Достаточно часто в курсе математического анализа можно встретить задание со следующей формулировкой: «исследовать функцию и построить график» . Данная формулировка говорит сама за себя и разбивает задачу на два этапа:
- Этап 1: исследование функции;
- Этап 2: построение графика исследуемой функции.
Первый этап наиболее объемный и включает в себя отыскание областей определения и значений, экстремумов функции, точек перегиба графика и т.д.
Полный план исследования функции $y=f(x)$, предваряющий цель построение графика, имеет следующие пункты:
- Поиск области определения функции $D_{y} $ и области допустимых значений $E_{y} $ функции.
- Определение вида функции: четная, нечетная, общего вида.
- Определение точек пересечения графика функции с осями координат.
- Нахождение асимптот графика функции (вертикальные, наклонные, горизонтальные).
- Нахождение интервалов монотонности функции и точек экстремума.
- Нахождение промежутков выпуклости, вогнутости графика и точек перегиба.
Поиск области определения функции $D_{y} $ подразумевает нахождение интервалов, на которых данная функция существует (определена). Как правило, данная задача сводится к отысканию ОДЗ (область допустимых значений), на основании которых формируется $D_{y} $.
Пример 1
Найти область определения функции $y=\frac{x}{x-1} $.
Найдем ОДЗ рассматриваемой функции, т.е. значения переменной, при которых знаменатель не обращается в ноль.
ОДЗ: $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$
Запишем область определения: $D_{y} =\{ x\in R|x\ne 1\} $.
Определение 1
Функция $y=f(x)$ является четной в случае, если выполняется следующее равенство $f(-x)=f(x)$ $\forall x\in D_{y} $.
Определение 2
Функция $y=f(x)$ является нечетной в случае, если выполняется следующее равенство $f(-x)=-f(x)$ $\forall x\in D_{y} $.
Определение 3
Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.
Пример 2
Определить вид функций: 1) $y=\frac{x}{x-1} $, 2) $y=\frac{x^{2} }{x^{2} -1} $; 3) $y=\frac{x}{x^{2} -1} $.
1) $y=\frac{x}{x-1} $
$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, следовательно, имеем функцию общего вида.
2) $y=\frac{x^{2} }{x^{2} -1} $
$f(-x)=f(x)$, следовательно, имеем четную функцию.
3) $y=\frac{x}{x^{2} -1} $.
$f(-x)\ne -f(x)$, следовательно, имеем нечетную функцию.
Определение точек пересечения графика функции с осями координат включает нахождение точек пересечения: с осью ОХ ($y=0$), с осью OY ($x=0$).
Пример 3
Найти точки пересечения с осями координат функции $y=\frac{x+2}{x-1} $.
- с осью ОХ ($y=0$)
$\frac{x+2}{x-1} =0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2$; получаем точку (-2;0)
- с осью ОY ($x=0$)
$y(0)=\frac{0+2}{0-1} =-2$, получаем точку (0;-2)
На основе результатов, полученных на этапе исследования функции, строится график. Иногда для построения графика функции недостаточно точек, полученных на первом этапе, тогда необходимо найти дополнительные точки.
Пример 4
Исследовать функцию и построить ее график: $y=x^{3} -6x^{2} +2x+1$.
- Область определения: $D_{y} =\{ x|x\in R\} $.
- Область значений: $E_{y} =\{ y|y\in R\} $.
- Четность, нечетность функции :\ \
Функция общего вида, т.е. не является ни четной, ни нечетной.
4) Пересечение с осями координат:
с осью OY: $y(0)=0^{3} -6\cdot 0^{2} +2\cdot 0+1=1$, следовательно, график проходит через точку (0;1).
с осью OХ: $x^{3} -6x^{2} +2x+1=0$ (рациональных корней нет)
5) Асимптоты графика:
Вертикальных асимптот нет, так как $D_{y} =\{ x|x\in R\} $
Наклонные асимптоты будем искать в виде $y=kx+b$.
$k=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{y(x)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{x^{3} -6x^{2} +2x+1}{x} =\infty $. Следовательно, наклонных асимптот нет.
6) Возрастание, убывание функции; экстремумы:
\ \[\begin{array}{l} {y"=0\Rightarrow 3x^{2} -12x+2=0} \\ {D=144-24=120} \\ {x_{1,2} =\frac{12\pm \sqrt{120} }{6} } \end{array}\]
Отметим точки на числовой оси, расставим знаки первой производной и отметим поведение функции:
Рисунок 1.
Функция возрастает на $\left(-\infty ;\frac{12-\sqrt{120} }{6} \right]$ и $\left[\frac{12+\sqrt{120} }{6} ;\infty \right)$, убывает на $\left[\frac{12-\sqrt{120} }{6} ;\frac{12+\sqrt{120} }{6} \right]$.
