Свойства фракталов

Фрактальные свойства - не блажь и не плод досужей фантазии математиков. Изучая их, мы учимся различать и предсказывать важные особенности окружающих нас предметов и явлений, которые прежде, если и не игнорировались полностью, то оценивались лишь приблизительно, качественно, на глаз. Например, сравнивая фрактальные размерности сложных сигналов, энцефалограмм или шумов в сердце, медики могут диагностировать некоторые тяжелые заболевания на ранней стадии, когда больному еще можно помочь. Также и аналитик, сравнивая предыдущее поведение цен, в начале зарождения модели может предвидеть дальнейшее ее развитие, тем самым, не допуская грубых ошибок в прогнозировании.

Нерегулярность фракталов

Первым свойством фракталов является их нерегулярность. Если фрактал описывать функцией, то свойство нерегулярности в математических терминах будет означать, что такая функция не дифференцируема, то есть не гладкая ни в какой точке. Собственно к рынку это имеет самое прямое отношение. Колебания цен порой так волатильны и изменчивы, что это приводит многих трейдеров в замешательство. Нашей с вами задачей стоит разобрать весь этот хаос и привести его к порядку.

Самоподобие фракталов

Второе свойство гласит, что фрактал - это объект обладающий свойством самоподобия. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом и воспроизводится в различных масштабах без видимых изменений. Однако, изменения все же происходят, что в значительной степени может повлиять на восприятие нами объекта.

Самоподобие означает, что у объекта нет характерного масштаба: будь у него такой масштаб, вы сразу бы отличили увеличенную копию фрагмента от исходного снимка. Самоподобные объекты обладают бесконечно многими масштабами на все вкусы. Суть самоподобия можно пояснить на следующем примере. Представьте себе, что перед вами снимок «настоящей» геометрической прямой, «длины без ширины», как определял линию Евклид, и вы забавляетесь с приятелем, пытаясь угадать, предъявляет ли он вам исходный снимок (оригинал) или увеличенный в нужное число раз снимок любого фрагмента прямой. Как бы ни старались, вам ни за что не удастся отличить оригинал от увеличенной копии фрагмента, прямая во всех своих частях устроена одинаково, она подобна самой себе, но это ее замечательное свойство несколько скрадывается незамысловатой структурой самой прямой, ее «прямолинейностью» (рис.35).

Рис. 35

Если вы точно так же не сможете отличить снимок какого-нибудь объекта от надлежащим образом увеличенного снимка любого его фрагмента, то перед вами - самоподобный объект. Все фракталы, обладающие хотя бы какой-нибудь симметрией, самоподобны. А это значит, что некоторые фрагменты их структуры строго повторяются через определенные пространственные промежутки. Очевидно, что эти объекты могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными независимо от масштаба. Пример самоподобного фрактала:

Рис. 36

В финансах эта концепция - не беспочвенная абстракция, а теоретическая переформулировка практичной рыночной поговорки - а именно, что движения акции или валюты внешне похожи, независимо от масштаба времени и цены. Наблюдатель не может сказать по внешнему виду графика, относятся ли данные к недельным, дневным или же часовым изменениям.

Разумеется, далеко не все фракталы обладают столь правильной, бесконечно повторяющейся структурой, как те замечательные экспонаты будущего музея фрактального искусства, которые рождены фантазией математиков и художников. Многие фракталы, встречающиеся в природе (поверхности разлома горных пород и металлов, облака, валютные котировки, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи и т. д.), лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого. Фракталы с нелинейной формой развития были названы Мандельбротом как - мультифракталы. Мультифрактал - это квазифрактальный объект с переменной фрактальной размерностью. Естественно, что реальные объекты и процессы гораздо лучше описываются мультифракталами.

Такое статистическое самоподобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы среди множества природных объектов.

Рассмотрим пример самоподобия на валютном рынке:

Рис. 37

На этих рисунках мы видим что они похожи, при этом имея разный масштаб времени, на рис а минутный масштаб, на рис.б недельный масштаб цен. Как видим, данные котировки не обладают свойством идеально повторять друга, однако мы можем считать их подобными.

Даже простейшие из фракталов - геометрически самоподобные фракталы - обладают непривычными свойствами. Например, снежинка фон Коха обладает периметром бесконечной длины, хотя ограничивает конечную площадь (рис.38). Кроме того, она такая колючая, что ни в одной точке контура к ней нельзя провести касательную (математик сказал бы, что снежинка фон Коха нигде не дифференцируема, то есть не гладкая ни в какой точке).

Рис. 38

Мандельброт обнаружил, что результаты фракционного измерения остаются постоянными для различных степеней усиления неправильности объекта. Другими словами, существует регулярность (правильность, упорядоченность) для любой нерегулярности. Когда мы относимся к чему - либо, как к возникающему случайным образом, то это указывает на то, что мы не понимаем природу этой хаотичности. В терминах рынка это означает, что формирование одних и тех же типичных формаций должны происходить в различных временных рамках. Одноминутный график будет описывать фрактальную формацию так же, как и месячный. Такое «само - уподобление», находимое на графиках товарных и финансовых рынков, показывает все признаки того, что действия рынка ближе к парадигме поведения «природы», нежели поведения экономического, фундаментального анализа.

Рис. 39

На данных рисунках можно найти подтверждение выше сказанному. Слева изображен график с минутным масштабом, справа недельный. Здесь изображены валютные пары Доллар/Йена (рис.39(а)) и Евро/Доллар (рис.39(б)) с различными масштабами цен. Даже не смотря на то, что валютная пара JPY/USD имеет другую волатильноеть по отношению к EUR/USD мы можем наблюдать одну и ту же структуру движения цены.

Фрактальная размерность

Третьим свойством фракталов является то, что фрактальные объекты имеют размерность, отличную от евклидовой (иначе говоря топологическая размерность). Фрактальная размерность, является показателем сложности кривой. Анализируя чередование участков с различной фрактальной размерностью и тем, как на систему воздействуют внешние и внутренние факторы, можно научиться предсказывать поведение системы. И что самое главное, диагностировать и предсказывать нестабильные состояния.

В арсенале современной математики Мандельброт нашел удобную количественную меру неидеальности объектов - извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и пористости объема. Ее предложили два математика - Феликс Хаусдорф (1868- 1942) и Абрам Самойлович Безикович (1891-1970). Ныне она заслуженно носит славные имена своих создателей (размерность Хаусдорфа - Безиковича) - размерность Хаусдорфа - Безиковича. Что такое размерность и для чего она нам понадобится применительно к анализу финансовых рынков? До этого нам был известен только один вид размерности - топологическая (рис.41). Само слово размерность показывает, сколько измерений имеет объект. Для отрезка, прямой линии она равна 1, т.е мы имеем только одно измерение, а именно длину отрезка либо прямой. Для плоскости размерность будет 2, так как мы имеем двухмерное измерение, длина и ширина. Для пространства или объемных объектов, размерность равна 3: длина, ширина и высота.

Давайте рассмотрим пример с компьютерными играми. Если игра сделана в 3D графике, то она пространственна и объемна, если в 2D графике - графика изображается на плоскости, (рис. 40).

