Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач.
У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.
Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить.
Известно, что площадь окружности равна πr 2 . Поэтому, формула площади двух окружностей (вершины и основания цилиндра) будет иметь вид πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2).
После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Вершина исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.
Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.
Формула площади боковой поверхности цилиндра
S бок. = 2πrh
Площадь полной поверхности цилиндра
Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).
Формула площади полной поверхности цилиндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра
Примеры расчета площади поверхности цилиндра
Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.
1. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. = 2πrh
S бок. = 2 * 3,14 * 2 * 34.6 . Всего получено оценок: 990.
Цилиндром (точнее круговым цилиндром) называется тело, которое состоит из двух кругов, лежащих в параллельных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра , а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей, – образующими .
Цилиндр обладает следующими свойствами, следующими из того факта, что основания цилиндра совмещаются параллельным переносом:
1. Основания цилиндра равны.
2. Образующие цилиндра параллельны и равны.
Цилиндр называется прямым если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В дальнейшем будем рассматривать в основном прямые цилиндры, поэтому, если не оговорено обратное, под цилиндром будем понимать прямой цилиндр.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Для прямого цилиндра высота равна образующим. Осью цилиндра назевается прямая, проходящая через центры оснований.
Цилиндр является телом вращения, так как может быть получен вращением прямоугольника вокруг своей оси.
Задачи
18.1Высота цилиндра 6, радиус основания 5. Концы отрезка , равного 10, лежат на окружностях обоих оснований. Найти кратчайшее расстояние от этого отрезка до оси цилиндра.
18.2В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведенным в эти точки, равен 60 о. Найти угол между проведенным отрезком и осью цилиндра.
Конус
Определение конуса
Конусом (точнее круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга – основания конуса , точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершины конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса .
Выстой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. Если основание высоты совпадает с центром окружности основания, конус называется прямым . Далее под конусом будем обычно понимать прямой конус.
Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту. Такой конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
Усеченный конус
Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него подобный конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом .
Задачи
19.1Две образующие конуса, опирающиеся на концы диаметра основания, составляют между собой угол 60 о. Радиус конуса равняется 3. Найти образующую конуса и его высоту.
19.2Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная образующей . Найти длину отрезка прямой, заключенной внутри конуса.
19.3Образующая конуса равна 13, высота 12. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно 6, а до высоты – 2. Найти отрезок прямой, заключенный внутри конуса.
19.4Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 и 6, высота – 4. Найти образующую.
Определение шара
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше данного от некоторой точки, называемой центром шара . Данное расстояние называется радиусом шара .
Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой . Таким образом, точками сферы являются все точки шара, удаленные от центра шара на расстояние, равное радиусу.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.
Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг ее диаметра.
Задачи
20.1На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6, 8 и 10. Радиус шара 13. Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки.
20.2 Диаметр шара 25. На его поверхности даны точка и окружность, все точки которой удалены (по прямой) от на 15. Найти радиус этой окружности.
20.3Радиус шара равен 7. На его поверхности даны две окружности, имеющие общую хорду длиной 2. Найти радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны.
Тема урока: Цилиндр, его элементы.
Цель урока:
Закрепление у учащихся знаний о теле вращения – цилиндре (элементы цилиндра, формулы площади боковой и полной поверхности цилиндра).
Цель ученика: уметь решать типовые задачи на цилиндр в заданиях ЕНТ.
Задачи урока:
1. сформировать навыки решения типовых задач;
2. развивать пространственные представления на примере круглых тел;
3. продолжить формирование логических и графических умений.
Тип урока : комбинированный.
Методы обучения: словесный, практическая деятельность, работа с книгой, проблемный.
Оборудование: доска, таблица №3, набор моделей.
Ход урока
1. целеполагание
2. психологический настрой.
2. Актуализация опорных знаний.
1) Работа по карточкам.
Учащимся предлагается заполнить лист с заданиями.
Возможен вариант работы с применением копировки (в таком случае один экземпляр сдается учителю, а второй ученик проверяет в ходе дальнейшей работы на уроке).
Карточка.
1. Нанесите на рисунок основные элементы цилиндра.
