, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 11

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

• обобщение и систематизация знаний и умений учащихся;
• развитие умений анализировать, сравнивать, делать выводы.

Оборудование:

• мультимедийный проектор;
• компьютер;
• листы с текстами задач

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационный момент

II. Этап актуализации знаний (слайд 2)

Повторяем как определяется расстояние от точки до плоскости

III. Лекция (cлайды 3-15)

На занятии мы рассмотрим различные способы нахождения расстояния от точки до плоскости.

Первый метод: поэтапно-вычислительный

Расстояние от точки М до плоскости α:
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на прямой a, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α;
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на плоскости β, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α.

Решим следующие задачи:

№1. В кубе А…D 1 найти расстояние от точки С 1 до плоскости АВ 1 С.

Осталось вычислить значение длины отрезка О 1 Н.

№2. В правильной шестиугольной призме А…F 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA 1 .

Следующий метод: метод объемов .

Если объем пирамиды АВСМ равен V, то расстояние от точки М до плоскости α, содержащей ∆АВС вычисляется по формуле ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При решении задач мы используем равенство объемов одной фигуры, выраженные двумя различными способами.

Решим следующую задачу:

№3. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если.

При решении задач координатным методом расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле ρ(М; α) = , где М(х 0 ; у 0 ; z 0), а плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0

Решим следующую задачу:

№4. В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDC 1 .

Введем систему координат с началом в точке А, ось у пройдет по ребру АВ, ось х – по ребру АD, ось z – по ребру АА 1 . Тогда координаты точек В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки В, D, C 1 .

Тогда – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Следовательно, ρ =

Следующий метод, который можно использовать при решении задач данного типа – метод опорных задач.

Применение данного метода состоит в применении известных опорных задач, которые формулируются как теоремы.

Решим следующую задачу:

№5. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки D 1 до плоскости АВ 1 С.

Рассмотрим применение векторного метода.

№6. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDС 1 .

Итак, мы рассмотрели различные способы, которые можно использовать при решении данного типа задач. Выбор того или иного метода зависит от конкретной задачи и ваших предпочтений.

IV. Работа в группах

Попробуйте решить задачу разными способами.

№1. Ребро куба А…D 1 равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC 1 .

№2. В правильном тетраэдре АВСD с ребром найдите расстояние от точки А до плоскости BDC

№3. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости ВСА 1 .

№4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости SCD.

V. Итог урока, домашнее задание, рефлексия

, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 11

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

• обобщение и систематизация знаний и умений учащихся;
• развитие умений анализировать, сравнивать, делать выводы.

Оборудование:

• мультимедийный проектор;
• компьютер;
• листы с текстами задач

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационный момент

II. Этап актуализации знаний (слайд 2)

Повторяем как определяется расстояние от точки до плоскости

III. Лекция (cлайды 3-15)

На занятии мы рассмотрим различные способы нахождения расстояния от точки до плоскости.

Первый метод: поэтапно-вычислительный

Расстояние от точки М до плоскости α:
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на прямой a, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α;
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на плоскости β, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α.

Решим следующие задачи:

№1. В кубе А…D 1 найти расстояние от точки С 1 до плоскости АВ 1 С.

Осталось вычислить значение длины отрезка О 1 Н.

№2. В правильной шестиугольной призме А…F 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA 1 .

Следующий метод: метод объемов .

Если объем пирамиды АВСМ равен V, то расстояние от точки М до плоскости α, содержащей ∆АВС вычисляется по формуле ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При решении задач мы используем равенство объемов одной фигуры, выраженные двумя различными способами.

Решим следующую задачу:

№3. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если.

При решении задач координатным методом расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле ρ(М; α) = , где М(х 0 ; у 0 ; z 0), а плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0

Решим следующую задачу:

№4. В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDC 1 .

Введем систему координат с началом в точке А, ось у пройдет по ребру АВ, ось х – по ребру АD, ось z – по ребру АА 1 . Тогда координаты точек В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки В, D, C 1 .

Тогда – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Следовательно, ρ =

Следующий метод, который можно использовать при решении задач данного типа – метод опорных задач.

Применение данного метода состоит в применении известных опорных задач, которые формулируются как теоремы.

Решим следующую задачу:

№5. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки D 1 до плоскости АВ 1 С.

Рассмотрим применение векторного метода.

№6. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDС 1 .

Итак, мы рассмотрели различные способы, которые можно использовать при решении данного типа задач. Выбор того или иного метода зависит от конкретной задачи и ваших предпочтений.

IV. Работа в группах

Попробуйте решить задачу разными способами.