Рис. 40

Рис. 41

Самое необычное (правильнее было бы сказать - непривычное) в размерности Хаусдорфа - Безиковича было то, что она могла принимать не только целые, как топологическая размерность, но и дробные значения. Равная единице для прямой (бесконечной, полубесконечной или для конечного отрезка), размерность Хаусдорфа - Безиковича увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией.

Размерность характеризует усложнение множества (например прямой). Если это кривая, с топологической размерностью равной 1 (прямая линия), то кривую можно усложнить путем бесконечного числа изгибаний и ветвлений до такой степени, что ее фрактальная размерность приблизится к двум, т.е заполнит почти всю плоскость. (рис.42)

Рис. 42

Увеличивая свое значение, размерность Хаусдорфа - Безиковича не меняет его скачком, как сделала бы «на ее месте» топологическая размерность, переход с 1 сразу к 2. Размерность Хаусдорфа - Безиковича - и это на первый взгляд может показаться непривычным и удивительным, принимает дробные значения: равная единице для прямой, она становится равной 1,15 для слегка извилистой линии, 1,2 - для более извилистой, 1,5 - для очень извилистой и т. д.

Рис. 43

Именно для того чтобы особо подчеркнуть способность размерности Хаусдорфа - Безиковича принимать дробные, нецелые, значения, Мандельброт и придумал свой неологизм, назвав ее фрактальной размерностью. Итак, фрактальная размерность (не только Хаусдорфа - Безиковича, но и любая другая) - это размерность, способная принимать не обязательно целые значения, но и дробные .

Для линейных геометрических фракталов, размерность характеризует их самоподобность. Рассмотрим рис.48 (А), линия состоит из N=4 отрезков, каждый из которых имеет длину r =1/3. В итоге получаем соотношение:

D = logN/log(l/r)

Совсем дело обстоит иначе, когда мы говорим мультифракталах (нелинейных). Здесь размерность утрачивает свой смысл как определение подобия объекта и определяется посредством различных обобщений, куда менее естественных, чем уникальная размерность самоподобных объектов.

На валютном рынке размерностью можно охарактеризовать волатильность котировок цены. Для каждой валютной пары характерно свое поведение в масштабе цен. У пары Фунт/Доллар (рис.44(а)) оно более спокойно, нежели чем у Евро/Доллар (рис. 44(б)). Самое интересное в том, что данные валюты двигаются одинаковой структурой к ценовым уровням, однако, размерность у них разная, что может сказаться на внутредневнои торговле и на ускользающих от не опытного взгляда, изменениях моделей.

Рис. 44

На рис. 45 показана размерность применительно к математической модели, для того чтобы вы более глубже прониклись в значение данного термина. Обратите внимание, что на всех трех рисунках изображен один цикл. На рис.а размерность равна 1.2, на рис.б размерность равна 1.5, а на рис.в 1.9. Видно, что с увеличением размерности восприятие объекта усложняется, возрастает амплитуда колебаний.

Рис. 45

На финансовых рынках размерность находит свое отражение не только в качестве волатильности цены, но и в качестве детализации циклов (волн). Благодаря ей, мы сможем различать принадлежность волны к определенному масштабу времени. На рис.46 изображена пара Евро/Доллар в дневном масштабе цен. Обратите внимание, четко видно сформировавшийся цикл и начало нового, большего цикла. Перейдя на часовой масштаб и увеличив один из циклов, мы сможем заметить более мелкие циклы, и часть крупного, расположенного на Dl(pHC.16). Детализация циклов, т.е их размерность, позволяет нам определить по начальным условиям, как может в дальнейшем развиваться ситуация. Мы можем сказать, что: фрактальная размерность отражает свойство масштабной инвариантности рассматриваемого множества .

Понятие инвариантности было введено Мандельбротом от слова «sealant» масштабируемый, т.е когда объект обладает свойством инвариантности, он имеет различные масштабы отображения.

Рис. 46

Рис. 47

На рис.47 кругом А выделен мини цикл (детализированная волна), кругом Б - волна большего цикла. Именно из-за размерности, мы не всегда можем определять ВСЕ циклы на одном масштабе цен.

О проблемах определения и свойствах развития непериодических циклов мы поговорим в разделе «Циклы на валютном рынке», сейчас для нас главное было понять, как и где размерность проявляется на финансовых рынках.

Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и недетерминированной (случайной) природой данных. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей развития, наличие выбора из альтернативных путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает, определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды. Простой пример нелинейной динамической системы:

Джонни растет на 2 дюйма в год . Эта система объясняет, как высота Джонни изменяется во времени. Пусть х(n) будет ростом Джонни в этом году. Пусть его рост в следующем году будет записан, как х(n+1). Тогда мы можем написать динамическую систему в форме уравнения:

х(n+1) = х(n)+2

Видите? Разве это не простая математика? Если мы введем сегодняшний рост Джонни х(n) = 38 дюймов, то с правой стороны уравнения мы получим рост Джонни в следующем году, х(n+1) = 40 дюймов:

х(n+1) = х(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Движение справа налево в уравнении называется итерацией (повторением). Мы можем повторить уравнение снова, введя новый рост Джонни 40 дюймов в нужную сторону уравнения (то есть х(n) = 40), и мы получим х(n+1) = 42. Если мы итерируем (повторим) уравнение 3 раза, мы получим рост Джонни через 3 года, а именно 44 дюйма, начав с роста 38 дюймов.

Это - детерминированная динамическая система. Если мы хотим сделать ее недетерминированной (стохастической) , мы могли бы сделать такую модель: Джонни растет на 2 дюйма в год, больше или меньше и записать уравнение, как:

х(n+1) = х(n) + 2 + е

где е - небольшая ошибка (небольшая относительно 2), представляет некоторое вероятностное распределение.

Давайте вернемся к первоначальному детерминированному уравнению. Первоначальное уравнение, х(n+1) = х(n) + 2, является линейным. Линейное означает, что Вы добавляете переменные или константы или умножаете переменные на константы. Например, уравнение

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

является линейным. Но если Вы перемножите переменные, или возведете их в степень, большую единицы, уравнение (система) станет нелинейным. Например, уравнение

х(n+1) = х(n)2

является нелинейным, потому что х(n) - возведено в квадрат. Уравнение

является нелинейным, потому что две переменные, х и у, перемножены.

Когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминированное, т.е полностью зависит от начальных условий и поддается четкому прогнозу. Вы самостоятельно можете выполнить одну из таких моделей в Excel. Пример классической модели можно представить в виде постоянно убывающей, либо возрастающей тенденции. И мы можем предсказать ее поведение, зная прошлое объекта(исходные данные для моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие. Именно такой системой и является межбанковский валютный рынок.

Давайте теперь рассмотрим, как из прямой можно получить то, что мы называем фракталом, с присущими ему свойствами.