2
.Изобразите а) осевое сечение цилиндра; б) сечение цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра; в) сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра. Какая фигура получается в каждом случае?
3. Запишите формулы для вычисления площади поверхности цилиндра.
Что можно найти по этим формулам? Что должно быть известно в этих случаях?
Учащиеся сдают листы с заданием.
3. Устная работа по моделям. (с целью обобщения знаний и проверки выполненной работы)
1) Какая фигура называется цилиндром?
Цилиндр – это геометрическое тело, состоящее из двух равных кругов, расположенных в параллельных плоскостях и множества отрезков, соединяющих соответственные точки этих кругов.
2) Почему цилиндр называют телом вращения?
Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
3) Назовите виды цилиндров?
Наклонные цилиндры, прямые цилиндры, цилиндрические поверхности.
4) Назовите элементы цилиндра.
Основания цилиндра – равные круги, расположенные в параллельных плоскостях.
Высота цилиндра - это расстояние между плоскостями его оснований.
Радиус цилиндра – это радиус его основания.
Ось цилиндра – это прямая, проходящая через центры основания цилиндра (ось цилиндра является осью вращения цилиндра).
Образующая цилиндра - это отрезок соединяющий точку окружности верхнего основания с соответственной точкой окружности нижнего основания. Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину, равную высоте цилиндра.
Образующая цилиндра при вращении вокруг оси образует боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра .
5) Что представляет собой развертка цилиндра?
Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник со сторонами H и C , где H – высота цилиндра, а C – длина окружности основания.6) Как найти площадь боковой поверхности цилиндра?
S б = H · C = 2 π RH
7) Как найти площадь полной поверхности цилиндра?
S п = S б + 2 S = 2 π R (R + H ).
8) Назовите основные виды сечений цилиндра. Какая фигура получается в каждом случае?
Осевое сечение цилиндра – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра (осевое сечение цилиндра является плоскостью симметрии цилиндра). Все осевые сечения цилиндра – равные прямоугольники.
Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра. В сечении – прямоугольники.
Сечение плоскостью перпендикулярной оси цилиндра . В сечении круги, равные основанию.
9) Приведите примеры использования цилиндров.
Цилиндрическая гастрономия. Цилиндрическая архитектура. Цилиндры фараона (выступление ученика 1-2 мин).
4. Закрепление материала. Решение задач.
У
ченики видят список задач для классной работы. По желанию учащиеся имеют возможность решать с опережением на оценку.
№ 2 . Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра.
№3 Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м 2 , а площадь основания – 5 м 2 . Найдите высоту цилиндра.
№4 Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r , его высота – h , расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d . Найдите: a ) высоту, если r = 10, d = 8, AB = 13.
№5* Через образующую АА 1 цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен j .
5. Обучающая самостоятельная работа. Самостоятельная работа по вариантам. (Возможна организация парной работы).
Плоскость g , параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу Am D с градусной мерой a . Радиус цилиндра равен a , высота равна h , расстояние между осью цилиндра ОО 1 и плоскостью g равно d .
Вариант 2. 1) Составьте план вычисления площади сечения по данным a , h , d .2) Найдите AD, если a =8 см, a = 120° .6. Постановка домашнего задания. Повторить формулы 1 и решать № 25.7. Рефлексивно- оценочный блок. Рефлексия. Что нового вы узнали на уроке?
Чему вы научились?
Какое у вас настроение в конце урока?
Можете ли вы объяснить решение данных задач однокласснику, пропустившему урок сегодня?
Цилиндром (прямым круговым цилиндром) называется тело, состоящее из двух кругов (оснований цилиндра), совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие при параллельном переносе точки этих кругов. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, называются образующими цилиндра.
Вот другое определение:
Цилиндр - тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие данной поверхности.
Цилиндрическая поверхность - поверхность, которая образуется движением прямой линии вдоль некоторой кривой. Прямую называют образующей цилиндрической поверхности, а кривую линию - направляющей цилиндрической поверхности.
Боковая поверхность цилиндра - часть цилиндрической поверхности, которая ограничена параллельными плоскостями.
Основания цилиндра - части параллельных плоскостей, отсекаемые боковой поверхностью цилиндра.