№1. Ребро куба А…D 1 равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC 1 .

№2. В правильном тетраэдре АВСD с ребром найдите расстояние от точки А до плоскости BDC

№3. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости ВСА 1 .

№4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости SCD.

V. Итог урока, домашнее задание, рефлексия

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до заданной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до плоскости введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние от точки до плоскости − теория, примеры и решения

Для нахождения расстояния от точки M 0 до плоскости α , необходимо найти расстояние от точки M 0 до проекции точки M 0 на плоскость α :

Нахождение расстояния от точки до плоскости содержит следующие шаги:

1. построение прямой L , проходящей через точку M 0 и перпендикулярной плоскости α .
2. нахождение точки M 1 пересечения плоскости α с прямой L (Рис.1).
3. вычисление расстояния между точками M 0 и M 1 .

где n (A,B,C )− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и имеющий направляющий вектор q (l, m, n ) имеет следующий вид:

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α , проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

A 2 t +Ax 0 +B 2 t +By 0 +C 2 t +Cz 0 +D =0,

Учитывая значение параметра t , имеем:

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

n =(5, 1, 2),

т.е. A =5, B =1, C =2.

Координаты точки M 0: x 0 =2, y 0 =−1, z 0 =−9/31.

Подставляя координаты точки M 0 и нормального вектора плоскости в (5), получим.

1. Плоскость в пространстве задана уравнением 3x-4y+2z+5=0, найдите расстояние от нее до точки M(3;-2;6).
   

   Дано:

   $$ x_0 = 3, \quad y_0 = -2, \quad z_0 = 6 $$

   $$ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 2, \quad D = 5 $$

   Решение:

   Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости, которое равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость:

   $$ p = {| A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|} \over \sqrt{(A^2 + B^2 + C^2)} $$

   где A, B, C, D – коэффициенты уравнения плоскости, а x0, y0, z0 – координаты точки.

   Произведем подстановку:

   $$ \frac{|3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2)+2 \cdot 6 + 5 |}{ \sqrt{(3^2 + (-4)^2 + 2^2)} } = \frac{|9+8+12+5|}{\sqrt{(9+16+4)}} =6,314$$ (линейных единиц)

   Ответ:
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром равным 1 см. Вычислите расстояние от точки А1 до плоскости, определяемой точками В, D и C1.
   

   Решение:

   Для решения задачи применим координатный метод. Начало системы координат расположим в точке А. Ось x совместим с ребром AD, ось у – с ребром АВ, ось z – с ребром АА1.

   Тогда координаты точки А1 (0;0;1), точек В (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C1(1; 1; 1). Поставив в общее уравнение для плоскости A·x+B·y+C·z+D=0 координаты каждой из точек, получим систему из трех уравнений, решив которую найдем коэффициенты и уравнение плоскости x+y-z-1=0.

   $$ p = \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ \sqrt{(A^2 + B^2 + C^2)} } $$, произведем подстановку:

   $$ p = \frac{ |1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 - 1| }{ \sqrt{(1+1+1)} } = 1,155 см$$

   Ответ:

   $$ R = 1,155 см $$

3. Найдите расстояние то точки М (2;4;-7) до плоскости XOY.
   

   Решение:

   Уравнение плоскости XOY представляет собой частный случай, ее уравнение z=0. Применим формулу:

   $$ p = \frac{ | A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ (A^2 + B^2 + C^2) } $$ , где A=0, B=0, С=1, D=0, x0=2, y0=4, z0=-7.

   Произведем подстановку:

   $$ p = \frac{ |0 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)) + 0| }{ \sqrt{(0^2 + 0^2 + 1^2)} } = 7$$

   Ответ:
4. Плоскость определяется репером из трех точек с координатами в прямоугольной системе А1 (0;2;1), В1(2;6;1), С1(4;0;-1). Определите, на каком расстоянии от нее находится точка с координатами М (5;-3;10).
   

   Решение:

   Для того чтобы определить расстояние от точки до плоскости воспользуемся формулой

   $$ p= \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } $$

   Чтобы воспользоваться нею, необходимо вывести уравнение плоскости, определенной точками А1, В1 и С1. Общий вид этого уравнения A·x+B·y+C·z+D=0. Воспользовавшись одним из методов выведения уравнения плоскости (система уравнений с координатами точек или определитель) находим уравнение плоскости, получим $$2x-y+5z-3=0$$.