На рис.48 (А) изображена кривая Коха. Возьмем отрезок линии, ее длина = 1, т.е пока еще топологическая размерность. Теперь мы разделим ее на три части (каждая по 1/3 длины), и удалим среднюю треть. Но мы заменим среднюю треть двумя отрезками (каждый по 1/3 длины), которые можно представить, как две стороны равностороннего треугольника. Это стадия два (b) конструкции изображена на рис.48 (А). В этой точке мы имеем 4 меньших доли, каждая по 1/3 длины, так что вся длина - 4(1/3) = 4/3. Затем мы повторяем этот процесс для каждой из 4 меньших долей линии. Это - стадия три (с) . Это даст нам 16 еще меньших долей линии, каждая по 1/9 длины. Так что вся длина теперь 16/9 или (4/3)2. В итоге получили дробную размерность. Но не только это отличает образовавшуюся структуру от прямой. Она стала самоподобной и ни в одной ее точке невозможно провести касательную (рис.48 (Б))

Рис. 48

Применение фракталов на рынке

Учитывая все выше сказанное о фракталах и их свойствах, мы, работая с нелинейной системой финансовых данных, можем применить их в своей повседневной торговле. И так давайте рассмотрим основные преимущества фракталов на валютном рынке:

1. Применение фракталов позволит мгновенно запоминать практически всю историю котировок валютной пары. Когда вы будете запоминать большое количество ценовых данных, то начнете лучше чувствовать торговлю. Вы будете узнавать модели, о существовании которых и не представляли.

Почему именно применение фракталов дает вам это? Потому что применяя их, вы приводите хаос в порядок, а когда система упорядочивается у вас в голове, вы без труда сможете отыскать нужный вам элемент на рынке, это достигается с помощью специальных упражнений, которые будут описаны в конце данного курса.

2. Вы сможете анализировать десятки пар, поскольку теперь это вам не составит труда. Применение свойств фракталов, позволит вам с одного взгляда определить и сориентироваться на рынке.

3. Применяя теорию фракталов можно не пользоваться другими методами анализа и сделать ее уникальной в своем роде.

4. У вас поменяется взгляд на ход биржевых котировок. Вы не будете задаваться вопросом где я? У вас все время будут варианты действий.

5. Вы начнете находить на графике ситуации АНАЛОГИЧНЫЕ ходу цены валют в данной момент времени, что позволит вам предотвратить не разумные потери и сделать достоверный прогноз.

6. Теория фракталов это бездна идей и их применения. Применяя их свойства к финансовым данным, вы можете создать свою неповторимую торговую систему, в которой будет сочетание технического и фрактального анализа.

7. Вы по-другому взглянете на влияние новостей на рынок.

8. И что самое главное, теперь у вас всегда будет карта, без которой вы уже не будете себя представлять в бесконечном и манящем мире валют.

Конечно же я перечислил не весь список положительных сторон применения фракталов на рынке, остальные заключения вы уже сделаете самостоятельно изучив данный курс до конца.

(Материалы приведены на основании: А. Алмазов. Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки)

• 07 октября 2016, 15:50
• Маркин Павел
• Печать

Упрощенный алгоритм вычисления приближенного значения размерности Минковского, для ценового ряда.

Краткая справка:

Размерность Минковского - это один из способов задания фрактальной размерности ограниченного множества в метрическом пространстве, определяется следующим образом:

• где N(ε) минимальное число множеств диаметра ε, которыми можно покрыть исходное множество.

Размерность Минковского имеет так же другое название - box-counting dimension , из-за альтернативного способа ее определения, который кстати дает подсказку к способу вычисления этой самой размерности. Рассмотрим двумерный случай, хотя аналогичное определение распространяется и на n-мерный случай. Возьмем некоторое ограниченное множество в метрическом пространстве, например черно-белую картинку, нарисуем на ней равномерную сетку с шагом ε, и закрасим те ячейки сетки, которые содержат хотя бы один элемент искомого множества.Далее начнем уменьшать размер ячеек, т.е. ε, тогда размерность Минковского будет вычисляться по вышеприведенной формуле, исследуя скорость изменения отношения логарифмов.

• комментировать
• Комментарии ( 23 )

Индикатор фрактального измерения FDI

• 16 апреля 2012, 18:17
• Chartist
• Печать

Подготовлено по материалам Эрика Лонга.

В данной работе сделана попытка «перевести» теорию фрактального анализа (работы Петерса, Мандельброта) для практического использования.
Хаос существует везде: во вспышках молний, погоде, землетрясениях и на финансовых рынках. Может показаться, что хаотические события случайны, но это не так. Хаос это динамическая система, которая кажется случайной, однако на самом деле представляет собой высшую форму порядка.
Социальные и природные системы, включая частные, правительственные и финансовые учреждения все подпадают под эту категорию. В каждой из систем, созданных людьми, существует множество взаимосвязанных вводных, которые влияют на систему самым непредсказуемым образом.
Когда мы обсуждаем теорию хаоса, применительно к торговле, мы ставим своей целью определить кажущееся случайным событие на рынке, которое, однако, имеет некоторую степень предсказуемости. Для этого нам необходим инструмент, который позволил бы представить хаотический порядок. Этим инструментом является фрактал. Фракталами называются объекты с автомодельными отдельными частями. На рынке, фракталом может быть назван объект или «временные последовательности», которые напоминают друг друга в разных временных диапазонах: 3-минутном, 30-минутном, 3-дневном. Объекты могут отличаться друг от друга на разных шкалах исследования, однако, если рассмотреть их отдельно они должны иметь общие черты для всех временных диапазонов.

Предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа . Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Примеры

Более подробно

Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра 1 / n , нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра 2 / n . Поэтому для отрезка имеем . То есть, при увеличении n в два раза ρ(n ) увеличивается тоже в два раза. Иными словами, ρ(n ) - линейная функция.

Для квадрата аналогичное рассуждение дает . То есть, при увеличении n в два раза ρ(n ) увеличивается в 4 раза. Иными словами, ρ(n ) - квадратичная функция. Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для неё . Подставляя n = 3 k , получаем . Отсюда следует, что размерность равна ln4 / l n 3 .

Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет 4 n равных отрезков, длиной 3 − n . Возьмём за ε отрезок длиной 3 − n , тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится 4 n отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→. Получим

Свойства

• Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа , это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
• Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
• Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Фракия (ист. область на Балканском п-ве)
• Фрактальная вселенная

Смотреть что такое "Фрактальная размерность" в других словарях:

Размерность (значения) - Размерность: В математике Теория размерности часть топологии, в которой изучаются размерности числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность пространства количество независимых параметров, необходимых для… … Википедия

Размерность - Размерность: В математике Теория размерности часть топологии, в которой изучаются размерности числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность пространства количество независимых параметров, необходимых для описания состояния… … Википедия

Фрактальная графика - Множество Мандельброта классический образец фрактала Фрактал (лат. fractus дробленый) термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре… … Википедия

Фрактальная вселенная

Фрактальная космология - Теория бесконечной вложенности материи (фрактальная теория) в противоположность атомизму, альтернативная философская, физическая и космологическая теория. Данная теория основывается на индуктивных логических выводах о строении наблюдаемой… … Википедия

Фрактальная теория - Теория бесконечной вложенности материи (фрактальная теория) в противоположность атомизму, альтернативная философская, физическая и космологическая теория. Данная теория основывается на индуктивных логических выводах о строении наблюдаемой… … Википедия