Рис.1 мини
Цилиндр называется прямым (См.Рис.1 ), если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае цилиндр называется наклонным .
Круговой цилиндр - цилиндр, основания которого являются кругами.
Прямой круговой цилиндр (просто цилиндр) – это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. См.Рис.1 .
Радиус цилиндра – радиус его основания.
Образующая цилиндра - образующая цилиндрической поверхности.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением .
Ось цилиндра параллельна его образующей и является осью симметрии цилиндра.
Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра . См.Рис.2 .
Развёртка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.
Площадь боковой поверхности цилиндра - площадь развёртки боковой поверхности. $$S_{бок}=2\pi\cdot rh$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.
Площадь полной поверхности цилиндра - площадь, которая равна сумме площадей двух оснований цилиндра и его боковой поверхности, т.е. выражается формулой: $$S_{полн}=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.
Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту: $$V = S\cdot h$$ Объем круглого цилиндра : $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , где (r - радиус основания).
Призма есть частный вид цилиндра (образующие параллельны боковым ребрам; направляющая - многоугольник, лежащий в основании). С другой стороны, произвольный цилиндр можно рассматривать как выродившуюся («сглаженную») призму с очень большим числом очень узких граней. Практически цилиндр неотличим от такой призмы. Все свойства призмы сохраняются и в цилиндре.
Название науки «геометрия» переводится как "измерение земли". Зародилась стараниями самых первых древних землеустроителей. А было так: во время разливов священного Нила потоки воды иногда смывали границы участков земледельцев, а новые границы могли не совпасть со старыми. Налоги же крестьянами уплачивались в казну фараона пропорционально величине земельного надела. Измерением площадей пашни в новых границах после разлива занимались специальные люди. Именно в результате их деятельности и возникла новая наука, получившая развитие в Древней Греции. Там она и название получила, и приобрела практически современный вид. В дальнейшем термин стал интернациональным названием науки о плоских и объёмных фигурах.
Планиметрия - раздел геометрии, занимающийся изучением плоских фигур. Другим разделом науки является стереометрия, которая рассматривает свойства пространственных (объёмных) фигур. К таким фигурам относится и описываемая в этой статье - цилиндр.
Примеров присутствия предметов цилиндрической формы в повседневной жизни предостаточно. Цилиндрическую (гораздо реже - коническую) форму имеют почти все детали вращения - валы, втулки, шейки, оси и т.д. Цилиндр широко используется и в строительстве: башни, опорные, декоративные колонны. А кроме того посуда, некоторые виды упаковки, трубы всевозможных диаметров. И наконец - знаменитые шляпы, ставшие надолго символом мужской элегантности. Список можно продолжать бесконечно.
Определение цилиндра как геометрической фигуры
Цилиндром (круговым цилиндром) принято называть фигуру, состоящую из двух кругов, которые при желании совмещаются с помощью параллельного переноса. Именно эти круги и являются основаниями цилиндра. А вот линии (прямые отрезки), связывающие соответствующие точки, получили название «образующие».
Важно, что основания цилиндра всегда равны (если это условие не выполняется, то перед нами - усечённый конус, что-либо другое, но только не цилиндр) и находятся в параллельных плоскостях. Отрезки же, соединяющие соответствующие точки на кругах, параллельны и равны.
Совокупность бесконечного множества образующих - не что иное, как боковая поверхность цилиндра - один из элементов данной геометрической фигуры. Другая её важная составляющая - рассмотренные выше круги. Называются они основаниями.
Виды цилиндров
Самый простой и распространённый вид цилиндра - круговой. Его образуют два правильных круга, выступающих в роли оснований. Но вместо них могут быть и другие фигуры.
Основания цилиндров могут образовывать (кроме кругов) эллипсы, другие замкнутые фигуры. Но цилиндр может иметь не обязательно замкнутую форму. Например основанием цилиндра может служить парабола, гипербола, другая открытая функция. Такой цилиндр будет открытым или развернутым.
По углу наклона образующих к основаниям цилиндры могут быть прямыми или наклонными. У прямого цилиндра образующие строго перпендикулярны плоскости основания. Если данный угол отличается от 90°, цилиндр - наклонный.
