K - это элемент c ∈ K {\displaystyle c\in K} (либо элемент расширения поля K), такой, что выполняются два следующих равносильных условия: a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n = 0 {\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0}

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу . В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Говорят, что корень c {\displaystyle c} имеет кратность m {\displaystyle m} , если рассматриваемый многочлен делится на (x − c) m {\displaystyle (x-c)^{m}} и не делится на (x − c) m + 1 . {\displaystyle (x-c)^{m+1}.} Например, многочлен x 2 − 2 x + 1 {\displaystyle x^{2}-2x+1} имеет единственный корень, равный 1 , {\displaystyle 1,} кратности 2. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.

Свойства

P (x) = a n (x − c 1) (x − c 2) … (x − c n) , {\displaystyle p(x)=a_{n}(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),} где - (в общем случае комплексные) корни многочлена , возможно с повторениями, при этом если среди корней c 1 , c 2 , … , c n {\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}} многочлена p (x) {\displaystyle p(x)} встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем .

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро , Никколо Тарталья и Джероламо Кардано . Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени .

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов, было доказано норвежским математиком

§ 13. Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел 165

13.1. Основные определения 165

13.2. Основные свойства целых многочленов 166

13.3. Основные свойства корней алгебраического уравнения 169

13.4. Решение основных алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел 173

13.5. Упражнения для самостоятельной работы 176

Вопросы для самопроверки 178

Глоссарий 178

1. Основные определения

Целой алгебраической функцией илиалгебраическим многочленом (полиномом )аргумента x называется функция следующего вида

Здесьn –степень многочлена (натуральное число или 0),x – переменная (действительная или комплексная),a 0 , a 1 , …, a n –коэффициенты многочлена (действительные или комплексные числа),a 0  0.

Например,

;
;
,
– квадратный трехчлен;

,
;.

Числох 0 такое, чтоP n (x 0)0, называетсянулем функции P n (x ) иликорнем уравнения
.

Например,

его корни
,
,
.

так как
и
.

Замечание (к определению нулей целой алгебраической функции)

В литературе часто нули функции
называются ее корнями. Например, числа
и
называются корнями квадратичной функции
.

1. Основные свойствацелых многочленов

 Тождество (3) справедливо при x 
(илиx  ), следовательно, оно справедливо при
; подставляя
, получима n = b n . Взаимно уничтожим в (3) слагаемые а n и b n и поделим обе части на x :

Это тождество тоже верно при x , в том числе при x = 0, поэтому полагая x = 0, получим а n – 1 = b n – 1 .

Взаимно уничтожим в (3") слагаемые а n – 1 и b n – 1 и поделим обе части на x , в результате получим

Аналогично продолжая рассуждение, получим, что а n – 2 = b n –2 , …, а 0 = b 0 .

Таким образом, доказано, что из тождественного равенства двух целых многочленов следует совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x .

Обратное утверждение справедливо очевидно, то есть если два многочлена имеют одинаковыми все коэффициенты, то они есть одинаковые функции, определенные на множестве
, следовательно, их значения совпадают при всех значениях аргумента
, что и означает их тождественное равенство. Свойство 1 доказано полностью.

Пример (тождественное равенство многочленов)

.

 Запишем формулу деления с остатком: P n (x ) = (x – х 0)∙Q n – 1 (x ) + A ,

где Q n – 1 (x ) - многочлен степени (n – 1), A - остаток, который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена на двучлен «в столбик».

Это равенство верно при x , в том числе при x = х 0 ; полагая
, получим

P n (x 0) = (x 0 – x 0)Q n – 1 (x 0) + A  A = P n (х 0) 

Следствием доказанного свойства является утверждение о делении без остатка многочлена на двучлен, известное как теорема Безу.

Теорема Безу (о делении целого многочлена на двучлен без остатка)

Если число является нулем многочлена , то этот многочлен делится без остатка на разность , то есть верно равенство  (5)

 Доказательство теоремы Безу можно провести без использования ранее доказанного свойства о делении целого многочлена
на двучлен
. Действительно, запишем формулу деления многочлена
на двучлен
с остатком А=0:

Теперь учтем, что - это нуль многочлена
, и запишем последнее равенство при
:

Примеры (разложение многочлена на множители с использованием т. Безу)

1) ,так какP 3 (1)0;

2) ,так какP 4 (–2)0;

3) ,так какP 2 (–1/2)0.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.

Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом P n (x ):

после n -кратного применения этих теорем получим, что

где a 0 - это коэффициент приx n в записи многочленаP n (x ).

Если в равенстве (6)k чисел из наборах 1 ,х 2 , …х n совпадают между собой и с числом, то в произведении справа получается множитель (x –) k . Тогда числоx =называетсяk-кратным корнем многочлена P n (x ) , или корнем кратности k . Еслиk = 1, то число
называетсяпростым корнем многочлена P n (x ) .

Примеры (разложение многочлена на линейные множители)

1) P 4 (x ) = (x – 2)(x – 4) 3  x 1 = 2 - простой корень, x 2 = 4 - трехкратный корень;

2) P 4 (x ) = (x – i ) 4  x = i - корень кратности 4.

Если функция f(х) является полиномом, то все его корни можно определить, используя встроенную функцию

где v - вектор, составленный из коэффициентов полинома.

Поскольку полином n-й степени имеет ровно n корней (некоторые из них могут быть кратными), вектор v должен состоять из n+1 элемента. Результатом действия функции polyroots() является вектор, составленный из n корней рассматриваемого полинома. При этом нет надобности вводить какое-либо начальное приближение, как для функции root(). Пример поиска корней полинома четвертой степени показан на рис. 4. 6:

Рис. 4.6. Поиск корня полинома

Коэффициенты рассматриваемого в примере полинома записаны в виде вектора-столбца начиная со свободного члена и кончая коэффициентом при старшей степени x n .

Для функции polyroots() можно выбрать один из двух численных методов - метод полиномов Лаггера (он установлен по умолчанию) или метод парной матрицы. Чтобы сменить метод необходимо вызвать контекстное меню, щелкнув ПКМ на слове polyroots и в верхней части контекстного меню выбрать либо пункт LaGuerre (Лаггера), либо Companion Matrix (Парная матрица). Затем нужно щелкнуть вне действия функции polyroots – и если включен режим автоматических вычислений, будет произведен пересчет корней полинома в соответствии с вновь выбранным методом.

Для того чтобы оставить за Mathcad’ом выбор метода решения, нужно установить флажок AutoSelect (Автоматический выбор), выбрав одноименный пункт в том же самом контекстном меню.

Решение систем нелинейных уравнений

Рассмотрим решение системы n нелинейных уравнений с m неизвестными

f 1 (x 1 ,... ,х m) = 0,

f n (x 1 ,... ,х m) = 0,

Здесь f 1 (x 1 ,... ,х m) , ..., f n (x 1 ,... ,х m) - некоторые скалярные функции от скалярных переменных x 1 ,... ,х m и, возможно, от еще каких-либо переменных. Уравнений может быть как больше, так и меньше числа переменных. Заметим, что вышеприведенную систему можно формально переписать в виде

где х - вектор, составленный из переменных x 1 ,... ,х m , a f (х) - соответствующая векторная функция.

Для решения систем имеется специальный вычислительный блок, состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

Given - ключевое слово;

Система, записанная с помощью Булевых операторов в виде равенств и, возможно, неравенств;

Find(x 1 ,... ,х m) - встроенная функция для решения системы относительно переменных x 1 ,... ,х m .

Блок Given/Find использует для поиска решения итерационные методы, поэтому, как и для функции root(), требуется задать начальные значения для всех x 1 ,... ,х m . Сделать это необходимо до написания ключевого слова Given. Значение функции Find есть вектор, составленный из решения по каждой переменной. Таким образом, число элементов вектора равно число аргументов Find.

Рассмотрим пример. Решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

с точностью 0.01. Корни отделить графически.

Представим уравнения системы в виде следующих функций от одной переменной:

Подберем дискретные значения переменных:

Найдем корни уравнения с помощью блока Given – Find():

На рис. 4.7 приведен другой пример решения системы двух уравнений:

Рис. 4.7. Решение системы уравнений

Вначале рис. 4.7 вводятся функции, которые определяют систему уравнений. Затем переменным х и у, относительно которых она будет решаться, присваиваются начальные значения. После этого следует ключевое слово Given и два Булевых оператора равенства, выражающих рассматриваемую систему уравнений. Завершает вычислительный блок функция Find, значение которой присваивается вектору v. После печатается содержимое вектора v, т. е. решение системы. Первый элемент вектора есть первый аргумент функции Find, второй элемент - ее второй аргумент. В конце осуществлена проверка правильности решения уравнений. Заметим, что уравнения можно определить непосредственно внутри вычислительного блока.