Турбулентность - О фильме с таким названием см. Турбулентность (фильм). Механика сплошных сред … Википедия

Беспорядочное течение

Турбулентный поток - Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия

Турбуленция - Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия

Книги

• Динамический хаос , С. П. Кузнецов. Излагаются основы представлений о динамическом хаосе - феномене, который активно исследуется в последнее время и встречается в нелинейных системах различной природы - механических,…

Введение во фракталы

Основы теории фракталов

Методы определения фрактальных характеристик объектов

Чтобы понять природу, человек строит объекты различной геометрии. В природе объекты встречаются самых разных размеров - от атомных масштабов до Вселенной. Геометрия траекторий частиц, линий тока в гидродинамике, волн, обводов корабельных корпусов и береговых линий, ландшафтов, гор, ост­ровов, рек, ледников и отложений, зерен в скалистых породах, металлах и ком­позитных материалах, растений, насекомых и живых клеток, а также геометри­ческая структура кристаллов, молекул химических веществ и, в частности, про­теинов - словом, геометрия природы занимает центральное место в различных областях естествознания, и поэтому люди склонны считать геометрические ас­пекты чем-то само собой разумеющимся. Представители каждой области стре­мились развить свои приспособленные к ее потребностям понятия (например, такие, как морфология, четырехмерное пространство, текстура), интуитивно используемые учеными, работающими именно в этой области. По традиции, основой интуитивного понимания геометрии природы служили евклидовы прямые, окружности, сферы, тетраэдры и т.п.

Математики разработали и математические понятия, выходившие за рамки традиционной геометрии, однако, в прошлом эти понятия не привлекли к себе должного внимания со стороны представителей естественных наук из-за весьма абстрактного и «педантичного» изложения и из-за предостережений относи­тельно «опасности», связанной с использованием такого рода нетрадиционных геометрических представлений.

Своими яркими и фундаментальными работами Бенуа Мандельброт про­будил всеобщий интерес к фрактальной геометрии - понятию, введенному са­мим Мандельбротом. В частности, он поведал миру об объектах, названных им фракталами, избрав для этого весьма необычную форму изложения. Книга Бе­нуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» - общепризнанный стандартный справочник по фракталам, содержащий как элементарные поня­тия, так и необычайно широкий круг новых и отнюдь не элементарных идей, находящихся сейчас в центре внимания тех, кто занимается геометрией фракта­лов. Синтетические фрактальные пейзажи выглядят настолько правдоподобно, что большинство людей принимают их за естественные. Появление в последние годы компьютеров и компьютерной графики привело к исследованию нетради­ционных геометрических объектов во многих областях естественных наук.

Мандельброт написал огромное количество научных работ, посвященных геометрии явлений, наблюдаемых во многих областях человеческой деятельно­сти. Он исследовал фрактальную геометрию изменений цен и распределений заработной платы, статистики ошибок при вызовах на телефонных станциях, частот слов в печатных текстах, различных математических объектов и многого другого. Мандельброт написал три книги о фрактальной геометрии, сделавшие более доступными его специальные работы и вдохновившие многих на приме­нение фрактальной геометрии в области собственных исследований.

Понятие «фракталы» захватило воображение ученых, работающих во мно­гих областях науки, и работы, в которых фракталы обсуждаются с самых раз­ных позиций, появляются теперь почти ежедневно. Книги Мандельброта заме­чательны в нескольких отношениях. И прежде всего - они междисциплинарны: автор рассматривает геометрию деревьев, русел рек, легких, а также изменения уровней водной поверхности, турбулентность, экономику, частоты появления слов в различных текстах и многое-многое другое. Все эти, казалось бы, разно­родные вопросы Мандельброт связывает со своими геометрическими представ­лениями. В своих книгах он умышленно избегает введений и заключений, тем самым подчеркивая свое глубокое убеждение в том, что по мере расширения работ в области фрактальной геометрии, его идеи позволят все более глубоко постигать самую суть геометрии природы. Он предлагает лишь пробное опре­деление понятия «фрактал» и тут же поспешно заявляет, что предложенное им определение отнюдь не является окончательным! Более того, впоследствии он отказывается от своего определения. В своих книгах Мандельброт пытается убедить читателя в том, что фрактальная геометрия важна для описания приро­ды, но ускользает от читателя, когда тот пытается проследить за деталями ар­гументации автора. Математические доказательства перемешиваются на стра­ницах книг Мандельброта с анекдотами и историческими сведениями. Совер­шенно разные вопросы перемешаны в его книгах так, что разделить их практи­чески невозможно. Но, вооружившись терпением, любознательный читатель найдет в книгах Мандельброта необычайно широкий спектр замечательных идей, глубоких замечаний и сможет почерпнуть в них подлинное вдохновение -эти книги поистине замечательны!

Наиболее сильное впечатление производят цветные иллюстрации. На них изображены фрактальная «планета», восходящая над горизонтом своей луны, горы, долины и острова, которых никогда не было. Эти иллюстрации, выпол­ненные Р.Ф. Фоссом, получены с помощью алгоритмов, обеспечивающих фрак­тальную природу пейзажей. Все пейзажи выглядят очень естественно, по-видимому, фракталы каким-то образом схватывают суть топографии земной поверхности.

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия», появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимал­ся. В его работах использованы научные результаты трудов ученых, работав­ших в 1875-1925 годах в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф и другие). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Внимание, которое привлекают фракталы, видимо, имеет несколько при­чин. Во-первых, фракталы очень просты при моделировании многих явлений и процессов, которые трудно отличить от естественных. Во-вторых, при фрак­тальном анализе процессы сложной формы представляются в достаточно про­стой и наглядной форме, что позволяет получить больше информации о про­цессе.

В настоящее время, наибольшее применение фракталы нашли в машинной графике и компьютерных системах сжатия информации. Они приходят на по­мощь, например, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графи­ки, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природ­ные.

Фракталом, по определению Мандельброта, называется объект, размер­ность которого не равна его топологической размерности и может принимать нецелочисленные значения. Такая размерность называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича или фрактальной размерностью. Многочисленные исследо­вания показывают, что фрактальная геометрия является обобщением евклидо­вой, имеющей дело с целочисленными топологическими размерностями (О - точка, 1 - линия, 2 - плоскость, 3 - объем). К фрактальным объектам отно­сятся все природные объекты, например, такие как береговая линия, имеющая размерность 1,52 (береговая линия Норвегии), облака - 2,31, кровеносная сис­тема человека - 2,7 и т.п. На данный момент обоснованной физической интер­претации дробной размерности нет, хотя предпринимаются попытки ее создать.

Основным свойством фракталов является самоподобие . В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем объекте, т.е. вид фракталов практически не меняется при любом увеличении. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «фракталом называется структу­ра, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Процес­сы, порождающие самоподобные структуры , известны довольно давно. Это процессы с обратной связью , в которых одна и та же операция повторяется сно­ва и снова, при этом результат одной итерации является начальным значением следующей. Но здесь очень важно, чтобы зависимость между результатом и на­чальным значением была нелинейной. Одним из исследователей фракталов был Гастон Жюлиа, который открыл множество Жюлиа, представляющее собой границу, в различных частях которой встречается одна и та же форма разных масштабов. Он установил, что можно восстановить всю границу по любой ее части. С тех пор в математике и в физике стали широко изучаться самоподоб­ные структуры, в том числе и фракталы.