   Подставим полученные коэффициенты уравнения и координаты точки в формулу:

   $$ p = \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ \sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } = \frac{ |2 \cdot 5 - (-3) + 5 \cdot 10 - 3|}{ \sqrt{ (2^2 + (-1)^2 + 5^2) } } = 10,95 $$

   Ответ:
5. Найдите расстояние от плоскости 4x-6y-4z+7=0 до начала системы координат точки О.
   

   Дано:

   $$ x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad z_0 = 0 $$

   $$ A = 4, \quad B = -6, \quad C = -4, \quad D = 7 $$

   Решение:

   Координаты начала системы координат О(0;0;0). Воспользуемся формулой:

   $$ p= \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } $$ Для плоскости $$4x-6y-4z+7=0$$,

   $$ A=4, $$
   $$ B=-6, $$
   $$ C=-4, $$
   $$ D=7. $$

   Подставим значения:

   $$ p = \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ \sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } = \frac{ |4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 7|}{ \sqrt{ (4^2 + (-6)^2 + (-4)^2) } } = 0,85 $$

   Ответ:

ЗАДАЧИ C2 ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ НА НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Куликова Анастасия Юрьевна

студент 5 курса, кафедра мат. анализа, алгебры и геометрии ЕИ КФУ, РФ, Республика Татарстан, г. Елабуга

Ганеева Айгуль Рифовна

научный руководитель, канд. пед. наук, доцент ЕИ КФУ, РФ, Республика Татарстан, г. Елабуга

В заданиях ЕГЭ по математике в последние годы появляются задачи на вычисление расстояния от точки до плоскости. В данной статье на примере одной задачи рассмотрены различные методы нахождения расстояния от точки до плоскости. Для решения различных задач можно использовать наиболее подходящий метод. Решив задачу одним методом, другим методом можно проверить правильность полученного результата.

Определение. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Задача. Дан прямоугольный параллелепипед А B С DA 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами AB =2, BC =4, AA 1 =6. Найдите расстояние от точки D до плоскости АС D 1 .

1 способ . Используя определение . Найти расстояние r(D , АС D 1) от точки D до плоскости АС D 1 (рис. 1).

Рисунок 1. Первый способ

Проведем DH ⊥АС , следовательно по тереме о трех перпендикулярах D 1 H ⊥АС и (DD 1 H )⊥АС . Проведем прямую DT перпендикулярно D 1 H . Прямая DT лежит в плоскости DD 1 H , следовательно DT ⊥AC . Следовательно, DT ⊥АС D 1.

А DC найдем гипотенузу АС и высоту DH

Из прямоугольного треугольника D 1 DH найдем гипотенузу D 1 H и высоту DT

Ответ: .

2 способ. Метод объемов (использование вспомогательной пирамиды ). Задачу данного типа можно свести к задаче о вычислении высоты пирамиды, где высота пирамиды является искомым расстоянием от точки до плоскости. Доказать, что эта высота и есть искомое расстояние; найти объём этой пирамиды двумя способами и выразить эту высоту.

Отметим, что при данном методе нет необходимости в построении перпендикуляра из данной точки к данной плоскости.

Прямоугольный параллелепипед - параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.

AB =CD =2, BC =AD =4, AA 1 =6.

Искомым расстоянием будет высота h пирамиды ACD 1 D , опущенной из вершины D на основание ACD 1 (рис. 2).

Вычислим объем пирамиды ACD 1 D двумя способами.

Вычисляя, первым способом за основание примем ∆ ACD 1 , тогда

Вычисляя, вторым способом за основание примем ∆ ACD , тогда

Приравняем правые части последних двух равенств, получим

Рисунок 2. Второй способ

Из прямоугольных треугольников АС D , ADD 1 , CDD 1 найдем гипотенузы, используя теорему Пифагора

ACD

Вычислим площадь треугольника АС D 1 , используя формулу Герона

Ответ: .

3 способ. Координатный метод.

Пусть дана точка M (x 0 ,y 0 ,z 0) и плоскость α , заданная уравнением ax +by +cz +d =0 в прямоугольной декартовой системе координат. Расстояние от точки M до плоскости α можно вычислить по формуле:

Введем систему координат (рис. 3). Начало координат в точке В ;

Прямая АВ - ось х , прямая ВС - ось y , прямая BB 1 - ось z .

Рисунок 3. Третий способ

B (0,0,0), А (2,0,0), С (0,4,0), D (2,4,0), D 1 (2,4,6).

Пусть a х+ by + cz + d =0 – уравнение плоскости ACD 1 . Подставляя в него координаты точек A , C , D 1 получим:

Уравнение плоскости ACD 1 примет вид

Ответ: .

4 способ. Векторный метод.

Введем базис (рис. 4) , .

Рисунок 4. Четвертый способ