Графическая интерпретация рассмотренной системы представлена на рис. 4.8. Каждое из уравнений показано на плоскости xy графиком. Первое уравнение изображено кривой, второе сплошной прямой. Две точки пересечения кривых соответствуют одновременному выполнению обоих уравнений, т. е. искомым действительным корням системы. Как нетрудно убедиться, на рис. 4.7 найдено только одно из двух решений - находящееся в правой нижней части графика Чтобы отыскать и второе решение, следует повторить вычисления, изменив начальные значения так, чтобы они лежали ближе к другой точке пересечения графиков, например x=-1, y=-1.

Рис. 4.8. Графическое решение системы двух уравнений

Был рассмотрен пример системы из двух уравнений и таким же числом неизвестных, что встречается наиболее часто. Однако бывают случаи, когда число уравнений и неизвестных может не совпадать. Более того, в вычислительный блок можно добавить дополнительные условия в виде неравенств. Например, введение ограничения на поиск только отрицательных значений х в рассмотренном выше примере приведет к нахождению другого решения, как это показано на рис. 4.9:

Рис. 4.9. Решение системы уравнений и неравенств

Несмотря на те же начальные значения, что и на рис. 4.8, на рис. 4.9 получен другой корень. Это произошло именно благодаря введению дополнительного неравенства, которое определено в блоке Given (x < 0).

Если предпринять попытку решить несовместимую систему, Mathcad выдаст сообщение об ошибке, что ни одного решения не найдено, и нужно попробовать поменять начальные значения или значение погрешности.

В качестве оценки погрешности решения уравнений, введенных после ключевого слова Given, вычислительный блок использует константу CTOL. Например, если CTOL=0.001, то уравнение х=10 будет считаться выполненным и при х=10.001, и при х=9.999. Другая константа TOL определяет условие прекращения итераций численным алгоритмом. Значение CTOL может быть задано пользователем так же как и TOL, например, CTOL:=0.01. По умолчанию принято, что CTOL=TOL=0.001, но по желанию можно их переопределить.

Особенную осторожность следует соблюдать при решении систем с числом неизвестных большим, чем число уравнений. Например, можно удалить одно из двух уравнений из рассмотренного нами рис. 4.7, попытавшись решить единственное уравнение g(х,у)=0 с двумя неизвестными х и у. В такой постановке задача имеет бесконечное множество корней: для любого х и, соответственно, у=-х/2 условие, определяющее единственное уравнение, выполнено. Однако, даже если корней бесконечно много, численный метод будет производить расчеты только до тех пор, пока логические выражения в вычислительном блоке не будут выполнены (в пределах погрешности). После этого итерации будут остановлены и выдано решение. В результате будет найдена всего одна пара значений (х,у), обнаруженная первой.

Вычислительным блоком с функцией Find можно найти и корень уравнения с одним неизвестным. Действие Find в этом случае совершенно аналогично уже рассмотренным в данном разделе примерам. Задача поиска корня рассматривается как решение системы, состоящей из одного уравнения. Единственным отличием будет скалярный, а не векторный тип числа, возвращаемого функцией Find(). Пример решения уравнения из предыдущего раздела приведен на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Поиск корня уравнения с одним неизвестным с помощью функции Find().

Mathcad предлагает три различных вида градиентных методов для решения системы нелинейных уравнений с помощью блока Given – Find(). Чтобы поменять численный метод, необходимо:

Щелкнуть правой кнопкой мыши на названии функции Find;

Выбрать пункт Nonlinear (Нелинейный) в появившемся контекстном меню;

Выбрать один из трех методов: Conjugate Gradient (Сопряженных градиентов, установлен по умолчанию), Quasi-Newton (Квази-Ньютоновский) или Levenberg-Marquardt (Левенберга).

Цели урока:

• научить учащихся решать уравнения высших степеней используя схему Горнера;
• воспитывать умение работать в парах;
• создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
• помочь ученику оценить свой потенциал, развивать интерес к математике, умение мыслить, высказываться по теме.

Оборудование: карточки для работы в группах, плакат со схемой Горнера.

Метод обучения: лекция, рассказ, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач самостоятельного решения, самостоятельная работа.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

Какая теорема позволяет определить, является ли число корнем данного уравнения (сформулировать теорему)?