Все многообразие фракталов делится на геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы самые наглядные. В случае, если геометриче­ские фракталы двухмерные их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности, если фракталы трехмерные), называемой затравкой или первона­чальным генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков , составляю­щих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометриче­ский фрактал . На рисунках 1.1-1.6 представлены наиболее известные геомет­рические фракталы и их первоначальные генераторы.

Рис. 1.2. Кривая Коха (а) и ее первоначальный генератор (б)

Алгебраические фракталы . Это самая крупная группа фракталов. Получа­ют их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс как дискретную динамическую систему, можно пользоваться термино­логией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, ат­трактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают не­сколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась ди­намическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или, как говорят, аттрак­тор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракто­ров. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно по­лучить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узора­ми. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью прими­тивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. Ти­пичными представителями этого класса фракталов являются множества Жюлиа (рис. 1.7) и множество Мандельброта (Рис. 1.8).

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом меняются какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные: несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы ис­пользуются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например, деление фрак­талов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерми­нированные (стохастические).

Контрольные вопросы

1. Кто и когда ввел понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия»?

2. Что означает слово «фрактал»?

3. Почему фракталы нашли свое применение в человеческой деятельности?

4. Каково основное свойство фракталов?

5. На какие классы делятся фракталы?

6. Как образуются геометрические фракталы?

7. Что такое первоначальный генератор для геометрических фракталов?

8. Примеры геометрических фракталов.

9. Как образуются алгебраические фракталы?

10. Что такое аттрактор?

11. Примеры алгебраических фракталов.

12. Как образуются стохастические фракталы?

13. Примеры стохастических фракталов.

Чтобы понять, что такое фрактальная размерность, для примера рассмот­рим береговую линию Норвегии (рис. 1.9).

Какова ее длина? В масштабе карты хорошо видны глубокие фиорды на западном побережье. Идя вдоль берега, то и дело можно встретить скалы, острова, бухты и обрывы, которые похожи друг на друга, даже если они не обозначены на самых подробных картах. Прежде чем ответить на поставленный вопрос, необходимо решить, стоит ли включать в береговую линию острова. Как быть с реками? В каком месте фиорд переста­ет быть фиордом и где именно он переходит в реку? Ответить на эти вопросы иногда легко, иногда не очень. Но, даже если мы сумеем удовлетворительно от­ветить на все вопросы такого рода, одна трудность все же остается. Дело в том, что при измерении длины береговой линии, циркулю можно придать раствор, соответствующий км и сосчитать число шагов , которые понадобились бы, чтобы пройти по карте из конца в конец все побережье.

В спешке можно было бы выбрать раствор циркуля настолько большим, что не понадобилось бы заботиться даже о самых глубоких фиордах, и принять за длину береговой линии величину . Если подобная оценка не удов­летворяет, то можно выбрать несколько меньший раствор циркуля и повто­рить все сначала. На этот раз в длину береговой линии вошли бы и наиболее глубокие фиорды. Для еще более точного подсчета длины береговой линии по­надобятся более точные карты. Ясно, что при решении такого рода вопросов уточнения можно вносить бесконечно. Всякий раз, когда мы будем увеличивать разрешающую способность, длина береговой линии будет разрастаться. Кроме того, при использовании циркуля будут возникать проблемы с островами и ре­ками. Альтернативный способ измерения длины береговой линии состоит в том, чтобы покрыть карту сеткой, как показано в верхней части рисунка 1.9. Пусть квадратные ячейки сетки имеют размеры . Число таких ячеек, необходимых для покрытия береговой линии на карте, приблизительно равно числу шагов, за которое можно обойти по карте береговую линию циркулем с раствором . Уменьшение приводит к увеличению числа ячеек, необходимых для покрытия береговой линии. Если бы береговая линия Норвегии имела вполне определенную длину , то можно было бы ожидать, что число шагов циркуля или число квадратных ячеек , необходимых для покрытия берего­вой линии на карте, будет обратно пропорционально , а величина при уменьшении будет стремиться к постоянной . Однако это не так.

На рисунке 1.11 воспроизведен график (данные взяты из книги Мандельб­рота «Чему равна длина береговой линии Британии?»), на котором показана кажущаяся длина береговых линий и сухопутных границ. Все точки выстраи­ваются (в дважды логарифмическом масштабе) вдоль прямых. Угловой коэф­фициент этих прямых равен 1 - D где D - фрактальная размерность береговой линии (или сухопутной границы). Береговая линия Великобритании имеет D~ 1,3. Мандельброт приводит также данные для окружности и находит, что .

Контрольные вопросы:

1. Что такое размерность объекта?

2. Что такое топологическая размерность?

3. Как определяется фрактальная размерность природных объектов?

4. Чему равна фрактальная и топологическая размерности окружности,
груга, квадрата, сферы и шара?

5. Чему равна топологическая размерность береговой линии?

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Размерность фрактальных поверхностей

1. Введение в размерность

3. Природные фракталы

6. Фрактальная размерность

7. Подобие и скейлинг

9. Показатель Хёрста

Список литературы

1. Введение в размерность

Важной характеристикой инженерной поверхности, наряду со стандартными параметрами шероховатости, является фрактальная размерность. Рассмотрим один из способов определения фрактальной размерности поверхности по соотношению "периметр-площадь".

Как известно, эвклидова размерность точки DE=d=0. Найдем размерность геометрических фигур, взяв в качестве примера диаметральное сечение шара радиусом r:

· длина (диаметр) L=2r (L=Vd=1),

· площадь сечения A=r2 (A=Vd=2),

· объем шара V=(4/3)r3 (V=Vd=3).

Эти известные измеряемые величины могут быть определены по общей формуле

где Г(х) ? гамма функция, равная

Если n ? целое число, то

при n=0,1,2,…

2. Размерность геометрических объектов

Размерность фрактального объекта определяется исходя из понятия фрактала. Фрактал - это множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше топологической размерности. Фрактал обладает дробной размерностью.

В двухмерном случае фрактальную кривую получают с помощью некоторой ломаной линии (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную линию, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Коха. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис. 1) ? это 0-е поколение кривой.

Рис. 1. Процедура построения кривой Коха

Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Коха. В 1-м поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/

Для получения 3-го поколения проделываются те же действия: каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом.

Кривая Коха представляет собой структуру, состоящую из частей, которые в некотором смысле подобны целому. Такие геометрические объекты относят к самоподобным объектам. Это означает, что в широком диапазоне масштабов топографические особенности и повторения объекта одни и те же.

Так, для кривой Коха, выбрав фрагмент, равный 1/3 отрезка линии, длиной, равной единице, и увеличив его в три раза, получим исходный отрезок, равный единице. Такие объекты обладают скейлингом, или масштабом измерения.