Что такое поверхность вращения
Прямой круговой цилиндр, без сомнения - самая распространённая поверхность вращения, используемая в технике. Иногда по техническим показаниям применяется коническая, шарообразная, некоторые другие типы поверхностей, но 99% всех вращающихся валов, осей и т.д. выполнены именно в форме цилиндров. Для того чтобы лучше уяснить, что такое поверхность вращения, можно рассмотреть, как же образован сам цилиндр.
Допустим, имеется некая прямая a , расположенная вертикально. ABCD - прямоугольник, одна из сторон которого (отрезок АВ) лежит на прямой a . Если вращать прямоугольник вокруг прямой, как это показано на рисунке, объём, который он займёт, вращаясь, и будет нашим телом вращения - прямым круговым цилиндром с высотой H = AB = DC и радиусом R = AD = BC.
В данном случае, в результате вращения фигуры - прямоугольника - получается цилиндр. Вращая треугольник, можно получить конус, вращая полукруг - шар и т.д.
Площадь поверхности цилиндра
Для того чтобы вычислить площадь поверхности обычного прямого кругового цилиндра, необходимо подсчитать площади оснований и боковой поверхности.
Вначале рассмотрим, как вычисляют площадь боковой поверхности. Это произведение длины окружности на высоту цилиндра. Длина окружности, в свою очередь, равняется удвоенному произведению универсального числа П на радиус окружности.
Площадь круга, как известно, равняется произведению П на квадрат радиуса. Итак, сложив формулы для площади определения боковой поверхности с удвоенным выражением площади основания (их ведь два) и произведя нехитрые алгебраические преобразования, получаем окончательное выражение для определения площади поверхности цилиндра.
Определение объёма фигуры
Объем цилиндра определяется по стандартной схеме: площадь поверхности основания умножается на высоту.
Таким образом, конечная формула выглядит следующим образом: искомое определяется как произведение высоты тела на универсальное число П и на квадрат радиуса основания.
Полученная формула, надо сказать, применима для решения самых неожиданных задач. Точно так же, как объем цилиндра, определяется, например, объём электропроводки. Это бывает необходимо для вычисления массы проводов.
Отличия в формуле только в том, что вместо радиуса одного цилиндра стоит делённый надвое диаметр жилы проводки и в выражении появляется число жил в проводе N . Также вместо высоты используется длина провода. Таким образом рассчитывается объем «цилиндра» не одного, а по числу проводков в оплётке.
Такие расчёты часто требуются на практике. Ведь значительная часть ёмкостей для воды изготовлена в форме трубы. И вычислить объем цилиндра часто бывает нужно даже в домашнем хозяйстве.
Однако, как уже говорилось, форма цилиндра может быть разной. И в некоторых случаях требуется рассчитать, чему равен объем цилиндра наклонного.
Отличие в том, что площадь поверхности основания умножают не на длину образующей, как в случае с прямым цилиндром, а на расстояние между плоскостями - перпендикулярный отрезок, построенный между ними.
Как видно из рисунка, такой отрезок равен произведению длины образующей на синус угла наклона образующей к плоскости.
Как построить развёртку цилиндра
В некоторых случаях требуется выкроить развёртку цилиндра. На приведённом рисунке показаны правила, по которым строится заготовка для изготовления цилиндра с заданными высотой и диаметром.
Следует учитывать, что рисунок приведен без учёта швов.
Отличия скошенного цилиндра
Представим себе некий прямой цилиндр, ограниченный с одной стороны плоскостью, перпендикулярной образующим. А вот плоскость, ограничивающая цилиндр с другой стороны, не перпендикулярна образующим и не параллельна первой плоскости.
На рисунке представлен скошенный цилиндр. Плоскость а под неким углом, отличным от 90° к образующим, пересекает фигуру.
Такая геометрическая форма чаще встречается на практике в виде соединений трубопроводов (колена). Но бывают даже здания, построенные в виде скошенного цилиндра.
Геометрические характеристики скошенного цилиндра
Наклон одной из плоскостей скошенного цилиндра слегка изменяет порядок расчёта как площади поверхности такой фигуры, так и ее объёма.