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-с равен Р(с), число с называют корнем многочлена Р(х), если Р(с)=0. Теорема позволяет, не выполняя операцию деления, определить, является ли данное число корнем многочлена.

Какие утверждения облегчают поиск корней?

а) Если старший коэффициент многочлена равен единице, то корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена.

б) Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то один из корней равен 1.

в)Если сумма коэффициентов стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то один из корней равен -1.

г) Если все коэффициенты положительны, то корнями многочлена являются отрицательные числа.

д) Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Изучение нового материала

При решении целых алгебраических уравнений приходиться находить значения корней многочленов. Эту операцию можно существенно упростить, если проводить вычисления по специальному алгоритму, называемому схемой Горнера. Эта схема названа в честь английского ученого Уильяма Джорджа Горнера. Схема Горнера это алгоритм для вычисления частного и остатка от деления многочлена Р(х) на х-с. Кратко, как он устроен.

Пусть дан произвольный многочлен Р(х)=а 0 х n + а 1 х n-1 + …+ а n-1 х+ а n . Деление этого многочлена на х-с – это представление его в виде Р(х)=(х-с)g(х) + r(х). Частное g(х)=в 0 х n-1 + в n х n-2 +…+в n-2 х + в n-1 , где в 0 =а 0 , в n =св n-1 +а n , n=1,2,3,…n-1. Остаток r(х)= св n-1 +а n . Этот метод вычисления и называется схемой Горнера. Слово « схема» в названии алгоритма связана с тем, что обычно его выполнение оформляют следующим образом. Сначала рисуют таблицу 2(n+2). В левой нижней клетке записывают число с, а в верхней строке коэффициенты многочлена Р(х). При этом левую верхнюю клетку оставляют пустой.

	в 0 =а 0	в 1 =св 1 +а 1	в 2 =св 1 + а 2		в n-1 =св n-2 +а n-1	r(х)=f(с)=св n-1 +а n

Число, которое после выполнения алгоритма оказывается записанным в правой нижней клетке, и есть остаток от деления многочлена Р(х) на х-с. Другие числа в 0 , в 1 , в 2 ,… нижней строки являются коэффициентами частного.

Например: Разделить многочлен Р(х)= х 3 -2х+3 на х-2.

Получаем, что х 3 -2х+3=(х-2) (х 2 +2х+2) + 7.

4. Закрепление изученного материала

Пример 1: Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен Р(х)=2х4-7х 3 -3х 2 +5х-1.

Ищем целые корни среди делителей свободного члена -1: 1; -1. Составим таблицу:

X = -1 – корень

Р(х)= (х+1) (2х 3 -9х 2 +6х -1)

Проверим 1/2.

					Х=1/2 - корень

Следовательно, многочлен Р(х) можно представить в виде

Р(х)= (х+1) (х-1/2) (х 2 -8х +2) = (х+1) (2х -1) (х 2 - 4х +1)

Пример 2: Решить уравнение 2х 4 - 5х 3 + 5х 2 - 2 = 0

Так как сумма коэффициентов многочлена, записанного в левой части уравнения, равна нулю, то один из корней 1. Воспользуемся схемой Горнера:

						Х=1 - корень

Получаем Р(х)=(х-1) (2х 3 -3х 2 =2х +2). Будем искать корни среди делителей свободного члена 2.

Выяснили, что целых корней больше нет. Проверим 1/2; -1/2.

					Х= -1/2 - корень

Ответ: 1; -1/2.

Пример 3: Решить уравнение 5х 4 – 3х 3 – 4х 2 -3х+ 5 = 0.

Корни данного уравнения будем искать среди делителей свободного члена 5: 1;-1;5;-5. х=1 - корень уравнения, так как сумма коэффициентов равна нулю. Воспользуемся схемой Горнера:

уравнение представим в виде произведения трех множителей: (х-1) (х-1) (5х 2 -7х + 5)=0. Решая квадратное уравнение 5х 2 -7х+5=0, получили Д=49-100=-51, корней нет.

Карточка 1

1. Разложите на множители многочлен: х 4 +3х 3 -5х 2 -6х-8
2. Решите уравнение: 27х 3 -15х 2 +5х-1=0

Карточка 2

1. Разложите на множители многочлен: х 4 -х 3 -7х 2 +13х-6
2. Решите уравнение: х 4 +2х 3 -13х 2 -38х-24=0

Карточка 3

1. Разложите на множители: 2х 3 -21х 2 +37х+24
2. Решите уравнение: х 3 -2х 2 +4х-8=0

Карточка 4

1. Разложите на множители: 5х 3 -46х 2 +79х-14
2. Решите уравнение: х 4 +5х 3 +5х 2 -5х-6=0

5. Подведение итогов

Проверка знаний при решении в парах осуществляется на уроке путем узнавания способа действия и названия ответа.

