

Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).

Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.

В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие (из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.

Пример 5.

Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС . На краю рамы находится груз весом Р . Определим реакции шарнира и усилие в стержне.

Рис.45

Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.

Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р . Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.

Желательно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неизвестной силе.

В нашей задаче это точка А , где приложены неизвестные и; точкаС , где пересекаются линии действия неизвестных сил и; точкаD – точка пересечения линий действия сил и. Составим уравнение проекций сил на осьу (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС ).

И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное замечание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекомендуется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две:и(рис.37) такие, что модули их

Составляем уравнения:

Из второго уравнения находим . Из третьегоИ из первого

Так как получилось S <0, то стержень ВС будет сжат.

Векторные условия равновесия произвольной системы сил: для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю . Иначе: для того чтобы ~0, необходимы и достаточны условия:

,
или
,
. (19)

Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме

Для равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю .

. (20)

Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из трех прямоугольных осей координат были равны нулю :

;
;
, (21)

В случае плоской системы сходящихся сил одну из осей координат, обычно
, выбирают перпендикулярной силам, а две другие оси – соответственно в плоскости сил. Для равновесия плоской системы сходящихся сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных координатных осей, лежащих в плоскости сил, были равны нулю:

;
, (22)

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил

Направим ось
параллельно силам:для равновесия пространственной системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма этих сил была равна нулю и суммы моментов сил относительно двух координатных осей, перпендикулярных силам, также были равны нулю :

Условия равновесия плоской системы сил

Расположим оси
и
в плоскости действия сил.

Условия равновесия плоской системы сил в первой форме: для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю :

(24)

Для равновесия плоской системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма сил была равна нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости сил, также была равна нулю:

(25)

Теорема о трех моментах (вторая форма условий равновесия): для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю :

Третья форма условий равновесия: для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также была равна нулю , т.е.

Выше (6.5, случай 6) было установлено, что

Учитывая, что , , спроектируем формулы (6.18) на Декартовы оси координат. Имеем аналитическую форму уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил :

(6.19)

Последние три уравнения имеют место из-за того, что проекция момента силы относительно точки на ось, которая проходит через эту точку, равна моменту силы относительно оси (формула (6.9)).

Вывод произвольной пространственной системы сил , которая приложена к твердому телу, мы должны составить шесть уравнений равновесия (6.19), потому имеем возможность с помощью этих уравнений определить шесть неизвестных величин .

Рассмотрим случай пространственной системы параллельных сил. Систему координат выберем так, чтобы ось Оz была параллельна линиям действия сил (рис. 6.11).

Таким образом, остались три уравнения:

Вывод . При решении задач на равновесие параллельной пространственной системы сил, которая приложена к твердому телу, мы должны составить три уравнения равновесия и имеем возможность с помощью этих уравнений определить три неизвестных величины .

На первой лекции по разделу «Статика» мы выяснили, что имеют место шесть разновидностей систем сил , которые могут встретиться в Вашей практике инженерных расчетов. Кроме того есть две возможности расположения пар сил: в пространстве и в плоскости. Сведем все уравнения равновесия для сил и для пар сил в одну таблицу (табл. 6.2), в которой в последней колонке отметим количество неизвестных величин, которые позволит определить система уравнений равновесия.

Таблица 6.2 – Уравнения равновесия разных систем сил

Вид системы сил	Уравнения равновесия	Количество определяемых неизвестных

Сходящаяся плоская
Параллельная плоская ( оси 0у )	т. А 0ху
Произвольная плоская (в плоскости 0ху)	т. А – произвольная, принадлежащая плоскости 0ху