На рис. 1 представлены три поколения кривой. Если взять за основу не прямую, а треугольник и применить тот же алгоритм для каждой из сторон, то мы получим фрактал, называемый снежинкой (островом) Коха (рис. 2).

Рис. 2. Остров ("снежинка") Коха

При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис. 2 представлены первые поколения кривой, построенной по описанному принципу.

Предельная фрактальная кривая (при n> ?) называется "драконом" Хартера-Хейтуэя (рис. 3). На рис. 4 представлен "ковер" польского математика Серпинского.

Рис. 3. Процедура построения "дракона" " Хартера-Хейтуэя

Рис. 4. Построение "ковра" Серпинского

3. Природные фракталы

Облака, горы, кусты, деревья и другие растения тоже имеют фрактальную структуру. Рассмотрим процесс роста куста (рис. 5). Сначала появилась веточка, потом она выпустила два побега, на следующем этапе каждый побег вновь раздвоился, то же самое происходит на следующем этапе, и в результате из начальной "вилки" двух побегов вырастает причудливое самоподобное растение.

Рис. 5. Модель куста

Оно получено многократным повторением исходного эталона (n=1). На рис. 5 и 6 показаны примеры построения фрактальных объектов, сходных с природными образованиями (рис. 7).

Рис. 6. Построение фрактального объекта

Рис. 7. Природные фрактальные объекты:

а - горец почечуйный; б? дуб; в? сушеница топяная; г - хвощ

4. Размерность Хаусдорфа-Безиковича

Для оценки размерности Хаусдорфа-Безиковича рассмотрим измерение множества точек? метрического пространства (рис. 8).

Рис. 8. Точки в метрическом Пространстве

Разобьем пространство на квадратные ячейки с размером стороны ячейки д и подсчитаем число ячеек, покрывающих это множество. Уменьшение размера ячейки приводит к росту числа ячеек, покрывающих множество. Каждая ячейка имеет площадь д2, тогда площадь множества

где N(д) - число ячеек, покрывающих множество.

Рассмотрим некоторые величины, характеризующие множество. Так, "длина" поверхности определяется выражением

Так как, то "длина" поверхности, определяемая предельным переходом, равна:

"Объем" поверхности

Таким образом, "длина" множества стремится к бесконечности, а "объем" ? к нулю.

Для характеристик" величины" (длины, объема) множества точек? используется некоторая пробная функция, которая определяет размеры ячейки: длину при d=1, площадь при d=2, объем при d= "Величина", или мера множества? определяется как сумма "величин" всех ячеек, покрывающих метрическое пространство?:

Константа зависит от формы ячеек (для квадратной ячейки).

При некотором показателе степени d мера Md при д>0 равна либо нулю, либо бесконечности, либо некоторому (не обязательно целому) конечному положительному числу. Значение d, при котором мера Md не равна нулю или бесконечности, адекватно отражает топологическую размерность множества?.

Число dcr такое, что

называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича.

Для "простых" (не фрактальных) геометрических объектов размерность Хаусдорфа-Безиковича совпадает с топологической размерностью. Для фрактальных объектов скачок меры Md от нуля к бесконечности происходит при дробных значениях d.

Пусть функция N(д) зависит от д со степенной особенностью в нуле

где б(д)дd >0 при д>0.

С точностью до бесконечно малых величин запишем

Таким образом, имеем

5. Измерение длины негладкой (изломанной) линии

Как измерить длину береговой линии?

Рассмотрим следующие сравнительно простые приемы измерения.

Пометим точками A и B начало и конец измеряемого участка (рис. 9).

Рис. 9. Измерение длины линии раствором циркуля или с помощью сетки

Одна из процедур измерения длины заключается в следующем.

Будем измерять длину линии от точки А до точки B отрезками длиной д.

Подсчитав число отрезков, найдем длину С уменьшением раствора циркуля д число отрезков N(д) растет. Типичная зависимость L(д) от д в логарифмических координатах представлена на рис. 10.

Рис. 10. Зависимость измеренной длины изломанной (береговой) линии от масштаба (длины отрезка д )

Не останавливаясь на недостатках этого метода, особенно при определении фрактальной размерности профиля шероховатой поверхности, рассмотрим другой (альтернативный) метод.

Покроем рассматриваемый участок квадратной сеткой (правая часть рис. 9) и подсчитаем число ячеек, покрывающих рассматриваемую линию.

Уменьшение размера ячеек приводит к увеличению числа ячеек, покрывающих линию AB. Следует ожидать, что число шагов измерительного циркуля или число покрывающих линию ячеек будет обратно пропорционально д или д*х д*, а величина будет стремиться к постоянному для данной линии значению L(д). Однако при уменьшении д или размера ячеек сетки длина линии не стремится к постоянному значению. При д>0 измеряемая длина непрерывно растет, т.е. при д>0 величина L(д) не является пределом.

Измеренная длина линии может быть описана следующей приближенной формулой:

где D - фрактальная размерность линии.

Легко показать, что для прямой линии и, например, для окружности D=1. Длина окружности при уменьшении д стремится к постоянному значению, равному 2рR, где R-радиус окружности.

фрактальный размерность поверхность скейлинг

6. Фрактальная размерность

Б. Мандельброт (B.B. Mandelbrot) предложил следующее определение фрактала. Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича (Х-Б) которого строго больше его топологической размерности (Е. Федер, 1991). Нестрогое определение, не требующее разъяснения понятий множество, размерность Х-Б, топологическая размерность, формулируется так: фрактал? это структура, состоящая из частей, подобных целому. Или еще проще: фрактал - это структура с дробной размерностью.

Зависимость N(д) числа отрезков д (или числа ячеек, покрывающих линию) от размера отрезка (или размера ячеек) описывается следующим с точностью до множителя соотношением:

где D - фрактальная размерность.

Если построить зависимость lgN(д)-lg(д), то фрактальная размерность равна угловому коэффициенту (наклону) графика, т.е.

Размерность, определяемая путем подсчета числа клеток (ячеек), покрывающих линию в зависимости от размера клетки, называют клеточной размерностью.

Фрактальная размерность поверхности. Покроем исследуемый участок поверхности системой одинаковых треугольников и подсчитаем суммарную площадь покрытия, равную

где AД-площадь треугольника. Разделим полученную площадь на величину номинальной площади-проекции реальной поверхности на плоскость, определяемую геометрическим очертанием исследуемого участка.

Тогда, построив в двойных логарифмических координатах зависимость относительной площади покрытия от площади покрывающего элемента, можно найти в определенном диапазоне изменения площади элемента наклон или угловой коэффициент прямой, величина которого берется со знаком минус.

В результате расчета находят фрактальную размерность поверхности, равную

Фрактальная размерность поверхности изменяется в пределах 2

7. Подобие и скейлинг

Дадим определение геометрического подобия.

Две геометрические фигуры называются подобными, если: 1) угол между каждыми двумя линиями в одной из них равен углу между соответствующими линиями в другой и 2) каждый прямолинейный отрезок в одной из них находится в постоянном отношении с соответствующим ему отрезком в другой.