Домашнее задание:

Решите уравнения:

а) х 4 -3х 3 +4х 2 -3х+1=0

б) 5х 4 -36х 3 +62х 2 -36х+5=0

в) х 4 +х 3 +х+1=4х 2

г) х 4 +2х 3 -х-2=0

Литература

1. Н.Я. Виленкин и др., Алгебра и начала анализа 10 класс (углубленное изучение математики): Просвещение, 2005.
2. У.И. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение уравнений высших степеней: Волгоград, 2007.
3. С.Б. Гашков, Системы счисления и их применение.

РЕФЕРАТ

Корни многочлена. Теорема Безу

Выполнили:

Студенты 1 курса группы ИМ-11

Очного отделения

Шабунин Дмитрий Олегович

Зорин Александр Сергеевич

Проверила:

Бобылева Оксана Владимировна

подпись___________________

Введение……………………………………………………………………………...3

1.Многочлены………………………………………………………………………..3

1.1.Определение многочлена………………………………………………………3

1.2.Определение корня многочлена……………………………………………….4

1.3.Схема Горнера………………………………………………………………….5

1.4.Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корней……………………….7

2. Этьен Безу. Биография. Теорема Безу. Следствия из теоремы……………….13

2.1. Этьен Безу. Биогафия………………………………………………………...13

2.2. Теорема Безу………………………………………………………………….13

2.3 Следствия из теоремы Безу…………………………………………………..14

2.4. Примеры использования теоремы…………………………………………..14

Заключение………………………………………………………………………….16

Список используемых источников………………………………………………..17

ВВЕДЕНИЕ

Тема данного реферата: «Корни многочлена. Теорема Безу».

В нем мы хотим рассмотреть, что такое многочлен, что является корнем многочлена, а также рассказать про схему Горнера и теорему Безу.

В первой части мы разберем понятие многочлена, его корней и их виды и про схему Горнера. Во второй про теорему Безу.

Данная тема довольно актуальна, поскольку теорема Безу является одной из базовых теорем алгебры.

Многочлены

Понятие многочлена

Многочлен (полином) от одной переменной x – это выражение вида

где x – переменная, – коэффициенты из некоторого числового поля, n – целое неотрицательное число, а нулевое- свободный член. Отдельные слагаемые вида ……, k=0,1, …,n называются членами многочлена.

Также многочлен называют «полиномом», этот термин происходит от греческих слов «πολι» - много и «νομχ» - член.

2 члена называются подобными , если их степени равны. При этом подобные между собой члены можно преобразовать в один, т.е. привести подобные члены.

Степенью многочлена называют наибольшую среди степеней многочлена, при этом многочлен f(x)- не тождественный нуль. Обозначается эта степень deg(f).

Например:

Многочлен четвертой степени (старшая степень равна четырем);

- многочлен второй степени или квадратный (старшая степень равна двум).

При этом тождественный нуль степени не имеет.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат определенному полю (полю действительных, рациональных, комплексных чисел). Так, если выполнять над многочленом операции сложения, умножения или вычитания при помощи сочетательного, переместительного и распределительных законов, мы получаем снова многочлен.

Из вышесказанного следует, что совокупность всех многочленов с коэффициентами из данного поля Р образует кольцо Р - кольцо многочленов над данным полем, это кольцо не имеет делителей нуля, т.е. произведение многочленов, не равных нулю, не может дать нуль.

Определение корня многочлена

Элемент кольца Р называется корнем многочлена f(x) ∈ Р , если f( )= 0. Другими словами, число является корнем многочлена f(x), если в выражение

мы подставим , тогда получим

Таким образом, при подстановке вместо число получается верное выражение. Это означает, что число является корнем равенства f(x)=0.

Поэтому корень многочлена f(x) и корень соответствующего уравнения f(x)=0 по сути одно и то же.

К примеру, найдём корень многочлена f(x)=3 -10+3

Данное выражение является квадратным поэтому для нахождения корня многочлена нам необходимо решить следующее уравнение

3 -10х+3=0.

Для этого необходимо рассмотреть алгоритм решения квадратных уравнений.