$x=\frac{12-\sqrt{120} }{6} $ - точка максимума; $y\left(\frac{12-\sqrt{120} }{6} \right)=1,172$
$x=\frac{12+\sqrt{120} }{6} $ - точка минимума; $y\left(\frac{12+\sqrt{120} }{6} \right)=-23,172$
7) Выпуклость, вогнутость графика:
\ \[\begin{array}{l} {y""=(3x^{2} -12x+2)"=6x-12} \\ {y""=0\Rightarrow 6x-12=0\Rightarrow x=2} \end{array}\]
Отметим точки на числовой оси, расставим знаки второй производной и отметим поведение графика функции:
Рисунок 2.
График направлен выпуклостью вверх на $(-\infty ;2]$, вниз на $
8) График функции:
Рисунок 3.
Полное исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме:
1) найти область определения функции;
2) выяснить, не является ли функция чётной или нечётной, периодической;
3) исследовать непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов;
4) найти асимптоты графика функции;
5) исследовать монотонность функции и найти ее экстремумы;
6) найти точки перегиба, установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;
7) обозначить дополнительные точки графика функции, например, точки его пересечения с осями координат.
Результат каждого пункта должен сразу отражаться на графике и согласовываться с результатами исследования по предыдущим пунктам.
Пример 1 .
Провести полное исследование функции и построить график .
1. Функция определена в интервалах хÎ (-¥; 1) È (-1; +¥).
2. Функция не может быть четной или нечетной, т.к. ее область определения не является симметричной относительно 0. Следовательно, данная функция общего вида, т.е. свойством четности не обладает. Также функция не является периодической.
Напомним определения:
Функция называется четной , если выполняются два условия:
a) ее область определения симметрична относительно нуля,
b) для всех значений х из области определения выполняется равенство .
График четной функции имеет осевую симметрию относительно оси OY .
Функция называется нечетной , если
a) ее область определения функции симметрична относительно нуля,
b) при "х из области определения.
График нечетной функции имеет центральную симметрию относительно начала координат.
Функция называется периодической , если существует число Т > 0 , такое что выполняется равенство для "х из области определения.
Число Т называется периодом функции , а ее график достаточно построить на любом промежутке длиной Т , а затем периодически продолжить на всю область определения.
3. Функция является непрерывной при всех хÎ (-¥; -1) È (-1; +¥).
Данная функция является элементарной, которая образована делением двух непрерывных основных элементарных функций и . Поэтому, по свойствам непрерывных функций, данная функция непрерывна во всех точках, в которых она определена.
Точка х = -1 является точкой разрыва, т.к. в ней данная функция не определена. Чтобы определить характер (тип) разрыва, вычислим . Следовательно, при х = -1 функция имеет бесконечный разрыв (разрыв II рода).
4. Асимптоты графика функции.
Вертикальной асимптотой является прямая х = -1 (это следует из исследования разрыва функции).
Наклонные асимптоты ищем уравнением , где
Таким образом, - это уравнение наклонной асимптоты (при х® ±¥).
5. Монотонность и экстремумы функции определим с помощью ее первой производной:
Критические точки определяем из условий:
y max =y(-3)= .
6. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, ее точки перегиба находим с помощью второй производной:
Подозрительные на перегиб точки определяем из условий:
Достаточные условия выпуклости, вогнутости и точек перегиба:
Точка О(0; 0) является точкой перегиба графика.
Часто результаты исследования функции с помощью первой и второй производной оформляют в виде общей таблицы, отражающей основные свойства графика функции:
| x | (-¥;-3) | -3 | (-3;-1) | -1 | (-1;0) | (0;+¥) | |
| + | - | не существует | + | + | |||
| - | - | - | не существует | - | + | ||
| возрастает, вогнута | max | Убывает, вогнута | не существует | возрастает, вогнута | = 0 точка перегиба | возрастает, выпукла |
Все полученные результаты исследования функции отражаются ее графиком.
Пример 2 .
ООФ: хÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ;+¥).
Функция является нечетной, так как ее область определения симметрична относительно нуля и для "х Î ООФ выполняется равенство:
Поэтому график функции имеет центральную симметрию относительно начала координат.
Функция является непрерывной при всех хÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ; +¥), т.к. элементарная функция непрерывна на своей ООФ. Точки х=- и х= являются точками бесконечного разрыва, так как ,
Вертикальными асимптотами графика являются прямые х = - и х = .
Наклонные асимптоты: , где
= = 0 .
Это уравнение наклонной асимптоты.
Интервалы возрастания и убывания функции, ее экстремумы.
Необходимые условия экстремумов:
Þ х 1 = 0, х 2 = 3, х 3 = -3 - критические точки.
Достаточные условия монотонности и экстремумов:
y max =y(-3)= ;
y min =y(3)= .
Интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегибов:
Точка х = 0 подозрительная на перегиб.
Достаточные условия:
Точка О(0; 0) является точкой перегиба.
Общую таблицу основных свойств графика для данной функции можно составить только для хÎ }