Так, два многоугольника подобны, если их соответствующие углы равны, а длины сторон, заключающих эти углы, пропорциональны.

Кроме геометрического подобия, различают кинематическое и динамическое подобия для механических явлений, лежащие в основе процедур моделирования.

Прямая линия при параллельном переносе остается самой собой.

Можно утверждать, что прямая инвариантна относительно параллельного переноса и изменения масштаба (скейлинга), т.е. она самоподобна.

Таким образом, скейлинг - это отражение масштабной инвариантности.

Для отрезка прямой единичной длины можно выбрать коэффициент подобия

где N - любое целое число (N >1).

Прямоугольный участок плоскости можно покрыть уменьшенными копиями, если их длины изменить в r(N)=(1/N)1/2 раз.

Аналогично прямоугольный параллелепипед можно покрыть его уменьшенными копиями, выбрав масштабный множитель r(N)=(1/N)1/ В общем случае масштабный множитель следует выбрать равным

где d - размерность подобия, равная 1 - для прямой, 2 - для плоскости и 3 - для объемных фигур.

Для фрактальных геометрических структур размерность подобия Dp определяется выражением

8. Самоподобие и самоаффинность

В качестве примера возьмем движение броуновской частицы. Ее координаты на плоскости (х,y) и время (t) являются физическими величинами, имеющими разную размерность. Вот почему координаты и время будут иметь разные коэффициенты подобия. Аффинное преобразование переводит точку x=(x1,x2,…,xE) в новую точку x"=(r1 x1, r2 x2,…,rE xE), где не все коэффициенты подобия r1, …,rE одинаковы.

Для самоаффинного профиля можно записать

Здесь b-масштаб увеличения; Н-показатель степени (показатель Хёрста).

Показатель Хёрста изменяется в диапазоне 0

9. Показатель Хёрста

Показатель Хёрста позволяет определить фрактальную размерность последовательности измерений, в частности, он использовался в качестве инструмента для статистической оценки высот волн [Е. Федер]. Считается установленной связь между показателем Хёрста и фрактальными размерностями высот волн и поверхности, которая выражается следующими простыми соотношениями для профиля и поверхности: D=2-H; DS=3-H. Рассмотрим методику определения показателя Хёрста.

1. Находим N высот вершин выступов H={h1, h2,…,hN}T и определяем относительные значения этих высот х1,х2,…,хN, хi, где. Если высоты выступов подчиняются бетараспределению, то значения хi хi.

2. Находим выборочное (из N высот выступов) среднее

Определяем накопившееся отклонение

График изменения накопившегося отклонения для высот выступов, имеющих бета-распределение при N=50, представлен на рис. 11.

Рис. 11. Зависимость накопившегося отклонения X(n,N) от N

Из графика находим размах R.

4. Вычисляем стандартное отклонение? выборочное среднее квадратическое отклонение относительных высот выступов

5. Представим отношение R/S, зависящее от показателя Хёрста, в виде

где Нпоказатель Хёрста.

При репрезентативной выборке высот выступов показатель Н можно найти, используя приведенное эмпирическое выражение Хёрста. Представляет интерес найти зависимость R/S от числа рассматриваемых выступов N. Эта зависимость в логарифмических координатах будет представлять собой прямую линию, наклон которой определяется показателем Хёрста. Фрактальная размерность последовательности относительных значений высот выступов будет равна D=2-H.

Рассмотрим следующий пример. В качестве исходных данных были взяты ординаты профиля поверхности (с шагом 10 мкм). Длина трассы составила 800 мкм. Ординаты имели вертикальное увеличение, равное 50 000. На рис. 12 показаны профиль поверхности (кривая 1) и накопленное отклонение ординат от средней линии (кривая 2).

Рис. 12. Профиль поверхности (1) и накопленное отклонение (2) ординат от средней линии профиля

Размах зависит от рассматриваемой длины профилограммы (числа номеров ординат). Ясно, что размах растет с увеличением. Зависимость нормального размаха, определяемого выражением (R/S), от показана в логарифмических координатах для рассматриваемой стальной поверхности на рис. 1.

Рис. 13 Метод нормированного размаха для оценки фрактальной размерности профиля

Рассмотрим алгоритм определения показателя Хёрста с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Будем искать уравнение регрессии в виде

где y=lg(R/S), b=lg(a), m=H, x=lg(ф/2).

Вход: N (число точек), (оi, зi), i=1,2,…,N (координаты точек)

Выход: b=lg(a) (сдвиг), m=H (наклон)

Алгоритм:

Аппроксимирующей функцией зависимости, представленной на рис. 13, является степенная зависимость вида:

Таким образом, показатель Хёрста равен H=0,35, и фрактальная размерность профиля оценивается величиной D=2 H=2 0,35=1,65.

Статистическая самоаффинность обусловлена сходством внешнего вида профиля при разных масштабах. Иными словами, шероховатая поверхность всегда негладкая при рассмотрении с разным увеличением.

При 0,5

При 0

В качестве примера на рис. 14 показана последовательность временного ряда (или ординат профиля шероховатой поверхности) и зависимость нормированного размаха от времени (длины профиля).

Рис. 14. Последовательность ординат и зависимость нормированного размаха от длины

Обращает на себя внимание разное значение показателя Хёрста на трех участках R/S - анализа. При малом числе элементов показатель Хёрста близок к единице и не совсем отражает фрактальную структуру объекта.

Сейлс и Томас (R.S. Sayles, T.R. Thomas) измерили и проанализировали шероховатость поверхностей разнообразных объектов, в том числе и инженерных металлических поверхностей.

Высота поверхности z измерялась в различных точках х вдоль некоторого направления. Имея большое число измерений по всему участку поверхности, можно рассчитать шероховатость поверхности, определяемую дисперсией:

Здесь угловые скобки обозначают усреднение по серии измерений (иногда многократных повторных) топографии поверхности. Точка отсчета по вертикали выбирается так, что

Важной мерой статистических свойств поверхности является корреляционная функция, определяемая соотношением:

Для стационарных поверхностей корреляционную функцию можно выразить через спектр мощности G() с помощью преобразования Фурье

Здесь щ - частота.

Для шероховатой поверхности нижний и верхний пределы интегрирования будут соответствовать щ min и щ max.

Оценка частот характеризуется первым и вторым кроссоверами (рис. 1.3).

Для самоаффинного или самоподобного профиля поверхности спектральная плотность имеет степенной вид

Здесь f - частота дискретизации; а и b - коэффициенты регрессии.

Коэффициент а носит название коэффициент изрезанности, а b - характеризует фрактальную размерность профиля.

10. Соотношение "периметр-площадь"

Сравним соотношение "периметр-площадь" для нефрактальных (табл. 1) и фрактальных геометрических объектов.

1. Нефрактальные объекты.

Таблица 1. Соотношение "периметр - площадь" в эвклидовой геометрии

2. Фрактальные объекты.

По аналогии с нефрактальными объектами запишем соотношение "периметр-площадь" в виде

Здесь P - периметр; A - площадь; R(д) - параметр, зависящий от масштаба измерения (размера квадратной ячейки); D - фрактальная размерность "береговой" линии (1 < D < 2).

Учитывая, что периметр определяется выражением

запишем соотношение (1) в виде

Здесь с - коэффициент.

Изменение периметра при разных масштабах измерения определяется по формуле

Соотношение (2) выражает условие самоподобия "островов" с фрактальными границами (при этом масштаб измерения д должен быть достаточно маленьким, чтобы точно измерять область наименьшего острова).

Прологарифмируем соотношение (2)

Преобразовав полученное выражение, запишем:

На рис. 15 показана зависимость "периметр - площадь", представленная в логарифмических координатах.

Угловой коэффициент прямой, представленной на рис. 15, равен 2/D.

Рис. 3.15. Зависимость "площадь - периметр"

Анализ выражения (3) показывает, что величиной

2lg(c1/Dд1-D)/D),

зависящей от масштаба измерения д, можно пренебречь, так как при достаточно большом масштабе измерения "остров" становится нефрактальным объектом. Действительно, при D=DE=1 и масштабе, при котором с=1, имеем:

Окончательно запишем

Из выражения (4) найдем фрактальную размерность "береговой" линии

График (рис. 15), построенный в двойных логарифмических координатах, отражает условие самоподобия и позволяет найти фрактальную размерность.

Процедура определения фрактальной размерности заключается в покрытии фрактального объекта? "острова" - квадратной сеткой с размером ячейки д.

В этом случае периметр и площадь фигуры можно определить по формулам

где - число заполненных "береговой" линией ячеек; - число ячеек, покрывающих площадь "острова".

Таким образом, после подсчета и, по формулам (5) и (4) вычисляется фрактальная размерность D.

Для определения фрактальной размерности поверхности используем подход, предложенный Б. Мандельбротом

11. Размерность фрактальных поверхностей

Соотношение периметр-площадь используют, чтобы характеризовать множество фрактальных объектов, используемых в широком диапазоне научных и технических проблем.

В частности, это соотношение эффективно используется в работах, в которых дается характеристика поверхностей излома стали и методика для определения конкретных поверхностей изломов.

Применительно к инженерным поверхностям подобное соотношение используется редко. В основном при определении фрактальной размерности поверхности применяют метод покрытия. На рис. 16 представлены модели фрактальных поверхностей при разных значениях фрактальной размерности.

Для определения фрактальной размерности поверхности рассмотрим контакт фрактальной поверхности с гладкой.

В качестве примера возьмем сечение поверхности плоскостью, параллельной срединной плоскости. На рис. 17 представлено такое сечение фрактальной поверхности с DS = 2,6.

Рис. 16. Модели фрактальных поверхностей

Рис. 17. Сечение фрактальной поверхности

Считается, что все "острова" на рис. 17 самоподобны. Тогда для анализа соотношения периметр-площадь выделим характерный "остров" (рис. 18).

Рис. 18. Изображение "острова"

На рис. 19 представлена процедура определения фрактальной размерности клеточным методом.

Рис. 19. К оценке фрактальной размерности: покрытие фрактального объекта сеткой с квадратными ячейками (Paul S. Addison)

На рис. 20 представлен график зависимости "площадь-периметр" в двойных логарифмических координатах, построенный на основании рис. 19.

При этом считаем, что число квадратов пропорционально соответствующим параметрам: площади и периметра

Зависимость числа клеток, покрывающих площадь "острова" NA, от числа клеток, в которых попала "береговая" линия острова NP , построенная в логарифмических координатах при разных размерах стороны квадратной ячейки, оценивается в данном примере уравнением регрессии

NA=-69,14+3,303NP.

Рис. 20. Зависимости "площадь-периметр"

Фрактальная размерность определяется выражением

При исследовании контакта двух фрактальных поверхностей, имеющих свои фрактальные размерности, привлекательным моментом является замена двух фрактальных поверхностей на контакт гладкой поверхности с приведенной фрактальной.

С этой целью используем ранее рассмотренную процедуру. Смоделируем контакт двух поверхностей и определим пятна касания при некотором сближении.

На рис. 21 показана картина контакта двух поверхностей с выделенным для исследования "островом".

Рис. 21. Контакт фрактальных поверхностей

Список литературы

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт: [пер. с англ.]. - М.: Институт компьютерных исследований, 2012. - 656 с.

2. Федер Е. Фракталы / Е. Федер: [пер. с англ.]. - М.: Мир, 1991. - 254 с.

3. Mandelbrot B.B. Fractal character of fracture surfaces of metals / B.B. Mandelbrot //Nature, 1984. - V. 308. - P. 721-722.

4. Mu Z.Q. Studies on the fractal dimension and fracture toughness of steel / Z.Q. Mu, C.W. Lung // J. Phys. D: Appl. Phys., 1988. - V. 21. - P. 848-850.

5. Sayles R.S. Surface topography as a nonstationary random process / R.S. Sayles, T.R. Thomas // Nature, 1978. - V. 271. - P. 431-434.

6. Addison P.S. Fractals and Chaos-An Illustrated Course / P.S. Addison. - Inst.of Physics Publishing. - Bristol, 2007.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Сущность понятия "фрактал". Сущность фрактальной размерности. Размерность Хаусдорфа и ее свойства. Канторово множество и его обобщение. Снежинка и кривая Коха. Кривая Пеано и Госпера, их особенности. Ковер и салфетка Серпинского. Дракон Хартера-Хейтуэя.

курсовая работа , добавлен 23.07.2011


Представление о взаимном расположении поверхностей в пространстве. Линейчатые и нелинейчатые поверхности вращения. Пересечение кривых поверхностей. Общие сведения о поверхностях. Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою.

реферат , добавлен 10.01.2009


Характеристика семейства поверхностей. Касательная прямая и плоскость. Криволинейные координаты. Вычисление длины дуги кривой на поверхности и ее площади. Угол между двумя линиями на поверхности. Нормальная кривизна линий, расположенных на поверхности.

дипломная работа , добавлен 18.05.2013


Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007


Краткий обзор развития геометрии. Призма. Площадь поверхности призмы. Призма и пирамида. Пирамида и площадь ее поверхности. Измерение объемов. О пирамиде и ее объеме. О призме и параллелепипеде. Симметрия в пространстве.

реферат , добавлен 08.05.2003


Способы формообразования и отображения поверхностей. Закон образования поверхности. Основные свойства, вытекающие из закона образования поверхности вращения. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма. Образование каркаса циклических поверхностей.

реферат , добавлен 19.05.2014


Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.

курсовая работа , добавлен 28.06.2009


Классические фракталы. Самоподобие. Снежинка Коха. Ковер Серпинского. L-системы. Хаотическая динамика. Аттрактор Лоренца. Множества Мандельброта и Жюлиа. Применение фракталов в компьютерных технологиях.

курсовая работа , добавлен 26.05.2006


Из всех прямоугольников с площадью 9 дм2 найдите тот, у которого периметр наименьший.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

задача , добавлен 11.01.2004


Подробный анализ поверхностей Каталана и условия, отделяющие этот класс от класса линейчатых поверхностей. Формулы для расчета первой и второй квадратичных форм поверхностей класса КА. Доказательство утверждений о влиянии вида кривых на тип поверхности.